85700 (612553), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

– максимальная подгруппа силовской р-подгруппы .

Остальные обозначения и определения смотри в .

Теорема 4.1. , силовская -подгруппа , -перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда -разрешима.

Доказательство: Для доказательства леммы применим индукцию по порядку группы .

Пусть – силовская -подгруппа группы ,

-перестановочная со всеми силовскими подгруппами группы , порядки которых взаимно просты с .

Предположим . Применяя теорему 3.6 видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можем считать, что – разрешимая группа, что влечёт разрешимость группы . Пусть теперь тогда, по теореме 2.1 группа непроста.

Докажем, что любая инвариантная в подгруппа

-разрешима.

Возьмём подгруппу , инвариантную в , и будем рассматривать подгруппу . Имеем два случая:

1) .

В этом случае . Тогда все -подгруппы для содержатся в . Подгруппа -силовская в . Следовательно, имеем

и, согласно индукции, -разрешима.

2) Пусть .

В этом случае подгруппы являются

-силовскими в , а – -силовскими в .

Из по индукции имеем, что -разрешима и, следовательно, -разрешима.

Так как для условия теоремы выполняются, то по индукции имеем -разрешимость и .

Теорема доказана.

Теорема 4.2. Пусть – силовская -подгруппа , и каждая максимальная подгруппа из перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда -разрешима.

Доказательство: проведём методом индукции по порядку группы .

Если р-силовская подгруппа группы не является циклической, то она содержит две различные максимальные подгруппы и . Тогда, используя условия теоремы, имеем

Отсюда, согласно теореме 4.1, p-разрешима.

Пусть – циклическая подгруппа и – максимальная подгруппа из .

Предположим . Применяя теорему 3.6 видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можем считать, что – разрешимая группа, что влечёт разрешимость группы . Пусть теперь , тогда по теореме 2.1 группа непроста.

Пусть – инвариантная подгруппа , тогда для и

Подгруппа перестановочна с подгруппой .

Действительно,

Если является силовской р-подгруппой в , то по теореме 4.1 p-разрешима, а следовательно, и p-разрешима.

Если не является силовской в , то она максимальная в силовской подгруппе . В том случае, когда , по индукции и p-разрешимы.

Когда . По подсчёту порядков имеем

и – максимальная подгруппа в силовской р-подгруппе из .

Если , то выполняются для подгруппы условия теоремы в виду

следовательно, по индукции p-разрешима.

В случае имеем

и из факторизации следует , что для циклической невозможно.

Мы показали, что существует р-разрешимая инвариантная подгруппа группы . Тогда минимальная инвариантная подгруппа группы – либо р-подгруппа, либо -подгруппа.

Пусть – -подгруппа, тогда, согласно индукции, теорема верна.

Если – -подгруппа, то будет порядка ввиду цикличности . Централизатор содержит . Как ранее показано, любая инвариантная подгруппа группы p-разрешима, поэтому из р-разрешимости и следует р-разрешимость группы .

Если , т.е. единственная значит является p-разрешимой.

Теорема доказана.

Теорема 4.3 Пусть в группе G P – силовская р-подгруппа, . Если для некоторого фиксированного натурального числа подгруппа с каждой силовской подгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешима с .

Доказательство:

Докажем теорему методом индукции по порядку группы G. Пусть G – минимальный контрпример, т.е. для всех групп порядков меньше теорема верна. Покажем справедливость её для группы G.

Вначале покажем, что в группе G нет инвариантных -подгрупп. Действительно, пусть N – такая подгруппа, то, так как для условия теоремы выполняются, и G будут р-разрешимы.

По теореме 2.1 группа G непроста.

Покажем, что любая инвариантная в G подгруппа N р-разрешима. Пусть N – инвариантная подгруппа группы G, индекс которой в G равен степени р. Тогда для любой силовской подгруппы Q, порядок которой взаимно прост с р. Выберем в P такую максимальную подгруппу , чтобы , и рассмотрим подгруппу .

Если , то для подгруппы условия теоремы выполняются.

Действительно, возьмём подгруппу , имеем

и

Следовательно, подгруппа , а также подгруппа р-разрешимы.

Если , то по Теореме 4.2 сама группа

p-разрешима.

