85700 (612553), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть – подгруппа группы . Подмножество элементов группы называется правой трансверсалью подгруппы в группе , если содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы по подгруппе . Итак, если

– правая трансверсаль подгруппы в группе , то

– конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе также будет конечно, оно называется индексом подгруппы в группе и обозначается через . Ясно, что индекс подгруппы в конечной группе совпадает с числом элементов в правой трансверсали подгруппы , т.е.

Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы в группе . Если

– левая трансверсаль подгруппы в группе , то

Ясно, что индекс подгруппы в конечной группе совпадает с числом элементов в левой трансверсали подгруппы , т.е. .

Пусть и – подгруппы группы и . Множество

называется двойным смежным классом группы по подгруппам и .

При двойной смежный класс

превращается в произведение подгрупп и . В общем случае не является подгруппой.

Говорят, что подгруппы и перестановочны, если . Равенство означает, что для любых существуют такие, что .

Если , то говорят, что группа есть произведение своих подгрупп и , либо группа факторизуема подгруппами и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где .

Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех .

Запись читается так: – нормальная подгруппа группы Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

В каждой группе тривиальные подгруппы (единичная подгруппа и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой. Единичную группу считают непростой группой.

Пусть – нормальная подгруппа группы . Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы по подгруппе , т.е.

Группа называется факторгруппой группы по подгруппе и обозначается через .

Пусть – простое число. p-группой называют конечную группу, порядок которой есть простого степень числа . Ясно, что подгруппы и факторгруппы любой -группы также являются -группами. Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .

Силовской p-подгруппой конечной группы называют такую -подгруппу, индекс которой не делится на .

Каждая нормальная подгруппа группы определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е. для

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа субнормальна в , то пишут ( ).

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Пусть – группа, и – ее подгруппы. Напомним, что произведение определяется как множество элементов , где , . Если , то говорят, что группа является произведением своих подгрупп и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где , .

Произведение называется прямым, если подгруппы и нормальны в и . Прямое произведение обозначают так: . Итак, группа является прямым произведением своих подгрупп, если выполняются следующие требования:

Можно дать следующее определение прямого произведения, эквивалентное начальному. Группа является прямым произведением своих подгрупп и , если:

– каждый элемент единственным образом представим в виде , где , ;

– каждый элемент подгруппы перестановочен с каждым элементом подгруппы .

Определение прямого произведения сформулировано для двух подгрупп. Для большего числа сомножителей определение выглядит так.

Минимальной нормальной подгруппой группы называют такую нормальную подгруппу группы , что и в нет нетривиальных нормальных подгрупп группы . Запись означает, что – минимальная нормальная подгруппа группы . Таким образом, если , то и из условий следует, что или . Очевидно, что в каждой неединичной конечной группе имеется минимальная нормальная подгруппа.

Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.

Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G. Цоколь группы G обозначают через . Таким образом,

Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.

Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка .

Собственная подгруппа неединичной группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов и называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом,

Для любой неединичной подгруппы можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер такой, что , то группа называется разрешимой.

Говорят, что подгруппа группы дополняема в , если существует такая подгруппа , что и . В этом случае подгруппу называют дополнением к подгруппе в группе .

Пусть – множество всех простых чисел, а – некоторое множество простых чисел, т.е. . Дополнение к во множестве обозначим через , т.е. .

Зафиксируем множество простых чисел . Если , то число называется -числом.

Подгруппа группы называется -подгруппой, если есть -число. Подгруппа называется -холловой подгруппой, если есть -число, а индекс есть -число. Таким образом, -холлова подгруппа – это такая -подгруппа, индекс которой не делится на простые числа из .

Подгруппа группы называется холловой подгруппой, если – -холлова подгруппа для некоторого множества . Другими словами, – холлова подгруппа тогда и только тогда, когда

-Холлову подгруппу, если она существует в группе , называют -дополнением.

Подгруппа разрешимой группы называется картеровой подгруппой группы , если нильпотентна и .

Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы называют подгруппой Фиттинга группы и обозначают через .

Силовская система группы полностью задаётся силовскими -подгруппами группы для любого , удовлетворяющего для всех , .

Две силовские системы и из называются сопряженными, если там существует элемент такой, что для всех .

Напомним, что подгруппа группы называется абнормальной если и сопряжены в в для любого .

2. Используемые результаты

Теорема 2.1 Конечная группа тогда и только тогда непроста, когда она содержит такие подгруппы и , , что перестановочна с каждой сопряжённой с в подгруппой , и, кроме того, . или тогда содержаться в некотором собственном нормальном делителе группы .

Теорема 2.2 (Бернсайда) Группа порядка разрешима для любых .

Теорема 2.3 (Томпсона – Фейта) Группы нечётного порядка разрешимы.

Теорема 2.4 (Теорема о соответствии) Пусть – нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если – подгруппа группы и , то – подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы имеет вид , где – подгруппа группы и ;

(3) отображение является биекцией множества S на множество S ;

(4) если S , то – нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда – нормальная подгруппа факторгруппы .

Теорема 2.5 (Силов) Пусть конечная группа имеет порядок , где – простое число и не делит . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) в группе существует подгруппа порядка для каждого ;

(2) если – -подгруппа группы и – подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;

Характеристики

Список файлов курсовой работы