86264 (612702), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Теперь покажем, что силовская 2-подгруппа является диэдральной группой порядка 4 или 8. Если , то , и так как неразрешима, то диэдральная. Пусть не содержится в .

Предположим, что и пусть , где - инволюция из . Теперь и . Пусть вначале и максимальна в . Тогда - дважды транзитивная группа на множестве смежных классов по подгруппе : если - простое число; если - непростое число. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие. Пусть - максимальная в подгруппа, которая содержит . Тогда и . Кроме того, . Пусть - минимальная инвариантная в подгруппа, которая содержится в , существует по лемме Чунихина, а так как , то , а следовательно, и неразрешимы. По индукции изоморфна подгруппе , содержащей , для некоторых . Все инвариантные в подгруппы неразрешимы, поэтому , а так как - минимальная инвариантная в подгруппа, то . B силу леммы 5 , поэтому разрешима. Но тогда и изоморфна группе автоморфизмов группы , т. е. из заключения теоремы. Противоречие.

Значит, , поэтому не содержит инвариантных в подгрупп, отличных от 1. Следовательно, представление группы подстановками смежных классов по подгруппе точное степени 4. Отсюда группа есть группа диэдра порядка 8.

Таким образом, силовская 2-подгруппа в группе есть диэдральная группа порядка 4 или 8. По результату Горенштейна - Уолтера группа изоморфна , или подгруппе группы . Так как , не допускает требуемой факторизации, то группа - из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

В заключение отметим, что, используя технику доказательств теорем 1--3 и следствие леммы 4, можно получить описание неразрешимых групп при условии, что - 2-разложимая группа, а в группе существует циклическая подгруппа индекса .

2. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

В 1953 г. Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. Развивая этот результат, В. Скотт получил разрешимость конечной группы , допустив в качестве множителей еще так называемые дициклические группы. Эти результаты достаточно подробно изложены в монографии. Диэдральные и дицикдические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но далеко не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2.

В 1974 г. автор установил разрешимость конечной группы при условии, что факторы и содержат циклические подгруппы индексов 2, тем самым решив задачу, рассматриваемую Хуппертом и Скоттом. В настоящей заметке показывается, что 2-длина таких групп не превышает 2, а -длина равна 1 для любого нечетного . Эти оценки точные, на что указывает пример симметрической группы . Получены также два признака сверхразрешимости конечной факторизуемой группы.

Все встречающиеся определения и обозначения общеприняты. В частности, - множество простых делителей порядка , a - циклическая группа порядка .

Лемма 1 . Метациклическая группа порядка для нечетного простого неразложима в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка и подгруппы порядка .

Доказательство. Допустим противное и пусть - метациклическая группа порядка , разложимая в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка и подгруппы порядка , - нечетное простое число. Ясно, что неабелева. Если содержит нормальную подгруппу порядка с циклической фактор-группой , то содержится в центре и абелева по лемме 1.3.4, противоречие. Следовательно, содержит циклическую подгруппу индекса и подгруппа , порожденная элементами порядка , является элементарной абелевой подгруппой порядка по теоремам 5.4.3 и 5.4.4. Теперь , и подгруппы порядка не существует. Значит, допущение неверно и лемма справедлива.

При утверждение леммы неверно, контрпримером служит диэдральная группа порядка 8.

Лемма 2 . Разрешимая конечная группа с циклической подгруппой Фиттинга сверхразрешима.

Доказательство. Пусть - конечная разрешимая группа с циклической подгруппой Фиттинга . Так как , то как группа автоморфизмов циклической группы будет абелевой по теореме 1.3.10, поэтому сверхразрешима.

Лемма 3 . Если в сверхразрешимой группе нет неединичных нормальных 2-подгрупп, то силовская 2-подгруппа абелева.

Доказательство. Коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен (теорема VI.9.1), поэтому силовская 2-подгруппа из коммутанта нормальна в группе. Если коммутант имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа в группе абелева.

Напомним, что - наибольшая нормальная в -подгруппа, - центр группы , а - наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . Через обозначается -длина группы .

Лемма 4 . Пусть и - подгруппы конечной группы , обладающие, следующими свойствами:

1) для всех ;

2) , где .

Тогда .

Доказательство. См. лемму 1.

Теорема 1 . Пусть конечная группа , где и - группы с циклическими подгруппами индексов . Тогда разрешима, и для любого простого нечетного .

