85700 (612553), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

(3) любые две подгруппы порядка сопряжены в группе ;

(4) число подгрупп порядка в группе сравнимо с единицей по модулю и делит .

Лемма 2.6 Пусть конечная группа имеет порядок , где – простое число и не делит . Тогда:

(1) существует силовская -подгруппа и её порядок равен ;

(2) каждая -подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе;

(3) любые две силовские -подгруппы сопряжены;

(4) число силовских -подгрупп сравнимо с единицей по модулю и делит .

Теорема 2.7 Для конечной группы и её силовской -подгруппы справедливы следующие утверждения:

(1) если , то – силовская -подгруппа в , а – силовская -подгруппа в ;

(2) ;

(3) если и , то

и

(4) пусть – все простые делители порядка группы при , и пусть – соответствующие им силовские подгруппы. Тогда

а если , то .

Теорема 2.8 Пусть группа является прямым произведением своих подгрупп и . Тогда:

(1) каждый элемент единственным образом представим в виде , где , ;

(2) каждый элемент подгруппы перестановочен с каждым элементом подгруппы .

Обратно, если выполняются требования (1) и (2), то , подгруппы и нормальны в , и .

Теорема 2.9

(1) В каждой группе минимальная нормальная подгруппа характеристически простая.

(2) Характеристически простая группа является прямым произведением изоморфных простых групп.

Теорема 2.10 Для группы следующие требования эквивалентны:

(1) – нильпотентная группа;

(2) – прямое произведение своих силовских подгрупп;

(3) каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора;

(4) все максимальные подгруппы нормальны;

(5) все подгруппы группы субнормальны.

Теорема 2.11

(1) В разрешимой неединичной группе минимальная нормальная подгруппа является элементарной абелевой -подгруппой для некоторого простого .

(2) В разрешимой неединичной группе максимальные подгруппы имеют примарные индексы.

(3) Главные факторы разрешимой неединичной группы являются элементарными абелевыми примарными группами.

(4) Композиционные факторы разрешимой неединичной группы имеют простые порядки.

Теорема 2.12

(1) Если группа содержит нормальную циклическую подгруппу и факторгруппа сверхразрешима, то группа сверхразрешима.

(2) Если факторгруппа сверхразрешима, то группа сверхразрешима.

(3) Нильпотентная группа сверхразрешима.

Лемма 2.13 Пусть – разрешимая группа. Тогда имеют место следующие утверждения:

(1) имеет силовские системы и всякие две силовские системы группы сопряжены в .

(2) Если и будет силовской системой в , тогда существует силовская система , такая что для всех .

(3) Если – силовская система в и . Тогда покрывает каждый центральный главный ряд группы .

Лемма 2.14 Пусть разрешимая группа, тогда:

(1) имеет картерову подгруппу и любые две картеровы подгруппы из сопряжены;

(2) ;

(3) если и цоколь – минимальная нормальная подгруппа группы , тогда

где .

Лемма 2.15 Пусть – группа, . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Если сверхразрешима, то и является -замкнутой, где – наибольший общий делитель ;

(2) Если , сверхразрешимы, то является сверхразрешимой;

(3) сверхразрешима, тогда и только тогда, когда является простым для каждой максимальной подгруппы группы .

Лемма 2.16 Если и – абнормальная подгруппа группы . То справедливы следующие утверждения:

(1) абнормальна в .

(2) Если , то абнормальна в .

Лемма 2.17. Если и – простое число, то существует такие силовские -подгруппы , и в , и соответственно, для которых .

Лемма 2.18. Пусть , подгруппы группы и . Тогда для всех .

3. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп

Напомним, что подгруппа группы перестановочна с подгруппой , если . Если перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [] или квазинормальной в [].

Так как для двух перестановочных подгрупп и произведение также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.

Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то субнормальна в [].

Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [].

Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы конечной группы , – нильпотентна [].

Немного позже было доказано, что при таких условиях,

[].

При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы и группы неперестановочны, но существует подгруппа такая, что для некоторого .

Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.

Определение 3.1 Пусть , – подгруппы группы и . Тогда мы говорим, что:

(1) является -перестановочной с , если для некоторого имеем .

(2) является наследственно -перестановочной с , если для некоторого .

Заметим, что -перестановочные подгруппы будут являются просто перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].

Рассмотрим следующих три основных примера:

Пример 3.2 Пусть – конечная группа, – силовская -подгруппа , – силовская -подгруппа . Тогда в общем случае , но существует такой, что – силовская -подгруппа группы .

Подгруппа конечной группы называется нормально погружённой, если каждая её силовская подгруппа является силовской подгруппой в некоторой нормальной подгруппе группы .

Пример 3.3 Пусть – конечная разрешимая группа, и – нормально погружённые подгруппы группы . Тогда является -перестановочной с .

Определение 3.4 Подгруппа группы называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) -перестановочна со всеми подгруппами группы .

Пример 3.5. Пусть , где и – симметричная группа из 3 символов. Ясно, что не является перестановочной ( для всех не тождественных элементов ). В тоже время – наследственно -перестановочна.

Рассмотрим теперь общие свойства -перестановочных подгрупп, изложенные в следующей теореме.

Теорема 3.6 Пусть , , подгруппы группы и . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Если (наследственно) -перестановочна с , то (наследственно) -перестановочна с ;

(2) Если (наследственно) -перестановочна с , то (наследственно) -перестановочна с для всех ;

(3) Если и (наследственно)

-перестановочна с , тогда (наследственно) -перестановочна с в ;

(4) Если и (наследственно)

-перестановочна с в , тогда (наследственно) -перестановочна с ;

(5) Если , наследственно

-перестановочна с , то наследственно -перестановочна;

(6) Если (наследственно) -перестановочна с и , то (наследственно) -перестановочна с ;

(7) Если -перестановочна с и , то -перестановочна с .

Доказательство:

Утверждения (1), (2), (5), (6) и (7) очевидны.

(3) Пусть – элемент из (элемент ) такой что . Тогда

в и если , тогда

Таким образом подгруппа – (наследственно) -перестановочна с в .

Аналогично можно доказать утверждение (4).

Ч.т.д.

4. Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами

Используя понятие – перестановочности мы рассмотрим новые характеристики классов сверхразрешимых, нильпотентных и разрешимых групп.

Далее мы докажем р-разрешимость конечных групп, в которых собственные подгруппы фиксированного порядка некоторой силовской р-подгруппы перестановочные с каждой силовской подгруппой, порядок которой взаимно прост с р.

Используем следующие обозначения:

– силовская р-подгруппа группы и .

– подгруппа из и , где – натуральное число.

Характеристики

Список файлов курсовой работы