86399 (612738), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

x = Ф (t — t₀, 0, х₀, у₀), y =Ψ (t— t₀ ,0, х₀ ,у₀) (7)

также являются решением системы (I). Решения (5) и (7) соответствуют одним и тем же начальным значениям t₀, x₀, у₀ . Но тогда эти решения совпадают, т. е.

Ф (t ,t₀ , х₀, у₀)= Ф (t — t₀, 0, х₀, у₀)

Ψ (t , t₀, х₀ ,у₀)= Ψ (t— t₀ ,0, х₀ ,у₀)

Введение обозначений

Ф (t — t₀, 0, х₀, у₀)= (t—t₀ , х₀ , у₀),

Ψ (t— t₀ ,0, х₀ ,у₀)= ψ(t —t₀, х₀, у₀)

устанавливает справедливость утверждения леммы.

В дальнейшем решение системы (I), соответствующее начальным значениям t₀, х₀, у₀, мы всегда будем записывать в виде (6).

Лемма 4. Если решение

x = (t—t₀ , х₀ , у₀), y = ψ(t —t₀, х₀, у₀). (8)

определено при значении t = t₁ , и

(9) то

(t—t₀ , х₀ , у₀) (t —t₁, х₀, у₀)

ψ(t—t₀ , х₀ , у₀) (t —t₁, х₀, у₀) (10)

Доказательство. Из соотношений (9), очевидно, следует, что решение (8) и решение

x = (t —t₁, х₀, у₀), y= (t —t₁, х₀, у₀)

являются решениями, соответствующими одним и тем же начальным значениям t₁ , х₁ , y₁. Но тогда эти решения совпадают, т. е. имеют место равенства (10).

Замечание. Полагая в тождествах (10) t = t₀, мы получим

x₀ = (t₀ t₁ , х₁ , у₁) , y₀ = ψ(t₀ t₁ , х₁ , у₁)

Это, очевидно, справедливо при любых t₁ , х₁ , у₁ удовлетворяющих соотношениям (10). Опуская индексы, мы получаем

x₀ = (t₀—t, х, у) , y₀ = ψ(t₀—t, х, у).

Лемма 5. Если система (I) является системой класса С_n , тo функции

x₀ = (t—t₀ , х₀ , у₀) , y₀ = ψ (t—t₀ , х₀ , у₀)

при всех значениях, входящих в них переменных, при которых эти функции определены, имеют непрерывные (по совокупности всех переменных) частные производные:

1) по t (или t₀) до порядка n+1 включительно,

2) по х₀ и у₀ до порядка n включительно

3). пo t (или t₀) и по х₀ и у₀—содержащие по крайней мере одно дифференцирование по t (или t₀)—до порядка n + 1

4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости (х, у)

Геометрическая интерпретация системы (I) в трехмерном пространстве (х, у, t) в настоящей книге является вспомогательной. Основная геометрическая интерпретация автономной системы (1)связана с рассмотрением плоскости (х, у). Эта плоскость называется фазовой плоскостью системы (I).

Будем в каждой точке М (х, у) области G плоскости (х, у) рассматривать вектор v с компонентами Р (х, у), Q (x, у). Динамическая система (I) определяет, таким образом, в области G векторное поле *).

В силу того, что Р (х, у) и Q (х, у) по предположению имеют непрерывные частные производные, векторное поле, определяемое системой (I), является так называемым непрерывно дифференцируемым векторным полем.

Пусть в точке М (х, у) хотя бы одна из величин Р (х, у), Q (х, у) не обращается в нуль. Тогда длина вектора в этой точке

отлична от нуля, а синус и косинус угла (x, у) между положительным направлением оси х и направлением вектора даются выражениями

В тех точках, в которых одновременно Р (х, у), Q (x, у).

длина вектора обращается в нуль, а направление вектора становится неопределенным. Такие точки называются особыми точками векторного поля (или особыми точками системы (1)); точки, в которых хотя бы одна из величин Р (x, у), Q (х, у) не равна нулю,— обыкновенными или неособыми точками этого векторного поля. Во всякой неособой точке М векторного поля угол (x, у), непрерывен. В особой точке угол (x, у) неопределен, и при стремлении и к координатам особой точки lim может не существовать.

Пусть

(11)

— какое-нибудь решение системы (I). Множество точек М ( (t), ψ (t)), где t принимает все значения, при которых определено решение (11), называется траекторией, соответствующей данному решению, а также траекторией векторного поля, заданного динамической системой (І), или просто траекторией данной динамической системы (а также иногда фазовой траекторией).

Уравнения (11), очевидно, являются параметрическими уравнениями траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, мы будем называть решением, соответствующим данной траектории.

