86344 (612727), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Задачи, при решении которых используются вершины, стороны и диагонали многоугольника

3.7. Можно ли организовать футбольный турнир девяти команд так, чтобы каждая команда провела по четыре встречи?

Решение

Изобразим каждую команду точкой, а проведенную ею встречу – отрезком, исходящим из этой точки. Девять точек лучше расположить так, чтобы при последовательном соединении их отрезками образовался выпуклый девятиугольник.

Задача сводиться к следующей: можно ли девять точек соединить отрезками так, чтобы из каждой точки выходили четыре отрезка? Другими словами, существует ли граф с деятью вершинами, у которого степень каждой вершины равна 4?

Прежде всего проведем все стороны девятиугольника; они будут означать, что каждая команда провела две встречи.

Д ля того чтобы получить еще две встречи будем, например, соединять все вершины диагоналями через одну ( рис. 19 ). ( Целесообразно для всех держаться одной и той же системы проведения из них отрезков, иначе решение усложнится. ) После этого все получается.

Ответ: можно.

3.8. Можно ли провести футбольный турнир восьми команд так, чтобы каждая команда провела: а) по четыре встречи; б) по пять встреч

3.9. Можно ли провести футбольный турнир семи команд так, чтобы каждая команда провела по три встречи?

Решение.

Попытки решить эту задачу тем же методом, что и предыдущие задачи, приводят к неудаче. Возникает подозрение, что провести турнир таким образом нельзя.

Для того чтобы доказать нашу гипотезу, попробуем вместо рисунка подсчитать общее число встреч, которые надо провести командам. Оно равно 7 (3/2). Но это число не является целым.

Ответ: нельзя.

3.10. Докажите что общее число вершин графа, которые имеют нечетную степень четно.

3.11. В трех вершинах правильного пятиугольника расположили по фишке. Разрешается передвигать их по диагонали в любую свободную вершину. Можно ли таким образом добиться того, чтобы одна из фишек вернулась на свое место, а две другие поменялись местами?

3.12. Дан правильный 45-и угольник. Можно ли так расставить в его вершинах цифры от 0 до 9 так, чтобы для любой пары различных цифр нашлась сторона, концы которой занумерованы этими цифрами.

Указание.

Рассмотреть полный граф, вершины которого суть цифры от 0 до 9. Задача сводится к его обходу.

3.13. Докажите что общее число вершин графа, которые имеют нечетную степень четно.

Решение.

Обозначим число вершин графа, имеющих нечетную степень, через k, а степени таких вершин – соответственно через а1, а2,…, аk. Кроме того, у графа могут быть вершины с четной степенью; обозначим степени этих вершин соответственно через b1, b2,…, bn.

Допустим, что число k нечетно. Подсчитаем общее число ребер графа. Оно равно [(а1 + а2 +…+ аk) + (b1 + b2 +…+ bn)] /2.

Сумма в первых круглых скобках числителя полученной дроби есть число нечетное, как сумма нечетного числа нечетных слагаемых, а сумма во вторых скобках число четное. Но тогда весь числитель – число нечетное, а значит дробь не является натуральным числом. Мы пришли к противоречию.

3.14. Можно ли 15 телефонов соединить между собой так, чтобы каждый из них был связан ровно с 11 другими?

3.15. Девять школьников, разъезжаясь на каникулы, договорились, что каждый из них пошлет открытки пятерым из остальных. Может ли оказаться, что каждый из них получит открытки именно от тех друзей, которым напишет сам?

3.16. В шахматном турнире в один круг участвуют 17 шахматистов. Верно ли, что в любой момент турнира найдется шахматист, сыгравший к этому моменту четное число партий ( может быть ни одной )?

Задачи на обведение контура фигуры непрерывной линией

3.17. В 18 веке город Кенигсберг ( ныне Калининград в составе нашей страны ) был расположен на берегах реки и двух островах. Различные части города были соединены семью мостами (рис. 20). Можно ли обойти все эти мосты так, чтобы побывать на каждом из них ровно один раз?

Это и есть задача Эйлера о кенигсбергских мостах, о которой упоминалось в начале параграфа.

Решение.

Обозначим различные части города буквами А, В, С и К и изобразим их точками. Мосты изобразим линиями, соединяющими эти точки. Получим граф ( рис. 21).

Задача сводится к следующей: существует ли путь, проходящий по всем ребрам графа, причем по каждому ребру только один раз?

Рассмотрим два случая.

1) Предположим, что существует такой замкнутый путь. Тогда степень каждой вершины графа должна быть четной, так как, входя в какую-либо вершину, мы затем должны из нее выйти, причем по другому ребру. Что касается начала пути, то после выхода из него мы должны в конце концов в него и вернуться, поскольку путь замкнутый. Однако на рисунке 20 нет ни одной вершины, степень которой была бы четной. Значит этот случай невозможен.

2)Пусть существует такой незамкнутый путь; например, пусть он начинается в вершине А, а заканчивается в С.

Тогда из вершин А и С должно выходить уже нечетное число ребер, а из промежуточных вершин В и К – по-прежнему четное число. Но на рисунке степени вершин В и К нечетны. Следовательно, и этот случай отпадает.

Ответ: нельзя.

Хотя рассуждение проведенное при решении задачи 3.13, выполнено для частного случая, оно носит общий характер:

1)если существует замкнутый путь, проходящий по всем ребрам графа, причем по каждому ребру только один раз, то степени всех вершин графа четные,

2)если существует аналогичный незамкнутый путь, то степени начала и конца пути нечетные, а остальных вершин – четные.

Эйлер в своей статье доказал и обратные утверждения. Пусть граф связный, т. е. любые две его вершины можно связать путем, проходящим по его ребрам. Тогда путь, проходящий по всем ребрам графа, причем по каждому ребру только один раз, существует лишь в следующих двух случаях:

1. когда степень каждой вершины четная (в этом случае путь замкнут),

2. когда граф имеет только две вершины А и В с нечетной степенью (тогда путь не замкнут и имеет своими концами вершины А и В ) .

3.18.Можно ли обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя по одной линии дважды:

а) квадрат с диагоналями,

б)правильный пятиугольник с диагоналями?

3.19. Можно ли из проволоки длиной 12 дм изготовить каркас куба с ребром длины 1 дм, не ломая проволоку на части?

3.20. Можно ли граф, изображенный на рисунке 22, обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проходя ни одной линии дважды? Если можно, то как?

3.21. В точке А расположен гараж для снегоочистительной машины (рис. 23). Водителю машины было поручено убрать снег с улиц части города изображенной на рисунке. Может ли он закончить свою работу на том перекрестке, где находится гараж, если по каждой улице своего участка города водитель будет проезжать только один раз?

3.22. В марсианском метро 100 станций. От любой станции до любой Другой можно проехать. Забастовочный комитет хочет закрыть проезд через одну из станций так, чтобы между всеми остальными стан­циями был возможен проезд. Докажите, что такая станция найдется.

3.23. В тридевятом царстве каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Докажите, что существует город, из которого в любой другой можно проехать не более чем по двум дорогам.

3.24. В городе на каждом перекрестке сходится четное число улиц. Известно, что с любой улицы города можно проехать на любую другую. Докажите, что все улицы города можно объехать, побывав на каждой по одному разу.

Разные задачи на графы.

3.25. В углах шахматной доски 3х3 стоят 4 коня: 2 белых (в соседних углах) и два черных. Можно ли за несколько ходов (по шахматным правилам) поставить коней так, чтобы во всех соседних углах стояли кони разного цвета?

Решение.

Отметим центры клеток доски и соединим отрезками пары отмеченных точек, если из одной в другую можно пройти ходом коня. Мы получим граф, содержащий «цикл» из восьми точек и одну изолированную точку (рис. 24). Перемещение коней по доске соответствует движению по ребрам этого цикла. Ясно, что при движении по циклу нельзя изменить порядок следования коней.

