86264 (612702), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Так как сверхразрешима и - -холловская подгруппа в , то нормальна в и по лемме Фраттини содержит силовскую 2-подгруппу из . Ясно, что . Подгруппа ненормальна в , значит, , но теперь нормальна в и нормальна в , противоречие. Теорема доказана.

Теорема 3 . Пусть конечная группа , где - циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа содержит циклическую подгруппу индекса . Если в нет нормальных секций, изоморфных , то сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа разрешима, а так как условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то подгруппа Фиттинга - единственная минимальная нормальная в подгруппа. Если - 2-группа, то содержится в и поэтому порядок равен 4, a изоморфна подгруппе группы . Если силовская 3-подгруппа из неединична, то действует на неприводимо и - нормальная в подгруппа, изоморфная , противоречие. Если , то - 2-группа и сверхразрешима.

Следовательно, - -группа порядка . Так как силовская -подгруппа в метациклическая по теореме III.11.5, то - элементарная абелева порядка и изоморфна подгруппе из , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как для некоторой максимальной в подгруппы , то из леммы 1 получаем, что - силовская в подгруппа и можно считать, что , где , a .

Через обозначим . Как и в теореме 2, легко показать, что -холловская подгруппа из неединична, а . Так как - -холловская в подгруппа и сверхразрешима, то нормальна в и содержит силовскую 2-подгруппу из , которая совпадает с силовской 2-подгруппой в . Подгруппа ненормальна в , поэтому . Но теперь нормальна в , а значит, и в , противоречие. Теорема доказана.

3. Произведение разрешимой и циклической групп

В настоящей заметке доказывается следующая

Теорема 1. Пусть конечная группа является произведением разрешимой подгруппы и циклической подгруппы и пусть . Тогда , где - нормальная в подгруппа, и или для подходящего .

означает произведение всех разрешимых нормальных в подгрупп.

Следствие. Если простая группа является произведением разрешимой и циклической подгрупп, то .

Несмотря на то, что среди при нечетном нет групп факторизуемых разрешимой подгруппой и циклической, группы допускают указанную факторизацию для каждого .

Из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

Работа состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся необходимые вспомогательные результаты. Кроме того, доказывается теорема 3, которая является обобщением теоремы Виландта о разрешимости внешней группы автоморфизмов простой группы, содержащей подгруппу простого индекса. В 3.2 доказываются теоремы 1 и 2.

Все обозначения и определения стандартны. Запись означает, что конечная группа является произведением своих подгрупп и .

3.1 Вспомогательные результаты

Пусть - подгруппа группы . Тогда означает наибольшую нормальную в подгруппу, которая содержится в , a - наименьшую нормальную в подгруппу, которая содержит .

Лемма 1. Если и содержит подгруппу , нормальную в , то .

Лемма 2. Пусть и - нормальная в подгруппа. Если , то .

Доказательство. Поскольку , то . Так как , то

Лемма 3 . Если и абелева, то .

Доказательство. Пусть . Ясно, что и . Если , то и . Таким образом, и .

Лемма 4 . Пусть и не делит . Тогда не сопряжен ни с одним элементом из .

Доказательство. Если , то и делит . Но по лемме VI.4.5 из, поэтому . Противоречие.

Лемма 5 . Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы и . Если разрешима, то и изоморфна подгруппе из .

Доказательство. . Так как разрешима, то и . По лемме 1.4.5 из группа есть группа автоморфизмов .

Лемма 6 . Пусть , где - собственная подгруппа , а циклическая. Если , то справедливо одно из следующих утверждений:

1) и - нормализатор силовской 2-подгруппы, а ;

2) , а ;

3) , а .

Доказательство. См. теорему 0.8 из.

Лемма 7 . Группа при любом является произведением разрешимой подгруппы и циклической.

Доказательство. Если , то утверждение следует из леммы 6. Пусть , и - силовская -подгруппа в . Известно, что циклическая и в есть циклическая подгруппа порядка . Так как и , то .

Лемма 8 . Если , то является произведением разрешимой и циклической подгрупп.

