85873 (597843), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Если полученная выборка - репрезентативна, то на её элементы мы будем смотреть двояко. С одной стороны мы элементы выборки будем рассматривать как набор n чисел, являющихся значениями эмпирической случайной величины . А с другой стороны - как на n-мерный случайный вектор с независимыми, одинаково распределёнными компонентами.

При первичной обработке статистических данных строится вариационный ряд, являющийся, по существу, рядом распределения эмпирической случайной величины . При этом мы считаем, что все элементы выборки - равновозможные, то есть . Геометрическая иллюстрация вариационного ряда – гистограмма даёт наглядное представление о характере распределения вероятностей исследуемой случайной величины . Теорема Гливенко показывает, что при с вероятностью близкой к единице значения эмпирической функции распределения будут очень мало отличаться от значений теоретической функции распределения исследуемой случайной величины .

Случайная величина имеет числовые характеристики и другие. Значения этих характеристик мы не знаем, это – теоретические числа. По элементам выборки мы должны оценить эти теоретические числа - дать их точечные оценки. Так как эмпирическая случайная величина понимается нами как статистическая модель исследуемой случайной величины , то естественно принять значения числовых характеристик в качестве точечных оценок неизвестных значений числовых характеристик. Так как мы приняли, что , а эмпирическая случайная величина - случайная величина дискретного типа, то , . То есть предлагается эмпирическое математическое ожидание - среднее арифметическое элементов выборки и эмпирическую дисперсию принять в качестве точечных оценок.

Обобщая сказанное, теоретические числовые характеристики исследуемой случайной величины обозначим , а соответствующие эмпирические числовые характеристики, предлагаемые в качестве оценок, обозначим .

Любая точечная оценка является функцией элементов выборки: . Элементы, попавшие в выборку – случайные величины. Следовательно, функция - случайная величина. Всякую функцию элементов выборки будем называть статистикой.

Но функций от элементов выборки можно придумать много. И каждую придуманную функцию можно предложить в качестве статистической оценки теоретической числовой характеристики. Возникает вопрос: «Как выбрать из множества предлагаемых точечных оценок наилучшую оценку?». Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны сформулировать требования, исходящие из здравого смысла, и проверять выполнение этих требований к предлагаемым точечным оценкам. Та оценка, которая будет удовлетворять всем требованиям, будет наилучшей оценкой и будет принята в качестве точечной оценки неизвестного значения числовой характеристики.

Формулировки требований состоятельности, несмещённости и эффективности, предъявляемые к точечным оценкам, основаны на знании закона больших чисел и центральной предельной теоремы теории вероятностей. Логичность и справедливость этих требований не вызывает сомнений.

Рассматриваемые методы получения точечных оценок, позволяют обоснованным теорией вероятностей путём получать их и проверять выполнение сформулированных требований к ним.

Модуль 7. Интервальные оценки числовых характеристик

Цель модуля: Продолжить знакомство с приёмами первичной обработки статистических данных. Узнать три типа распределений случайных величин, которые используются при определении закона распределения различных функций статистических данных.

Кроме точечной оценки значения теоретической числовой характеристики изучаемой случайной величины исследователю иногда бывает необходимо знать интервал , в котором с достаточно большой степенью уверенности (0,9; 0,95; 0,999,…) может находиться неизвестное значение числовой характеристики . То есть, при заданном уровне надёжности , по имеющейся выборке надо определить границы интервала и так, чтобы выполнялось неравенство:

.

Вероятность называется доверительной вероятностью, а интервал - доверительным интервалом.

Ясно, что границы интервала, как функции элементов выборки, являются статистиками – случайными величинами: и . Значит для определения при заданной доверительной вероятности их числовых значений, надо знать закон распределения вероятностей этих статистик.

Наиболее часто в математической статистике используются три распределения вероятностей: распределение Пирсона, распределение Стьюдента и распределение Фишера-Снедекора. Случайные величины , и , подчиняющиеся, соответственно, этим распределениям, являются функциями независимых случайных величин, имеющих одинаковое нормальное распределение N(0,1).

Применение этих трёх распределений в математической статистике основано на предположении о нормальном распределении исследуемого количественного признака, определённого на генеральной совокупности, и некоторых статистик, что, в свою очередь, обосновывается центральной предельной теоремой теории вероятностей.

Модуль 8. Статистическая проверка гипотез

Цель модуля: Ознакомить студентов с одним из способов научного мышления по схеме рассуждений, называемой силлогизмом. Научить постановке задачи, практическим действиям при решении её и правилам принятия решений при статистической проверке гипотез.

Статистическая проверка гипотез осуществляется по схеме научного мышления, называемого силлогизмом.

Силлогизм – дедуктивное логическое умозаключение, состоящее из посылок и выводов.

Гипотеза – научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-нибудь явлений.

Исследование, изучение количественного признака – случайной величины мы осуществляем, наблюдая попавшие в выборку возможные значения этой случайной величины. Проведя первичную обработку статистических данных , вычислив по этим данным значения точечных оценок числовых характеристик, мы выдвигаем предположения - гипотезы о виде закона распределения вероятностей, о значениях числовых характеристик случайной величины и т.п.

Гипотеза – научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-нибудь явлений.

Ту гипотезу, которая нам особенно важна, или дорога, будем называть основной гипотезой и обозначать . Остальные гипотезы (по крайней мере, должна быть хотя бы одна гипотеза) будем называть альтернативными гипотезами и обозначать . На самом деле, то есть в реальности, может быть справедлива только основная гипотеза , или одна из альтернативных гипотез .

Для проверки справедливости основной гипотезы подбирается критерий проверки гипотезы , являющийся мерой расхождения между предполагаемыми, гипотетическими и опытными, полученными по выборке, значениями или характеристиками исследуемой случайной величины. Критерий - функция элементов выборки, статистика. Следовательно, существует закон распределения статистики T: .

Для проверки того, какая из выдвинутых гипотез справедлива, проводится опыт, в результате которого получаем выборку . Определив значение критерия , мы наблюдаем одно из двух случайных событий или . Нам известно, что если гипотеза верна, то событие наступить не может, то есть .

Если у нас имеет место событие , то мы говорим, что гипотеза неверна, то есть мы её отклоняем и принимаем альтернативную гипотезу.

Так как реально мы всегда находимся в условиях статистически устойчивой случайности, то мы понимаем, что при верной гипотезе событие может наступить, но его вероятность - мала. Поэтому при принятии решения мы говорим: «Так как событие практически невозможное, его вероятность - очень мала, то гипотеза отклоняется ». То есть мы лишь изредка будем ошибаться, и вероятность нашей ошибки будет равна .

Если мы в результате опыта мы будем наблюдать событие , то мы говорим: « Так как произошло событие , то у нас нет оснований отклонять гипотезу ». То есть гипотеза - принимается. Так «осторожно» мы говорим в этом случае потому, что наступление события есть результат однократного проведения опыта. Не исключено, что при повторных проведениях опытов это событие мы больше наблюдать не будем.

Так как результаты эксперимента являются выборкой из возможных значений исследуемой случайной величины, то нельзя считать значения критерия детерминированными. Поэтому при принятии решений и формулировании выводов возможны ошибки двух видов. Поэтому при выборе критерия проверки справедливости гипотез экспериментатор стремится подобрать или построить такой критерий, при котором вероятности этих ошибок будут по возможности минимальными. Такие критерии строятся на основании основных положений теории вероятностей и, прежде всего, классической предельной проблемы. Рассматриваются примеры построения критериев проверки гипотез для некоторых наиболее распространённых задач математической статистики.

Модуль 9. Корреляционный и регрессионный анализы

Характеристики

Список файлов книги