Доказательство. По теореме из группа разрешима. Для вычисления -длины воспользуемся индукцией по порядку группы . Вначале рассмотрим случай нечетного . По лемме VI.6.4 подгруппа Фраттини единична и в группе единственная минимальная нормальная подгруппа. По теореме III.4.5 подгруппа Фиттинга - минимальная нормальная подгруппа. Так как , то - -группа. Если , то - абелева группа порядка, делящего , а так как , то . Силовская -подгруппа в метациклическая по теореме III.11.5, поэтому - элементарная абелева порядка и изоморфна подгруппе из , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как для некоторой максимальной в подгруппы , то из леммы 1 получаем что - силовская в подгруппа и .

Рассмотрим теперь 2-длину группы . Ясно, что и - единственная минимальная нормальная в подгруппа, которая является элементарной абелевой 2-подгруппой. Пусть и - -холловские подгруппы из и соответственно. По условию теоремы - циклическая нормальная в подгруппа, - циклическая нормальная в подгруппа. Теперь - -холловская в подгруппа по теореме VI.4.6, и можно считать, что . Для любого элемента имеем: , a по лемме 4 либо , либо . Но если , то и централизует , что невозможно. Значит, , а так как в только одна минимальная нормальная подгруппа, то и - 2-группа. Фактор-группа не содержит нормальных неединичных 2-подгрупп, поэтому подгруппа Фиттинга имеет нечетный порядок. Но -холловская в подгруппа циклическая, а по лемме 2 фактор-группа сверхразрешима и силовская 2-подгруппа в абелева по лемме 3, Теперь по теореме VI.6.6 и . Теорема доказана.

Лемма 5 . Конечная группа с подгруппой Фиттинга индекса сверхразрешима.

Доказательство. Проведем индукцией по порядку группы. Пусть - конечная группа, в которой подгруппа Фиттинга имеет индекс . По индукции можно считать, что подгруппа Фраттини единична и в группе только одна минимальная нормальная подгруппа. Поэтому F - минимальная нормальная в подгруппа. Пусть - инволюция из . Если , то - нормальная в подгруппа. Если , то и - неединичная нормальная в подгруппа. Итак, в группе имеется нормальная подгруппа простого порядка. По индукции сверхразрешима, значит, сверхразрешима и группа .

Лемма 6 . Конечная группа, являющаяся произведением двух подгрупп порядков, делящих , сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть конечная группа , где подгруппы и имеют порядки, делящие , - простое число. Все фактор-группы группы удовлетворяют условиям леммы, поэтому по индукции нетривиальные фактор-группы группы сверхразрешимы. Следовательно, подгруппа Фраттини группы единична, а подгруппа Фиттинга - минимальная нормальная в подгруппа. По лемме 2 подгруппа нециклическая.

Если - 2-группа, то и изоморфна подгруппе группы , поэтому - группа порядка 3, а группа имеет порядок 12 и содержит подгруппу порядка 6. Следовательно, сверхразрешима.

Пусть теперь - -группа. Так как сверхразрешима по индукции, то 2-нильпотентна. Но , так как , значит, - 2-группа, которая по лемме 5 имеет порядок 4. Группа неприводимо действует на подгруппе , поэтому циклическая по теореме Машке. С другой стороны, и силовская 2-подгруппа из есть произведение двух подгрупп и порядков 2. Противоречие. Лемма доказана.

Теорема 2. Если группы и содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов , то конечная группа сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа разрешима. Поскольку условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то по индукции все нетривиальные фактор-группы группы сверхразрешимы. Поэтому подгруппа Фраттини группы единична, а подгруппа Фиттинга - единственная минимальная нормальная в подгруппа. Ясно, что имеет непростой порядок. Если - 2-группа, то порядка 4 и изоморфна подгруппе группы . Но теперь порядок делит 12, и сверхразрешима по лемме 6.

Следовательно, - -группа порядка . Силовская -подгруппа в метациклическая по теореме III.11.5, поэтому - элементарная абелева порядка и изоморфна подгруппе группы , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как для некоторой максимальной в подгруппы , то из леммы 1 получаем, что - силовская в подгруппа и можно считать, что , где .

Через - обозначим разность . Так как -холловские подгруппы из и из нормальны в и соответственно, то - -холловская в подгруппа. Если , то сверхразрешима по лемме 6. Пусть . Для любого элемента имеем: и по лемме 4 либо , либо . Если , то из минимальности получаем, что и централизует , что невозможно. Значит, и . Но в единственная минимальная нормальная подгруппа, поэтому и делит . Но если , то нормальна в , противоречие. Значит, .

Характеристики

Список файлов курсовой работы