86264 (612702), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Предположим, что . Тогда неразрешима, и . Так как , то по индукции изоморфна подгруппе из , а или и из заключения теоремы. Следовательно, и по лемме 2.

Пусть порядок четен. Тогда содержит подгруппу индекса 2 по лемме 4.1. По теореме Хольта подгруппа 2-транзитивна и изоморфна - степень нечетного простого числа или группа типа Ри в их обычных 2-транзитивных представлениях. Если , то из заключения теоремы. Внешняя группа автоморфизмов группы типа Ри имеет нечетный порядок, поэтому не содержится в группе автоморфизмов группы типа Ри.

Пусть теперь изоморфна - простое нечетное число. Тогда , где и , где - силовская -подгруппа из и . Из леммы 2 получаем . Так как в все инволюции сопряжены и имеет четный порядок, то по лемме 4 подгруппа имеет нечетный порядок, в частности не делит .

Предположим, что существует простое число , делящее и . Если , то по лемме 2.5 порядок делит , а так как , то делит . Если , то делит и элементарные вычисления и применение леммы 2.5 показывают, что делит . Так как , то в любом случае . Известно, что , поэтому и . Противоречие с леммой 2.5.

Следовательно, не может быть изоморфна . Случай, когда порядок четен, рассмотрен полностью.

Пусть порядок подгруппы нечетен. Тогда содержит некоторую силовскую 2-подгруппу из . По теореме О'Нэна Error: Reference source not found подгруппа изоморфна или и нечетное число.

Пусть изоморфна .Тогда и делит . Поэтому содержит силовскую 2-подгруппу из и, используя информацию о подгруппах в , получаем, что делит , a делит или . Теперь делится на , которое делится на или на . Противоречие.

Пусть изоморфна . Так как имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа из содержится в . Если , то и по лемме 3.3 имеем . Если , то нормальна в , так как разрешимая группа с силовской 2-подгруппой имеет 2-длину 1. Итак, в любом случае . Но дважды транзитивна на смежных классах по , поэтому и нормальна в .

Поскольку и . Кроме того, , поэтому - нечетное число, делящее . Так как - циклическая группа нечетного порядка в , то либо делит , либо делит . Поэтому делится на , либо на . Очевидно, при . Случай исключается непосредственно. Следовательно, неизоморфна .

Предположим, что - нечетное и . Так как - стабилизатор точки и разрешима индекса , то , либо . Группа не допускает требуемой факторизации по лемме 9. Поэтому либо , либо . Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2 . Пусть - 2-нильпотентная группа и - ее силовская 2-подгруппа, - циклическая. Очевидно, мы можем считать, что . Пусть - максимальная в подгруппа, содержащая . Так как , то . Предположим, что . Тогда и группа непроста. Если порядок нечетен, то по индукции разрешима и , противоречие. Таким образом, , кроме того, максимальна в . Теперь - дважды транзитивна на множестве смежных классов по . Если порядок четен, то группа непроста по лемме 4.1. Пусть порядок нечетен. Тогда - силовская в подгруппа. По теореме Виландта-Кегеля , а по лемме 3.3 и 2-разложимая подгруппа. По теореме 1V.2.6 подгруппа неабелева. Так как из теоремы 1 в случае, когда порядок нечетен следует, что силовская 2-подгруппа в абелева, то имеем противоречие. Теорема доказана.

Симметрическая группа пяти символов факторизуется 2-нильпотентной подгруппой порядка 20 и циклической подгруппой порядка 6. Поэтому условие нечетности порядка циклического фактора существенно.

Заключение

В данной курсовой работе были приведены некоторые результаты, полученные Монаховым В. С. (Гомельская лаборатория института математики), проливающие свет на такие важные вопросы в теории конечных групп, как разрешимость и сверхразрешимость конечных групп, являющихся произведением двух групп с различными свойствами, а именно содержащих циклическую подгруппу индекса , содержащих циклические подгруппы индекса 2, разрешимые и циклические группы.

Эти полученные данные изложены в теоремах 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 3.1, 3.2 и 3.3. Так же представляют интерес данные изложенные в леммах, которые были использованы при доказательстве выше упомянутых теорем. В особенности следует выделить лемму 1.2, которая обобщает лемму А. В. Романоского и теорему 1.3, являющеюся обобщением теоремы Б. Хупперта.

Список использванных источников

1. Монахов В.С. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса .// Математические заметки.-1974.-Т.16, №2-с. 285-295

2. Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп// Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с.189-195

3. Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2// Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук.-1996, №3-с.21-24

Характеристики

Список файлов курсовой работы