В математической литературе весьма употребительно векторное обозначение для системы дифференциальных уравнений. Система (I) в этом обозначении запишется в виде векторного уравнения

= F(x)

Векторное обозначение чрезвычайно удобно при рассмотрении систем, состоящих из большого числа уравнении. Однако в рассмотренном нами случае системы только двух дифференциальных уравнении в этом обозначении нет особой необходимости, п мы не будем пользоваться им для того, чтобы не загромождать изложение различными символиками.]

Если точка М (х, у) траектории не является особой точкой векторного поля, то вектор (Р (х, у), Q (х, у)) является касательным вектором к траектории (рис. 2). Действительно, в силу того, что

есть решение системы (I), имеют место тождества

(12)

Но вектор с компонентами (t), (t), очевидно, является касательным вектором к траектории, и в силу равенств (12) он совпадает с вектором поля, заданного системой (I).

Рассматривая параметр t как «время», можно дать следующую «кинематическую» интерпретацию системы (I): решение

можно рассматривать как закон движения точки по траектории на фазовой плоскости. В каждой точке фазовой плоскости вектор, заданный системой (I), т. е. вектор Р(х, у), Q (х, у), очевидно, равен скорости движущейся точки или «фазовой скорости». Решениям с одними и теми же начальными значениями х₀ и у₀ и различными начальными значениями t₀ соответствуют движения, начинающиеся в одной и той же точке, но в различные начальные моменты «времени» (t₀ и t*). Точка с координатами ( ) называется также «изображающей» или «представляющей» точкой.

Пусть М (a,b) — особая точка системы (I), так что

P(a,b)=Q(a,b) (13)

Тогда, очевидно, х = a, у = b есть решение системы (I), и, следовательно, особая точка векторного поля сама является отдельной траекторией. Такая траектория называется состоянием равновесия *). Очевидно, также обратно, если у системы (I) есть решение

х = а, y= b (14)

(а и b — некоторые постоянные), то точка a, b непременно является состоянием равновесия (особой точкой векторного поля), т. е. для нее выполняются равенства (13). Решение (14), очевидно, вследствие того, что t в него не входит, определено для всех t.

В дальнейшем для точек х, у области G, для которых Р (х, у) =0, Q (х, у) = 0, в основном будет использоваться термин «состояние равновесия» (а не особая точка).

Состояние равновесия М (а, Ь) системы (I) называется изолированным, если существует > 0 такое, что в -окрестности кроме М не лежит уже более ни одного состояния равновесия.

5. Разбиение области в фазовой плоскости на траектории

Некоторые элементарные сведения о траекториях.

Лемма 6. Всяким двум решениям, отличающимся только выбором начального значения t₀, соответствует одна и та же траектория.

В другой терминологии — «положением равновесия» или «точкой покоя».

Доказательство. В силу лемм 1 и 2 всякие два решения, отличающиеся выбором начальных значений t₀ (но имеющие одни и те же Начальные значения ), могут быть получены одно из другого заменой t на t + С. Но если даны два решении

(15)

(16)

причем решение (15) определено на интервале ( , Т), а решение (16) — на интервале ( — С, Т — С), то, очевидно, им соответствует одна и та же траектория (так как замена в (15) t через t +С является просто заменой обозначении переменного). Лемма доказана.

Теорема 3. Через каждую точку области G проходит одна и только одна траектория динамической системы (1).

Доказательство. Пусть М₀ (х₀, у₀) — произвольная точка области G.

Тогда в силу теоремы 1 (о существовании и единственности решения) при всяком t существует решение, соответствующее начальным значениям t₀, x₀,

Это, очевидно, и означает, что через точку х₀, у₀ проходит хотя бы одна траектория L.

Предположим теперь, что через одну и ту же точку М₀ (х₀, у₀) области G проходят две различные траектории L и L*.

Пусть

— решение, соответствующее траектории L*. Это решение, очевидно, непременно должно быть таким, чтобы при некотором значении t = t* мы имели бы

но тогда в силу леммы 2 при надлежащем выборе С мы должны иметь

и, следовательно (см. лемму 6), траектории L и L* вопреки предположению не могут быть различны. Теорема доказана.

Замечание 1. Из проведенного в теореме рассуждения непосредственно вытекает, что всякие два различных решения, соответствующих одной и той же траектории, получаются друг из друга заменой t на t +С, т. е. отличаются друг от друга только выбором начального значения t₀ (см. лемму 2).

Замечание 2. Пусть при каком-либо выборе решения, соответствующего траектории L, точке М₀ этой траектории соответствует значение t₀, а точке M₁ — значение t₀ + . Тогда из замечания 1 следует, что если при некотором другом выборе решения, соответствующего траектории L, точке М₀ соответствует значение t*, то значению t* + соответствует точка .

Характеристики

Список файлов курсовой работы