Доказательство. Известно, что , где - циклическая группа порядка, делящего , и нормализует подгруппу , где - силовская 2-подгруппа в . Так как , где - циклическая группа порядка , то и разрешима.

Лемма 9 . Группа является произведением разрешимой подгруппы и циклической. Группа не допускает указанной факторизации.

Доказательство. Группа имеет порядок и в ней содержится подгруппа индекса 2. Так как дважды транзитивна на множестве из 13 символов, то стабилизатор точки имеет порядок и является разрешимой группой. Поэтому является произведением разрешимой подгруппы порядка и циклической подгруппы порядка 13.

Покажем, что не содержит подгруппы индекса 13. Допустим противное и пусть - подгруппа порядка . Так как дважды транзитивна на смежных классах по , то центр имеет нечетный порядок по лемме 2.2, а по лемме Берноайда , где .

Пусть - подгруппа Фиттинга группы , где . Известно, что нормализатор силовской 3-подгруппы в имеет порядок , поэтому . Так как разрешима, то и изоморфна подгруппе из .

Предположим, что . Тогда делит порядок , а значит и . Но это невозможно, так как . Противоречие.

Следовательно, . Далее , так как - подгруппа нечетного порядка, поэтому . Ясно, что , a и . Силовская 2-подгруппа из является силовской в , значит, она полудиэдральная порядка 16, все инволюции сопряжены и централизатор каждой инволюции изоморфен порядка . Поэтому . как подгруппа из полудиэдральна при , либо циклическая, либо кватернионная, либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом случае порядок не делится на 9. Таким образом, . Противоречие. Итак, не содержит подгруппы индекса 13.

Пусть , где - разрешимая подгруппа, а - циклическая. В силовокие 13-подгруппы самоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок . Так как в нет - холловской подгруппы, то 3 делит порядок . Но в силовская 3-подгруппа имеет экспоненту 3, поэтому в есть подгруппа порядка . Теперь силовская 13-подгруппа из не самоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.

Теорема 3 . Если - простая группа, где - холловская собственная в подгруппа, а - абелева -группа, то есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если циклическая, то есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

Доказательство. Из простоты и леммы Чунихина вытекает, что и максишльна в . Представление группы перестановками на смежных классах подгруппы будет точным и дважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрической группы S степени, равной порядку . Так как - регулярная и транзитивная группа и , то также транзитивна. Но по теореме 1.6.5, поэтому самоцентрализуема в .

Группа автоморфизмов , индуцированная элементами из , называется группой подстановочных автоморфизмов. Очевидно , а по теореме 3 подгруппа нормальна в и - элементарная абелева 2-группа.

По лемме Фраттини , поэтому обозначив будем иметь . Так как , то изоморфна секции из . В частности, если циклическая, то абелева и есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

3.2 Доказательства теорем 1 и 2

Доказательство теоремы 1 . Предположим, что теорема неверна и пусть - контрпример минимального порядка. Так как , то и по лемме 3.

Допустим, что не максимальна в и пусть - прямое произведение минимальных нормальных в подгрупп и - наибольшее. Очевидно, содержит все минимальные нормальные в подгруппы. Так как , то и . Поэтому изоморфна подгруппе из .

Допустим, что для некоторого . Тогда и разрешима. Значит, . Пусть - подгруппа в , собственно содержащая . Так как и - нормальная в неединичкая подгруппа, то . Теперь минимальная нормальная в подгруппа из совпадает с и , противоречие. Таким образом, для любого . По индукции изоморфна подгруппе , где - есть прямое произведение, построенное из групп . Очевидно, что , поэтому также есть прямое произведение, построенное из групп . Следовательно, обладает этим же свойством и - подгруппа из . Противоречие.

Итак, максимальна в . Поэтому представление перестановками на множестве смежных классов подгруппы будет точным и примитивным. Так как , то в этом представлении регулярна и дважды транзитивна. Пусть минимальная нормальная в подгруппа. Применяя теорему 11.3 и результат Берноайда, заключаем, что проста и примитивна, т.е. максимальна в . Так как , то разрешима и по лемме 5. Таким образом, изоморфна подгруппе из .

Характеристики

Список файлов курсовой работы