86264 (612702), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Лемма 5 . Пусть группа содержит циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 2. Если - 2-разложимая группа, то группа разрешима.

Доказательство. Применим индукцию к порядку . Если , то ввиду леммы 1 фактор-группа удовлетворяет условиям леммы. По индукции, разрешима, отсюда разрешима и .

Пусть . Если - циклическая, то разрешима по теореме В. А. Ведерникова. Поэтому , - циклическая подгруппа индекса 2, . Пусть , где - силовская 2-подгруппа из , - ее дополнение. Если , то разрешима. Теперь и можно считать силовской 2-подгруппой в . Так как и , то . Пусть и . Тогда и . По лемме С. А. Чунихина подгруппа максимальна в и . Представление группы подстановками смежных классов по подгруппе дважды транзитивное: если - простое число, если - составное. Из леммы 3 вытекает теперь, что .Противоречие.

Доказательство теоремы 1 . Применим индукцию к порядку группы G. Пусть и - циклические инвариантные подгруппы в и в соответственно, чьи индексы равны 1 или 2, а и - те силовские 2-подгруппы из и , для которых и есть силовская 2-подгруппа . Будем считать, что . Если , то и разрешима по теореме Ито-Хупперта. Поэтому в дальнейшем полагаем, что . Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа удовлетворяет условиям теоремы, поэтому

Допустим, что . Если , то и . Так как разрешима, то . Если , то и разрешима.

Пусть теперь . Тогда и . Так как не является силовской подгруппой в , то содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой 2-группе . Обозначим через силовскую 2-подгруппу из . Очевидно, что инвариантна в .

Предположим, что и пусть - инволюция из . В все подгруппы характеристические и инвариантна в , поэтому и . Пусть - максимальная в подгруппа, которая содержит . Тогда разрешима по индукции. Если , то содержится в и . Значит, . Так как - собственная в подгруппа, то , и . Теперь - дважды транзитивная группа степени на множестве смежных классов по : если - простое число, то применимо утверждение из, стр. 609; если составное. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие.

Следовательно, . Если , то и .Так как не содержит подгрупп, инвариантных в , то представление группы подстановками по подгруппе - точное степени 4. Поэтому - группа диэдра порядка 8, и . В этом случае неабелева. Напомним, что и . Таким образом, для силовской 2-подгруппы из имеем: - группа порядка 4 или неабелева группа порядка 8 (если ).

Предположим, что порядки групп и делятся одновременно на нечетное простое число и пусть и - силовские -подгруппы из и соответственно. Так как инвариантна в , a инвариантна в , то и - силовская -подгруппа в . Без ограничения общности можно считать, что . По теореме VI.10.1 из группа содержит неединичную подгруппу , инвариантную в . Но теперь и , а так как инвариантна в , a разрешима, то по лемме С. А. Чунихина. Противоречие. Следовательно, порядки и не имеют общих нечетных делителей. В частности, в группе силовские подгруппы для нечетных простых чисел циклические.

Пусть - минимальная инвариантная в подгруппа и - силовская 2-подгруппа из , которая содержится в . Так как , то неразрешима и . Подгруппа даже простая потому, что силовские подгруппы по нечетным простым числам циклические.

Пусть вначале . Тогда и неабелева. По теореме П. Фонга из группа диэдральная или полудиэдральная. Но в этих случаях . Непосредственно проверяется, что диэдральная и полудиэдральная группа порядка 16 не является произведением двух групп порядка 4.

Предположим теперь что . Тогда - элементарная абелева подгруппа или диэдральная. Если абелева, то или группа Янко порядка 175560. Так как неабелева, то и индекс в четен. Группа разрешима, поэтому и или . Ho группа порядка 3, a . Противоречие. Если - диэдральная группа порядка 8, то - нечетное простое число или . Но группы и не допускают нужной факторизации, поэтому - собственная в подгруппа. Теперь или . Если , то - диэдральная группа порядка 16, а так как , то . Противоречие. Если , то и в существует подгруппа порядка или .

