85700 (612553)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Курсовая работа

"Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами"

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1. Необходимые определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп

4. Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами

Заключение

Список использованных источников

Перечень условных обозначений

– знак строгого включения множеств;

– знак включения множеств;

– принадлежность элемента множеству;

– объединение множеств;

– пересечение множеств;

– является подгруппой группы ;

– является собственной подгруппой группы ;

– является максимальной подгруппой группы ;

– является нормальной подгруппой группы ;

– является субнормальной подгруппой группы ;

– является минимальной нормальной подгруппой группы ;

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

– подгруппа, сопряжённая подгрупп посредством элемента ;

– циклическая группа порядка ;

– симметрическая группа степени ;

– ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в ;

– подгруппа, порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой из элементами из , то есть ;

– централизатор множества T в группе G;

– центр группы G;

– нормализатор подгруппы в группе ;

– наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;

– наибольшая нормальная –подгруппа группы ;

– –холловская подгруппа группы ;

– силовская –подгруппа группы ;

– дополнение к силовской –подгруппе в группе , т.е. –холловская подгруппа группы ;

– группа G изоморфна группе ;

Пусть – группа, и , тогда:

– правый смежный класс,

– левый смежный класс;

– правая трансверсаль подгруппы

в группе ;

– левая трансверсаль подгруппы

в группе ;

– индекс подгруппы в группе ;

– порядок группы G;

Пусть и – подгруппы группы и , тогда:

– двойной смежный класс группы по подгруппам

и ;

– факторгруппа группы по подгруппе ;

– прямое произведение подгрупп A и B;

– цоколь группы ;

– коммутатор элементов и ;

– коммутант группы G;

– множество всех простых чисел;

– дополнение к во множестве , где – некоторое множество простых чисел;

– -длина группы .

Введение

Напомним, что подгруппа группы перестановочна с подгруппой , если . Если перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [6] или квазинормальной в [7].

Так как для двух перестановочных подгрупп и произведение также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.

Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [8] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то субнормальна в [8].

Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [7].

Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы конечной группы , – нильпотентна [9].

Немного позже было доказано, что при таких условиях, [18].

При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы и группы неперестановочны, но существует подгруппа такая, что для некоторого .

Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.

Определение 1 Пусть , – подгруппы группы и . Тогда мы говорим, что:

(1) является -перестановочной с , если для некоторого имеем .

(2) является наследственно -перестановочной с , если для некоторого .

Заметим, что – перестановочные подгруппы также являются перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].

Определение 2 Подгруппа группы называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) перестановочна со всеми подгруппами группы .

Целью данной работы является изложение некоторых известных разделов теории перестановочных подгрупп, изучение и применение некоторых свойств -перестановочных подгрупп.

1. Необходимые определения и обозначения

Бинарной алгебраической операцией на множестве называют отображение декартова квадрата во множество . Если – бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре элементов из соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на обозначают одним из символов: и т.д. Если, например, вместо условимся писать , то вместо пишем .

Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если для всех .

Если для всех , то операция называется ассоциативной.

Если для всех , то операция называется коммутативной.

Элемент называется единичным, если для всех .

Обратным к элементу называется такой элемент , что .

Полугруппой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е. для всех и ;

(2) операция ассоциативна, т.е. для любых .

Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е. для всех и ;

(2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;

(3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех ;

(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Если G – конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число элементов в – порядком группы .

Также группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на ;

(2) операция ассоциативна;

(3) уравнения , имеют решения для любых элементов .

Подмножество группы называется подгруппой, если – группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись читается так: – подгруппа группы .

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество конечной группы называется подгруппой, если для всех и

Каждая группа обладает единичной подгруппой . Сама группа также считается подгруппой в . Эти подгруппы называют тривиальными подгруппами. Нетривиальная подгруппа группы это такая подгруппа из , которая отлична от и отлична от единичной подгруппы .

Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Пусть – подмножество группы и . Через

обозначим подмножество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы множества . Подмножество называется подмножеством, сопряженным подмножеству посредством элемента .

Подгруппа называется подгруппой, сопряженной подгруппе посредством элемента .

Пусть – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через . Таким образом,

Центром группы называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того,

Зафиксируем элемент в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через . Таким образом,

Для элемента имеются следующие две возможности.

Все степени элемента различны, т.е. для целых . В этом случае говорят, что элемент имеет бесконечный порядок.

Имеются совпадения при . Если, например, , то и , т.е. существуют натуральные степени элемента , равные единичному элементу. Наименьшее натуральное число , при котором называют порядком элемента и пишут

Если группа совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то группу называют циклической группой. В этом случае в группе имеется элемент такой, что , все элементы в группе являются целыми степенями элемента :

Если элемент имеет бесконечный порядок, то все эти элементы в группе попарно различны и – бесконечная циклическая группа.

Если элемент имеет конечный порядок , то , т.е. циклическая группа , порожденная элементом порядка , состоит из элементов. В этом случае – конечная циклическая группа порядка .

Две группы и называются изоморфными, если существует биекция такая, что для всех . Факт изоморфизма записывают так: .

Пусть – группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество

всех элементов группы вида , где пробегает все элементы подгруппы .

Аналогично определяется левый смежный класс

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы