85873 (597843), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

где и - разные функции распределения, по элементам одной и той же выборки, прияты решения о том, что нет оснований отклонять и первую, и вторую гипотезу.

Может ли встретится такая ситуация при применении критерия Пирсона?

1. Может ли увеличение объёма выборки, по которой вычисляется наблюдаемое значение критерия, привести к отмене ранее принятого решения об отклонении основной гипотезы?

2. Можно ли использовать одну и ту же выборку для проверки гипотезы о значении математического ожидания и гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины?

3. В результате проверки принято решение об отклонении основной гипотезы и принятии альтернативной гипотезы.

Затем основную гипотезу назвали альтернативной, а альтернативную гипотезу назвали основной. Для того же критерия , при том же уровне значимости α определены новые области и . Какое решение будет принято, если будет использована та же выборка?

1. Можно ли проверку знаний студента на экзамене считать статистической проверкой гипотез? Сформулируйте основную и альтернативную гипотезы. Что будет являться критерием проверки справедливости основной гипотезы? Объясните причины ошибок первого и второго рода.

Модуль 9. Корреляционный и регрессионный анализы

1. Какие задачи решаются в корреляционном анализе?

2. Может ли статистическая оценка коэффициента линейной корреляции принимать значения, модуль которых будет больше единицы?

3. В каком случае условные распределения компонент случайного вектора будут совпадать с частными распределениями компонент?

4. Какой вид будут иметь функции регрессии каждой из компонент случайного вектора, если эти компоненты – независимые случайные величины?

5. Определите координаты точки пересечения линейных уравнений регрессии компонент двумерной случайной величины.

6. При каком условии на компоненты двумерной случайной величины функции линейной регрессии одной компоненты на другую будут тождественно совпадать?

7. Чему будут равны остаточные дисперсии компонент двумерной случайной величины, если эти компоненты будут независимыми?

8. Чему будут равны остаточные дисперсии компонент двумерной случайной величины, если эти компоненты будут связаны линейной функциональной зависимостью?

9. Какой критерий применяется при проверке значимости коэффициента линейной корреляции?

10. В чём заключается различие между корреляционным и регрессионным анализами?

.

1. Методические указания

Модуль 1. Вероятностное пространство с не более чем счетным множеством элементарных исходов

Цель модуля: Студент должен ознакомиться с основными понятиями и определениями теории вероятностей. Научиться решать задачи определения вероятностей наступления событий для простейших моделей испытаний, предусматривающих построение не более чем счётного множества элементарных исходов.

Введение основных понятий теории вероятностей, базируется на договоре о существе содержания терминов, на которых базируется новый предмет. Это понятия: испытание, элементарный исход, множество элементарных исходов, благоприятствующие элементарные исходы, равновозможные элементарные исходы. Усвоение этих основных понятий обеспечивается только жизненным опытом и способностью к абстрактному мышлению.

После ознакомления с основными понятиями, формулируется первые основные определения теории вероятностей. Это определения случайного события, противоположного события, достоверного и невозможного события, суммы и произведения событий, совместных и несовместных событий, алгебры событий.

После ознакомления с основными понятиям и усвоения основныхе определений, проводится подготовка к знакомству с новым, важнейшим понятием курса – понятием вероятности случайного события. Делается это аксиоматически, путем введения вероятностной функции Р.

Вероятностная функция P вводится следующим образом.

Сначала постулируется, аксиоматически формулируется: «Каждому элементарному исходу некоторым разумным способом ставим в соответствие положительное число , (записывается это так: ). При этом требуется, чтобы выполнялось условие: .» Затем, с использованием понятия благоприятствующего случайному событию элементарного исхода, определяется вероятность наступления случайного события следующим образом: . То есть, по существу, каждому элементу A алгебры A, A A, ставится в соответствие неотрицательное число, которое называется вероятностью этого элемента – вероятностью наступления случайного события A. То есть вводится функция, которая отображает множество A во множество чисел сегмента . Кратко это можно записать так: P: A . Так как здесь нельзя, подобно тому как это делается в анализе, ввести вероятностную функцию Р с помощью аналитической записи типа : , то у студента на этом этапе изучения курса возникают трудности в осмыслении понятия вероятностная функция.

Для облегчения процесса понимания термина «вероятность случайного события», мы прибегаем к механической интерпретации. Установление соответствия интерпретируется как распределение по элементам множества некоторым разумным способом единичной массы: в каждом мы “помещаем” массу равную . Вероятность случайного события A теперь понимается как доля единичной массы, оказавшейся над подмножеством А множества .

Слова «некоторым разумным способом устанавливаем соответствие » своей неопределенностью вносят дополнительные трудности в понятие термина «введение вероятностной функции» и нуждаются в пояснениях. Эти пояснения даются путем рассмотрения трёх моделей, трёх конкретных типов испытаний, в которых это соответствие устанавливается вполне естественным, разумным способом.

Классическая модель, основанная на понятии «испытаний с равновозможными элементарными исходами», позволяет установить соответствие так: .

Биномиальная модель, основанная на понятии «серии повторных независимых испытаний», позволяет установить соответствие так: .

Геометрическая модель, основанная на понятии «последовательность повторных независимых испытаний до первого положительного исхода», позволяет установить соответствие так: .

Перед рассмотрением биномиальной модели сначала вводится понятие «случайного события B наступившего при условии, что экспериментатору известно, что событие A уже произошло» и формулируется определение условной вероятности . Затем рассматривается вероятность произведения событий и формулируется одно из фундаментальных определений теории – определение независимости событий.

Свойства вероятностной функции, а так же формулы полной вероятности и Байеса являются теоремами и следствиями, вытекающими из аксиоматического введения вероятностной функции P, и позволяют решать на практических занятиях довольно широкий круг задач.

Модуль 2. Построение общей вероятностной модели

Аксиоматика А.Н. Колмогорова.

Цель модуля: Узнать принцип построения общей вероятностной модели на основе аксиом А.Н. Колмогорова. Ознакомиться с правилами построения алгебры борелевских множеств и типами вероятностных функций, задаваемых на измеримых пространствах.

Вероятностная функция P любому случайному событию A, являющемуся элементом алгебры A, ставит в соответствие число , . Кратко это записывается так: P: A . Это число называется «вероятностью наступления случайного события A » и оно понимается как значение меры возможности наступления, осуществления события A при однократном проведении испытания, опыта. Чем больше это число , тем больше у испытателя уверенность в возможности наступления, осуществления события A при проведении испытания и, наоборот, чем меньше это число , тем меньше у него уверенность в возможности его наступления, осуществления.

Но ранее функция P вводилась посредством предварительного, аксиоматического установления соответствия . Это соответствие всегда можно было установить, так как в рассматриваемых моделях элементарные исходы представлялись в виде конечной или бесконечной последовательности или . То есть, мы могли вводить функцию P, если множество было конечным или счётным и мы могли мысленно представить себе каждый элементарный исход.

Но есть большое количество примеров описания испытаний, в которых элементарные исходы нельзя представить в виде конечной или бесконечной последовательности. Например, выбор наудачу точки из отрезка ; определение времени горения электрической лампы; измерение высоты растения пшеницы; взвешивание зерен одного колоса пшеницы.

Такие множества, все элементы которых нельзя представить в виде конечной или бесконечной последовательности, называются множествами мощности континуум.

Сохранив основные понятия и определения, сделанные при рассмотрении примеров, определяющих множества конечной или счетной мощности, и расширив определение алгебры на случай рассмотрения счетных последовательностей событий до определения -алгебры, мы, следуя А.Н. Колмогорову, вероятностную функцию P определяем как числовую функцию определенную на элементах -алгебры A. Но, если раньше нормированность и аддитивность вероятностной функции P вытекали автоматически из ее определения по набору положительных чисел то теперь, при построении общей вероятностной модели, нормированность и -аддитивность функции P требуется аксиоматически. То есть, всякая функция, определенная на -алгебре случайных событий, принимающая числовые значения и обладающая свойствами нормированности и -аддитивности, является вероятностной функцией.

Рассматривая свойства вероятностной функции, приходим к выводу, что вместо -аддитивности аксиоматически можно требовать или «непрерывность сверху», или «непрерывность снизу», или «непрерывность в нуле». (Аналогично тому, как при изучении геометрии, основывающуюся на аксиомах Евклида, вместо пятой аксиомы параллельности можно принять аксиому о том, что сумма углов треугольника равна .)

Характеристики

Список файлов книги