Пусть, наконец, . Тогда и . Так как фактор-группа разрешима по индукции, то и . Используя самоцентрализуемость силовской -подгруппы в , нетрудно показать, что не допускает требуемой факторизации. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2 . Допустим, что теорема неверна и группа - контрпример минимального порядка. Фактор-группа группы Шмидта есть либо группа Шмидта, либо циклическая -группа. Поэтому в силу индукции и теоремы 1 мы можем считать, что . Пусть - произвольная минимальная инвариантная в подгруппа. Если , то , а так как - нильпотентная группа, то разрешима по теореме Ито--Хупперта или по теореме Виландта--Кегеля. Отсюда разрешима и . Противоречие. Значит, , в частности, разрешима. Допустим, что . Тогда и удовлетворяет условиям леммы. Поэтому изоморфна подгруппе группы , содержащей для подходящего . Так как есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, то и . Отсюда . Подгруппа инвариантна в так как , то разрешима и . Теперь изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е. из заключения теоремы. Противоречие. Значит, .

Таким образом, если - произвольная инвариантная в подгруппа, то .

Пусть , - инвариантная силовская -подгруппа, - силовская -подгруппа. Через обозначим циклическую подгруппу в , для которой . Допустим, что . В этом случае и если - подгруппа индекса 2 в , то - циклическая подгруппа индекса 2 в . По теореме 1 группа разрешима. Противоречие. Значит, . Теперь, если в есть инвариантная подгруппа четного индекса, то есть группа Шмидта с инвариантной силовской 2-подгруппой, что противоречит лемме 1.

Следовательно, и в нет инвариантных подгрупп четного индекса.

Допустим, что , тогда - группа нечетного порядка. Силовская 2-подгруппа из является силовской подгруппой в и по результату В. Д. Мазурова группа диэдральная или полудиэдральная. Если диэдральная, то по теореме 16.3 группа изоморфна или подгруппе группы . Так как не допускает требуемой факторизации, то следует из заключения теоремы. Противоречие. Значит, - полудиэдральная группа. Если - центральная инволюция из , то , поэтому и разрешима. По теореме Мазурова группа изоморфна или . Нетрудно проверить, что и не допускают требуемой факторизации. Значит, .

Пусть - максимальная в подгруппа, содержащая . Тогда, если , то и содержит подгруппу , инвариантную в по лемме Чунихина. В этом случае, и . Противоречие. Следовательно, .

Допустим, что не является силовской 2-подгруппой в . Тогда немаксимальна в , а так как и , то по лемме 2 порядок нечетен. Теперь и содержит подгруппу индекса 2. Противоречие.

Таким образом, - силовская 2-подгруппа группы . Теперь, и - максимальная в подгруппа. Представление подстановками смежных классов по дважды транзитивное и по лемме 3 порядок центра нечетен. Отсюда следует, что - абелева группа.

Пусть - минимальная инвариантная в подгруппа. Группа не является -группой, поэтому некоторая силовская в подгруппа циклическая и - простая группа. Теперь можно применить результат Уолтера. Так как и группе Янко и в группах типа и нормализатор силовской 2-подгруппы имеет порядок , a , то изоморфна , где или . Фактор-группа разрешима, поэтому и изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е. из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3 . Пусть группа - контрпример минимального порядка, - циклическая подгруппа в и , где . Пусть , где - силовская 2-подгруппа , а - ее 2-дополнение в . Если - силовская 2-подгруппа , то и разрешима по теореме Ведерникова. Противоречие. Теперь можно считать силовской 2-подгруппой группы .

Предположим, что . Фактор-группа и - 2-разложимая группа. Очевидно, что циклическая подгруппа нечетного порядка инвариантна в и ее индекс равен 1, 2 или 4. В первых двух случаях группа разрешима по лемме 5, поэтому разрешима и . Противоречие. Если индекс равен 4, то по индукции и учитывая, что , получаем: группа изоморфна подгруппе , содержащей для некоторых . Противоречие. Следовательно, в нет разрешимых инвариантных подгрупп, отличных от единицы.

Характеристики

Список файлов курсовой работы