Пусть индекс подгруппы в группе не равен степени р, тогда

Рассмотрим подгруппу . Для условия теоремы выполняются. Пусть – подгруппа порядка из Р, тогда имеем

и

Итак, подгруппа р-разрешима и, следовательно,

p-разрешима.

Так как в группе G отсутствуют инвариантные -подгруппы, то G содержит инвариантную р-подгруппу.

Возьмём в группе G минимальную инвариантную подгруппу с . Если , то пусть – инвариантная в подгруппа порядка и . Тогда инвариантна в для любой силовской подгруппы группы порядка, взаимно простого с р, и инвариантна в , что противоречит минимальности подгруппы . Таким образом, . В том случае, когда для , условия теоремы выполняются и , а следовательно, и p-разрешимы. Следовательно, .

В том случае, когда , по Теореме 4.2 имеем р-разрешимость . Следовательно, можно предположить, что .

Предположим, что . В этом случае всякая подгруппа группы , содержащая , не является циклической и, следовательно содержит две различные максимальные подгруппы и порядка . В связи с тем, что перестановочна со всякой силовской подгруппой , для , т.е.

подгруппы группы перестановочны с .

Таким образом, для подгрупп порядка р условия теоремы для выполняются и по индукции получаем р-разрешимость и .

Итак, имеем и, следовательно . Отсюда следует, что циклическая.

Если , то, так как инвариантна в группе , она р-разрешима и также p-разрешима. Таким образом, , т.е.

.

Группа не содержит инвариантных -подгрупп, следовательно, является р-группой. Если все подгруппы порядка р содержатся в , то p-разрешима. Тогда можно предположить, что в содержится подгруппа , не принадлежащая .

Пусть имеются такие, что . Тогда, так как перестановочна с любой порядка, взаимно простого с p, по Теореме 4.1 p-разрешима.

Следовательно , и перестановочна со всеми сопряжёнными подгруппами с . Рассмотрим фактор-группу . Согласно Теореме 2.1 группа содержит собственную инвариантную подгруппу.

Если минимальная инвариантная подгруппа группы , то, так как p-разрешима, либо -группа, либо р-группа.

Пусть – -группа, тогда и является характеристической подгруппой в и поэтому инвариантна в группе . Получили противоречие, так как в группе нет инвариантных -подгрупп. Следовательно, – элементарная абилева р-группа.

Из следует, что . Группы

циклические. Отсюда следует, что в группе все силовские q-подгруппы для циклические.

Так как , то имеет циклическую силовскую 2-подгруппу и по теореме Бернсайда имеет инвариантное 2-дополнение, а по теореме Томпсона-Фейта будет разрешимой.

Из р-разрешимости следует р-разрешимость . Из р-разрешимости следует существование в p-дополнения .

Из условия теоремы следует, что подгруппы из силовской р-подгруппы перестановочны с . По Теореме 2.1 .

Теорема доказана.

Теорема 4.4 Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда каждая её циклическая подгруппа -перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы .

Теорема 4.5 Группа является нильпотентной тогда и только тогда имеет нильпотентную абнормальную подгруппа такую, что каждые две силовские подгруппы группы – -перестановочны.

Доказательство:

Предположим, что утверждение ложно и пусть группа имеет минимальный порядок. Тогда

(1) – нильпотентна для нормальной подгруппы группы .

Пусть И силовская -подгруппы в и силовская -подгруппа в соответственно. Пусть силовская -подгруппа в и силовская -подгруппа в . Тогда и – силовские подгруппы группы . Следовательно по предположению, что и – -перестановочные, а также по Теореме 3.6 – -перестановочна с . является нильпотентной подгруппой в и по Лемме 2.16 абнормальна в . Таким образом, наше предположение верно для . Поскольку , – нильпотентная по выбору группы .

(2) для каждой силовской подгруппы группы .

Для любого существует элемент такой, что , а также . Следовательно, .

(3) является разрешимой.

Пусть – простой делитель и силовская -подгруппа в . Пусть силовская -подгруппа в . Тогда по второму пункту доказательства , где , тогда по Лемме 2.17 , и следовательно . Так как – нильпотентная, то , а также . Таким образом, имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу. По (1) – сверхразрешима, отсюда получаем (3).

Характеристики

Список файлов курсовой работы