3.26. Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы число, составленное из двух соседних цифр, делилось либо на 7, либо на 13.

Решение.

Напишем цифры на листе. Соединим стрелками те цифры, которые могут следовать друг за другом (рис. 25). Теперь ясно, что первой идет 7, затем 8 и 4. Поскольку 8 уже использована, то стрелки, идущие в нее, надо убрать. После 4 идет 9, поскольку к девятке другого пути нет. Дальше идет 1 и так далее.

Ответ: 784913526.

3.27. В школьном турнире в один круг играют шесть шахматистов: Алеша, Боря, Витя, Гриша, Дима и Костя. Ежедневно игрались три партии, и весь турнир окончился в пять дней. В первый день Боря играл с Алешей, а во второй – с Костей. Витя в четвертый день играл с Костей, а в пятый с Димой. Кто с кем играл в каждый день турнира?

Решение.

Обозначим шахматистов соответственно точками А, Б, В, Г, Д и К, а сыгранные ими партии – отрезками, соединяющими эти точки.

Точки лучше располагать так, чтобы при последовательном их соединении они стали вершинами правильного шестиугольника.

1. Первый день турнира. По условию в этот день Боря играл с Алешей. С кем играл Витя? Только с Гришей, так как с Димой и Костей он играл в другие дни. Следовательно, третью партию в первый день играли Дима с Костей. Построим соответствующий граф (рис. 26).

2. Второй день турнира. В этот день Боря играл с Костей, поэтому Витя, учитывая первый и пятый дни, мог играть лишь с Алешей (рис. 27).

3. Третий день турнира. Витя, с учетом всех предыдущих и последующих турнира, мог играть только с Борей. Так как Дима уже играл с Костей и Гришей, то в этот день он играл с Алешей (рис. 28). Значит Гриша играл с Костей.

4. Четвертый день турнира. Здесь нетрудно определить, кто с кем играл: Витя – с Костей, Алеша – с Гришей, Боря с Димой (рис.29) .

5. Пятый день турнира (рис. 30).

3.28. В одном купе поезда ехали четыре пассажира. Среди них не было трех человек, которые прежде были знакомы друг с другом, но один был знаком с тремя остальными. Докажите, что эти три последних пассажира прежде не были знакомы друг с другом.

3.29. Каждые две из шести ЭВМ соединены проводом. Можно ли все эти провода раскрасить в один из пяти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходили пять проводов разного цвета?

Решение.Для решения начертим выпуклый шестиугольник

и проведем в нем все диагонали (рис. 31). Пусть каждая вершина шестиугольника означает однуB из ЭВМ, а каждый отрезок провод, соединяющий две ЭВМ. Занумеруем различные цвета натуральными числами от 1 до 5 для того, чтобы отличать их друг от друга. Начнем например с вершины Апроведем из нее отрезки всех пяти цветов. Перейдем к вершине В и из нее проведем четыре отрезка всех цветов с №2 по №5, учитывая, что отрезок ВА, выходящий из этой вершины, уже окрашен в цвет №1. Затем займемся вершиной С. И т. д. В итоге получаем положительный ответ на вопрос задачи.

Ответ: можно.

На рисунке 31 каждые две вершины графа соединены своим ребром. Такой граф называется полным.

3.30. На туристском слете выяснилось, что каждый юноша знаком с 8 девушками, каждая девушка знакома с 6 юношами. Кого на слете больше: юношей или девушек?

3.30. На кружке, в котором участвуют шесть школьников, было дано шесть задач. Каждый школьник решил две задачи, и каждую задачу решили два школьника. Докажите, что разбор задач можно организовать так, чтобы каждый школьник изложил решение одной из решенных им задач и все задачи были разобраны.

Характеристики

Список файлов курсовой работы