86344 (612727), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

(а₁ – с₁)(а₂ – с₂)(а₃ – с₃) … (а₂₅ – с₂₅)

является четным.

5.5. Четно или нечетно число

1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 +…+ 993 ?

Решение.

Разность 1 – 2 имеет ту же четность, что и сумма 1 + 2, разность 3 – 4 – ту же четность, что и сумма 3 + 4, и т. д. Поэтому данная сумма имеет ту же четность, что и сумма

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +…+ 993.

Из 993 слагаемых последней суммы 496 четных и 497 нечетных, следовательно, сумма нечетно.

О т в е т: нечетно.

5.6. На прямой расположено несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. И т. д. Докажите, что после каждой такой операции общее число точек будет нечетным.

Указание.

Если имеется п точек и к ним добавляется еще п – 1 промежуточных точек, то общее число точек становится нечетным, так как п+(п–1) = =2п – 1.

5.7. Найдите все целые значения а, при которых число

x ³ + ax² + 5x + 9

нечетно для всех целых значений х.

5.8. На семи карточках написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Затем карточки перевернули, перемешали и на обратных сторонах написали те же числа. Числа, написанные на обеих сторонах каждой карточки, сложили и полученные суммы перемножили. Четно или нечетно полученное произведение?

Решение.

Допустим, что произведение нечетно. Для этого все 7 множителей должны быть нечетными. Но тогда у четырех карточек, у которых на одной стороне написаны нечетные числа 1, 3, 5, 7, на другой стороне должны быть числа четные. Однако четных чисел здесь - только три. Следовательно, этот случай невозможен.

Ответ: четно.

5.9. Докажите, что в любой компании число тех людей, которые знакомы с нечетным числом членов компании, четно.

Решение.

Обозначим число людей, которые имеют в компании нечетное число знакомых, через k, а число знакомых этих людей соответственно через a₁, a₂,…, a_k . Кроме того, число людей, знакомых с четным числом членов компании, обозначим через n, а число знакомых этих людей соответственно через b₁,b₂,…,b_n. Тогда общее число знакомств равно

( a₁ + a₂ +…+ a_k + b₁ + b₂ +…+ b_n )/ 2

Сумма b₁ + b₂ +…+ b_n четна, так как все ее слагаемые четны.

Тогда для того, чтобы эта дробь была равна целому числу, сумма

a₁ + a₂ +…+ a_{k ,} должна быть четной. Но все слагаемые последней суммы нечетны, поэтому число k слагаемых суммы может быть только четным.

5.10. Докажите, что не существует многогранника, у которого 1997 граней – треугольники, а остальные грани – четырехугольники и шестиугольники.

5.11. Окружность разделили на 40 равных дуг и в 40 точках деления поставили по шашке. Среди шашек 25 белых и 15 черных. Докажите, что среди шашек найдутся белая и черная, которые стоят на концах одного диаметра.

Решение.

Допустим, что это не верно. Рассмотрим любую белую шашку и диаметр, на котором она стоит. Тогда по нашему допущению на другом конце этого диаметра должна стоять тоже белая шашка. Получается, что всего белых шашек ( как и черных ) четное число. Но последнее противоречит условию задачи.

5.12. Сумма номеров домов одного квартала равна 99, а соседнего квартала той же улицы – 117. Найдите номера всех домов этих кварталов.

5.13.В некотором натуральном числе произвольно переставили цифры. Докажите, что сумма полученного числа с исходным не может быть равна 999…9 (125 девяток).

Решение.

Обозначим исходное число через а, число, полученное из него после перестановки цифр – через b.

Допустим, что равенство

а + b = 999…9 (125 девяток)

возможно. Тогда при сложении чисел а и b не может быть переноса единицы в следующий разряд. Так как сумма цифр чисел а и b равны, то сумма цифр у числа а + b в два раза больше, чем у числа а, а значит она четна. Но с другой стороны , эта сумма равна 9 125, а следовательно, нечетна. Мы получили противоречие.

5.14. Какое наибольшее количество натуральных чисел можно записать в строку так, чтобы сумма любых трех соседних чисел была четной, а сумма любых четырех соседних чисел – нечетной?

Решение.

Обозначим последовательные натуральные числа строки через а₁, а₂, а₃ и т. д.

По условию суммы

а₁ + а₂ + а₃, а₂ + а₃ + а₄, а₃ + а₄ + а₅, а₄ + а₅ + а₆

и другие четны. Вычитая из каждой суммы, начиная со второй, предыдущую получим, что разности

а₄ - а₁, а₅ - а₂, а₆ - а₃,…

четны, а следовательно, имеют одинаковую четность пары чисел

а₄ и а₁, а₅ и а₂, а₆ и а₃ и т. д.

Выпишем нечетные суммы, состоящие из четырех соседних чисел: а₁ + а₂ + а₃+ а₄ = (а₁ + а₂ + а₃)+ а₄ ,

а₂ + а₃ + а₄+ а₅ = (а₂ + а₃ + а₄)+ а₅,

а₃ + а₄ + а₅+ а₆ = (а₃ + а₄ + а₅)+ а_6,…

Отсюда следует, что числа а₄, а₅, а₆ и т. д. нечетны. Но тогда сумма а₄ + а₅ + а₆ нечетна, а это противоречит условию.

Полученное противоречие возникает всякий раз, когда чисел не меньше шести. Попробуем взять пять чисел .

Рассуждая аналогично , устанавливаем, что числа а₄, а₅ нечётны, а следовательно , по предыдущему, нечетны и числа а₁, а₂ .Тогда, так как сумма а₁ + а₂ + а₃ чётна , то число а₃ чётно .

