86264 (612702)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Произведение двух групп

Курсовая работа

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Закревская С.А.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1 О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

2 О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

3 Произведение разрешимой и циклической групп

3.1. Вспомогательные результаты

3.2. Доказательства теорем 1 и 2

Заключение

Список литературы

Введение

Данную работу можно рассматривать как продолжение трудов Б. Хупперта и В. Скотта. В ней приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса , произведением двух групп с циклическими подгруппами индекса 2, произведением разрешимой и циклической групп.

Рассматриваются вопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, с приведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:

Теорема 1.1 . Если и - группы с циклическими подгруппами индексов , то конечная группа разрешима.

Теорема 1.2 . Пусть - группа Шмидта, а - группа с циклической подгруппой индекса . Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 1.3 . Пусть - 2-разложимая группа, а группа имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 2.1 . Пусть конечная группа , где и - группы с циклическими подгруппами индексов . Тогда разрешима, и для любого простого нечетного .

Теорема 2.2 . Если группы и содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов , то конечная группа сверхразрешима.

Теорема 2.3 . Пусть конечная группа , где - циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа содержит циклическую подгруппу индекса . Если в нет нормальных секций, изоморфных , то сверхразрешима.

Теорема 3.1 . Пусть конечная группа является произведением разрешимой подгруппы и циклической подгруппы и пусть . Тогда , где - нормальная в подгруппа, и или для подходящего .

Теорема 3.2 . Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

Теорема 3.3 . Если - простая группа, где - холловская собственная в подгруппа, а - абелева -группа, то есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если циклическая, то есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

1. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

Доказывается, что конечная группа разрешима, если группы и содержат циклические подгруппы индексов . Приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Библ. 18 назв.

В работе Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. В. Скотт получил разрешимость группы , допустив в качестве множителей и еще так называемые дициклические группы. Диэдральные и дициклические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2. В настоящей заметке доказана

Теорема 1 . Если и - группы с циклическими подгруппами индексов , то конечная группа разрешима.

Если подгруппа нильпотентна, а в есть циклическая подгруппа индекса 2, то, как показали H. Ито и Б. Хупперт, конечная группа разрешима. Дополнением этого результата являются теоремы 2 и 3.

Теорема 2 . Пусть - группа Шмидта, а - группа с циклической подгруппой индекса . Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в подгруппу. Группой Шмидта называется ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Теорема 3 . Пусть - 2-разложимая группа, а группа имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Частным случаем теоремы 3, когда - абелева, а имеет порядок , - простое число, является теорема 8 Б. Хупперта.

Доказательства теорем 1--3 и составляют содержание настоящей заметки.

Рассматриваются только конечные группы. Все используемые определения и обозначения стандартны, их можно найти в обзоре С. А. Чунихина и Л. А. Шеметкова.

Вначале докажем несколько лемм.

Лемма 1 . Пусть в группе существует циклическая подгруппа индекса . Тогда каждая подгруппа и фактор-группа обладает, циклической подгруппой индекса . Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Лемма 2 . Пусть , - собственная подгруппа группы , - подгруппа четного порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Если , то содержит подгруппу индекса 2.

Доказательство. Если содержит инвариантную в подгруппу , то фактор-группа удовлетворяет условиям леммы. По индукции обладает подгруппой индекса 2, поэтому и в есть подгруппа индекса 2.

Пусть не содержит инвариантных в подгрупп . Тогда представление группы подстановками правых смежных классов по есть точное степени , где . Группу можно отождествить с ее образом в симметрической группе степени . Так как в силовская 2-подгруппа циклическая, то , где - инвариантное 2-дополнение. Пусть , . , и . Подстановка разлагается в произведение циклов

т. е. подстановка имеет циклов, каждый длины . Декремент подстановки равен и есть нечетное число, поэтому - нечетная подстановка. Теперь , а так как индекс в равен 2, то - подгруппа индекса 2 в группе .

Лемма 2 обобщает лемму А. В. Романовского.

Замечание. Простая группа является произведением двух подгрупп и , причем , а - группа порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Этот пример показывает, что требование отбросить нельзя.

Лемма 3 . Пусть - дважды транзитивная группа подстановок на множестве и пусть - стабилизатор некоторой точки . Тогда все инволюции из центра содержатся в .

Доказательство. Пусть . Допустим, что существует , причем . Так как транзитивна на , то . Ho , поэтому и - тождественная подстановка. Противоречие. Следовательно, фиксирует только . Теперь подстановка содержит только один цикл длины 1, а так как - инволюция, то нечетен. Но , поэтому существует силовская 2-подгруппа из с и . Если , то , отсюда и , т. е. . Теперь и из теоремы Глаубермана следует, что .

Лемма 4 . Пусть центр группы имеет четный порядок и силовская 2-подгруппа из либо циклическая, либо инвариантна в . Если - группа с циклической подгруппой индекса , то группа непроста.

Доказательство. Пусть - циклическая подгруппа в , для которой , а - максимальная в подгруппа, содержащая . Тогда . Если , то и по лемме С. А. Чунихина группа непроста. Значит, .

Допустим, что порядок нечетен. Если , то . Если , то ввиду леммы 2 и поэтому опять . Рассмотрим представление подстановками смежных классов по . Так как - максимальная в подгруппа, то - примитивная группа подстановок степени . Если - простое число, то либо разрешима, либо дважды транзитивна. Если - составное число, то, так как - регулярная группа подстановок при этом представлении, - опять дважды транзитивна. Из леммы 3 следует, что непроста.

Пусть порядок четен. Если , то непроста по лемме 2. Значит, и . Пусть - силовская 2-подгруппа из . Если инвариантна в , то инвариантна и в . Следовательно, - циклическая группа. Но не является силовской в , поэтому содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой группе . Теперь для инволюции из центра имеем , т. е. не максимальная в . Противоречие.

Следствие. Пусть группа , где группа содержит циклическую подгруппу индекса . Если - 2-разложимая группа четного порядка, то группа непроста.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы