86399 (612738), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Замечание 3. Если траектория целиком лежит в ограниченной замкнутой области с G, то в силу теоремы 2 соответствующее ей решение определено при всех значениях

t ( < t < )

В силу теоремы 3 динамическая система, заданная в области G, определяет некоторое семейство траекторий или, как мы будем говорить, некоторое разбиение области G на траектории.

Мы укажем здесь некоторые основные свойства траекторий. Выше мы уже останавливались на одном частном типе траекторий, именно, на состояниях равновесия.

Как мы видели, х = а, y=b тогда и только тогда является состоянием равновесия, когда выполняются условия Р(а, b) = Q(a, b) = 0.

Предположим теперь, что траектория L, соответствующая решению

не является состоянием равновесия. Во всех точках такой траектории, очевидно, выполняется неравенство

Действительно, если бы в какой-нибудь точке М*(х*, у*) траектории L, соответствующей значению t*, имело место равенство

т. е. одновременно

и это, очевидно, означало бы, что точка х*, у* является состоянием равновесия. Но состояние равновесия само является отдельной траекторией, и в силу теоремы 3 точка М* (х*, у*) не может принадлежать отличной от состояния равновесия траектории L.

Рассмотрим вопрос о том, могут ли быть у траектории, отличной от состояния равновесия, «самопересечения», т. е. возможно ли, чтобы существовали значения t₁ и t₂, t₁ t₂ такие, чтобы соответствующие им точки траектории совпадали.

Ответ на этот вопрос дается следующей леммой:

Лемма 7. Пусть траектория L, соответствующая решению

( < t < T), (17)

отлична от состояния равновесия, и пусть существуют значения t, t₁ и t₂ ( < t₁ < t₂ < T) такие, что

Тогда решение (17) определено при всех значениях

t (т. е. )

функции , являются периодическими функциями t, а соответствующая траектория—простой гладкой замкнутой кривой.

Доказательство. Пусть

(18)

Рассмотрим наряду с решением (17) решение

(19)

определенное на интервале

( — С, Т — С)

где С = t₂ — t₁ (см. лемму 1).

Из равенств (18) следует, что решения (17) и (19) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям (при t = t₁ , x = х₀ , у =у₀). Но тогда эти решения совпадают, а следовательно, совпадают интервалы значений t, на которых они определены. Но интервалы ( , Т) и ( — С, Т — С) при С 0 могут совпадать лишь в том случае, когда =- , Т =+ .

Таким образом, мы показали, что решения (17) и (19) определены для всех t ( < t < ). Далее, из совпадения решений (17) и (19) следует, что при всех t (— < t < )

(20)

где C = t₂— t₁ >0. Это, очевидно, означает, что функции (t) и (t)— периодические функции с общим периодом 0 = t₂ — t₁. Пусть

) (21)

— наименьшее положительное число, при котором имеют место равенства

(22)

Такое число непременно существует. Действительно, в противном случае можно было бы указать последовательность положительных чисел { } таких, что

и

Очевидно, тогда при любом n и любом целом |k|

или, зафиксировав какое-нибудь t₀, можно написать

Таким образом, каждая из функции (t) и (t) принимает одно и то же значение, равное соответственно ( ) и ( ) при всех следующих значениях t

где N может быть любым целым числом, а сколь угодно мало при достаточно большом n. Следовательно, какое бы значение t* мы ни взяли, либо t* =t и тогда , либо t* попадает в некоторый интервал (t₀+(k-1) , t₀ + ) или

(t₀—(k-1) , t₀ -- ) и в силу того, что Q_n сколь угодно мало при достаточно большом n, существуют сколь угодно близкие к t* значения t', при которых

Но тогда в силу непрерывности функций (t), (t) мы, очевидно, также имеем

Это означает, что функции (t), (t)— постоянные, т. е. траектория L состояние равновесия, что противоречит условию теоремы.

Очевидно, все точки траектории L могут быть получены при изменении t в уравнениях (17) от t₀ до t₀ + ₀ (t₀ t t₀ - ₀), где t₀ — любое фиксированное число. Так как по самому определению ₀ есть наименьшее число,при котором выполняются равенства(22),то всяким двум значениям и t", t₀ заведомо соответствуют различные точки траектории L. Это и означает, что траектория L является простой замкнутой кривой. В силу леммы 5 эта замкнутая кривая, очевидно, гладкая. Таким образом, лемма доказана.

Решение, в котором функции (t) и (t) — периодические функции t, называется периодическим решением. Наименьшее число ₀ > 0, при котором выполняются равенства (22),— периодом этого решения.

Траектория L, соответствующая периодическому решению, называется замкнутой траекторией. Очевидно, все решения, соответствующие данной замкнутой траектории, являются периодическими решениями с одним и тем же периодом. Всякая траектория, не являющаяся замкнутой траекторий или состоянием равновесия, называется незамкнутой траекторией.

Из леммы 7 следует, что у траекторий системы (I) не может быть «самопересечений», т. е. что всякая часть незамкнутой траектории, соответствующая значениям t в любом конечном сегменте, является простой гладкой дугой.

Таким образом, мы получили следующие основные элементарные сведения о траекториях. Траектория может быть: 1) состоянием равновесия, 2) замкнутой траекторией, 3) незамкнутой (несамопересекающейся) траекторией. Эти сведения являются предварительными, так как возможный характер незамкнутых траекторий остается невыясненным.

6. Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве R³ и геометрической интерпретации на фазовой плоскости

Как мы уже указывали, каждому решению системы (I) соответствует в интегральная кривая.