Сделаем ещё проверку и убедимся в том, что если взять пять чисел а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ , где число а₃ чётно, а остальные нечётны, то каждая из сумм а₁ + а₂ + а₃, а₂ + а₃ + а₄, а₃ + а₄ + а₅ чётна, а каждая из сумм а₁ + а₂ + а₃ + а₄ , а₂ + а₃ + а₄ + а₅ нечётна.

Ответ: 5.

5.15.Можно ли на клетчатой бумаге, закрасить 25 клеток так, чтобы у каждой из них было: а) четное, б) нечетное число закрашенных соседей? (клетки называются соседями, если у них общая сторона )

Решение.

Предположим, что удалось закрасить 25 клеток требуемым образом. Попробуем найти число общих сторон закрашенных клеток и придем к противоречию. Сосчитаем, сколько у каждой клетки общих сторон с соседями, сложим полученные числа и сумму разделим пополам (так как каждую общую сторону мы считали при этом дважды ). У каждой клетки – нечетное число соседей, и клеток 25. Сумма 25 нечетных чисел нечетна и поэтому нацело на 2 не делится.

Ответ: а) можно, б) нельзя.

Такое же рассуждение показывает, что при любом нечетном n, закрасить n клеток так, чтобы у каждой было нечетное число закрашенных соседей, невозможно. В случае любого четного n такая раскраска возможна.

5.16. Существует ли замкнутая ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз и состоит из: а) 6 звеньев, б) 7 звеньев ?

Простые и составные числа

Натуральное число, большее 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя. Натуральное число называется составным, если оно имеет больше двух различных делителей.

Принято считать, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Отсюда следует, что множество натуральных чисел можно разбить на такие три подмножества: множество простых чисел, множество составных чисел и множество содержащее единственный элемент 1.

Справедлива следующая теорема.

Любое натуральное число, большее 1, можно и притом единственным образом представить в виде произведения простых чисел.

Это предложение называется основной теоремой арифметики натуральных чисел.

Среди простых делителей натурального числа могут быть равные, и их произведение можно записать в виде степени. Тогда разложение натурального числа а на простые множители можно представить в следующем виде:

a = p₁ ^k1 p₂ ^k2 … p_n^kn ,

где p₁, p₂,…, p_n - различные простые числа, k1, k2,…, kn – натуральные.

Задачи

5.17.К двузначному числу приписали такое же число. Может ли полученное число быть простым?

5.18. К числу, являющемуся произведением двух последовательных натуральных чисел, приписали справа число 21. Докажите, что полученное число – составное.

5.19. Натуральные числа a и b таковы, что 31a = 54b. Докажите, что число a + b – составное.

Решение.

Так как число 31а делится на 54 и числа 31 и 54 – взаимно простые, то а делится на 54: a = 54n; где nN. Тогда

31 54 n = 54b, b = 31n.

Отсюда a + b = 54n + 31n = 85n, а следовательно, число a + b является составным.

5.20. Натуральные числа a и b удовлетворяют условию 15a = 32b. Может ли число a – b быть простым? Если может – постройте пример; если не может – докажите.

5.21. Назовите все натуральные n, при которых число n⁴ + 4 –составное.

Решение.

Попробуем разложить выражение n⁴ + 4 на множители с целыми коэффициентами. Мы привыкли к тому, что сумма квадратов на множители с целыми коэффициентами не раскладывается. В данном случае это делается с помощью приема «плюс – минус» следующим образом:

n⁴ + 4 = (n⁴ + 4 + 4n²) - 4n² = (n² + 2)² - 4n² = (n² + 2n + 2)( n² - 2n + 2).

Очевидно, множитель n² + 2n + 2 всегда больше 1. Второй множитель n² - 2n + 2 может быть равным 1:

n² - 2n + 2 = 1, n² - 2n + 1 = 0, (n – 1)² = 0, n = 1.

Так как при n = 1 множитель n² + 2n + 2 принимает значение 5, являющееся простым числом, то значение n = 1 нужно отбросить.

Ответ: все n не равные 1.

5.22. Докажите, что любое число вида а = 101010…101 (n нулей, n + +1 единица, где n > 1) – составное.

Решение.

Преобразуем число а, учитывая, что всего у него 2n + 1 цифр, а следовательно, первая единица – разряда 2n:

a = 101010…101 = 10²ⁿ + 10^2n-2 + 10^2n-4 +…+ 10² + 1 =

= (1/(10² -1))(10² – 1)(10²ⁿ + 10^2n-2 +…+10² +1) =

= (1/99)(10²ⁿ⁺²-1) = (1/99)((10ⁿ⁺¹)² – 1) = (1/99)(10ⁿ⁺¹+1)( 10ⁿ⁺¹-1).

Теперь рассмотрим два случая.

1. Пусть n четно.

Тогда сумма 10ⁿ⁺¹+1 делится на 11, причем частное от такого деления больше 1, так как 10ⁿ⁺¹+1 >11; разность 10ⁿ⁺¹-1 делится на 9, причем частное также больше 1, так как 10ⁿ⁺¹+1 >11; разность 10ⁿ⁺¹-1 делится на 9, причем частное также больше 1. Получилось составное число

а = ((10ⁿ⁺¹+1)/11) ((10ⁿ⁺¹-1)/9).

1. Пусть n нечетно.

В этом случае разность 10ⁿ⁺¹-1 делится на 10² – 1= 99 и частное больше 1, поскольку 10ⁿ⁺¹-1 > 99.

5.23. Докажите, что все числа вида

10001,100010001,1000100010001,…

• составные.

5.24. Докажите, что число 8(3^5k + 5⁵ⁿ) – 5 при любых натуральных k и n является составным.

Характеристики

Список файлов курсовой работы