Траектория, очевидно, является проекцией этой интегральной кривой на плоскость (x, у). Из леммы 4 следует, что в траекторию проектируются те и только те интегральные кривые пространства , которые получаются из одной такой кривой (и, следовательно, друг из друга) сдвигом на произвольный отрезок вдоль оси t. Таким образом, устанавливается естественное соответствие между траекториями динамической системы на фазовой плоскости и интегральными кривыми в пространстве . При этом могут представиться следующие случаи в зависимости от характера траектории L:

L есть состояние равновесия М (а, Ь). Соответствующая интегральная кривая в является прямой х = а, у = b, параллельной оси t и проходящей через точку М. При сдвиге вдоль оси t эта прямая переходит сама в себя.

2) L есть замкнутая траектория, соответствующая решению с периодом ₀. Соответствующие интегральные кривые имеют характер «винтовых линий» с шагом ₀ и проектируются в траекторию L. При сдвиге вдоль оси t на отрезок С каждая интегральная кривая переходит в другую кривую, если С не кратно ₀, и сама в себя, если С кратно ₀ (рис. 3).

3) L — незамкнутая траектория. Каждая интегральная кривая, соответствующая траектории L, при любом сдвиге вдоль оси t, отличном от нулевого, переходит в другую интегральную кривую (рис. 4).

Рис. 3. Рис. 4.

Подчеркнем следующие элементарные факты. Точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия (т. е. «изображающая точка» с координатами х = (t), y= (t) ), не может стремиться к точке какой-либо отличной от нее траектории при t, стремящемся к конечному значению. Действительно, в противном случае , интегральные кривые в пространстве (x, у, t) пересекались бы, что невозможно в силу теоремы 1. В частности, точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия, может стремиться к состоянию равновесия либо при t , либо при

7. Направление на траектории. Изменение параметризации

Пусть L — траектория системы (I) и

х = (t), y = (t)

— какое-нибудь соответствующее ей решение.

Мы введем на траектории L определенное направление в качестве положительного. Именно, будем считать положительным направлением на L направление в сторону возрастания t. При таком определении можно сказать, что положительное направление в каждой точке траектории L совпадает с направлением вектора, заданного в этой точке системой (I).

Пользуясь «кинематической» интерпретацией, можно сказать, что положительное направление на L есть то направление, в котором точка с координатами х = (t), y = (t) движется по траектории при возрастании t и при котором направление ее скорости в каждой точке совпадает с направлением фазовой скорости.

Введенное таким образом положительное направление на L не зависит от того, какое из решений, соответствующих траектории L, мы возьмем (так как все такие решения получаются одно из другого заменой t на

В дальнейшем мы будем обычно опускать слово «положительное», т. е. под направлением на траектории L системы (I) мы будем подразумевать положительное направление, определяемое (или, как говорят, индуцируемое) на L этой системой.

Рассмотрим наряду с системой (I) систему

(I')

Векторное поле системы (I') получается из векторного поля системы (I), если изменить направление каждого вектора на противоположное (не меняя длин векторов).

Непосредственной проверкой устанавливается, что каждому решению

х = (t), y = (t) (23)

системы (I) соответствует решение

х = (-t), y = (-t) (24)

системы (I'). Отсюда очевидно, что системы (I) и (1') имеют одинаковые траектории, но индуцируют на траекториях противоположные направления. Таким образом, переход от системы (I) к системе (I') можно рассматривать, как изменение параметризации на траекториях, именно, как замену параметра t параметром —t.

Рассмотрим более общий случай изменения параметризации на траекториях системы (1). Пусть f (х, у) — функция класса C₁ , заданная в области G. Предположим, что функция f(х, у) отлична от нуля во всех точках области G, отличных от состояний равновесия системы (1), и имеет в них один и тот же знак.

Рассмотрим наряду с системой (I) систему

(I*)

В силу предположений, сделанных относительно функции f(х, у), очевидно, что состояния равновесия системы (I) совпадают с состояниями равновесия системы (I*).

Лемма 8. Если

х = (t), y = (t) (25)

есть решение системы (I), причем соответствующая ему траектория отлична от состояния равновесия, то существует монотонная функция класса C₁ (t) = (s) такая, что пара функций

(26)

является решением системы (I*).

Доказательство. Задавая какое-нибудь начальное значение t₀, t₀ ( , Т), где ( , Т) — интервал определения решения (25), и произвольное s₀, рассмотрим следующую функцию s(t)

Так как f(х, у) не обращается в нуль в точках, отличных от состояний равновесия, то s(t) является монотонной функцией класса С₁ , определенной на интервале ( , Т). Очевидно, существует обратная функция

(s), определенная в некотором интервале ( S), также класса С₁ , монотонная. Очевидно,

Поэтому

(27)

Последние соотношения показывают, что функции (26) являются решением системы (I*). Нетрудно видеть, что ( S), является максимальным интервалом определения решения (26), так как в противном случае интервал ( , Т) не был бы максимальным для решения (25). Лемма доказана.

Уравнения (25) и (26) являются, очевидно, различными параметрическими уравнениями одной и той же траектории. Поэтому из леммы 8 следует, что динамические системы (I) и (I*) имеют одни и те же траектории, но с различными параметризациями на них. При переходе от системы (I) к системе (I*) направления на траекториях остаются неизменными, если f(х, у) > 0, и меняются, если F(x,y)<0.

Характеристики

Список файлов курсовой работы