86383 (589972), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

не менше довжини відрізка

(і рівність досягається тоді й тільки тоді, коли крапка розташована на відрізку

). Звідси одержуємо, що

не менше 4, а

не менше 2 при кожному

. Тому для того, щоб сума

була дорівнює

, необхідно, щоб

. Отже,

необхідно дорівнює

. Легко перевірити, що значення

дійсно є рішенням даного рівняння.

Відповідь. .

Приклад Гальперин Г.О. 48 Позитивні числа ,

,

і

такі, що система рівнянь

має рішень, а система рівнянь

має рішень. Відомо, що

. Знайдіть

і

.

Рішення. Перше рівняння є рівняння окружності, другому задовольняють крапки квадрата із центром на початку координат і з діагоналями, що належать осям координат. Система із двох перших рівнянь залежно від і

або не має рішень, або має чотири рішення, або вісім. Отже,

може рівнятися або 0, або 4, або 8. Перше рівняння другої системи є рівняння сфери. Другому задовольняють крапки октаедра із центром на початку координат і з вершинами, що лежать на осях координат на рівних відстанях від центра. Ця система залежно від

і

або не має рішень, або має 6 рішень (вершини октаедра лежать на сфері), або має 8 рішень (сфера стосується граней октаедра), або має нескінченне число рішень (сфера перетинає грані октаедра по окружностях або декільком дугам окружностей). Отже,

може рівнятися або 0, або 6, або 8, або

. Умові

задовольняє тільки варіант

,

.

Відповідь. ,

.

Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову -і- зручний і потужний метод рішення задач. У якості ще одного приклада розберемо блок задач олімпіади математико-механічного факультету Спбгу:

Приклад 49 Даний функція: .

а) Вирішите рівняння ;

б) Вирішите нерівність ;

в) Знайдіть кількість рішень рівняння залежно від значень параметра

.

Рішення. Побудуємо графік функції . Для цього помітимо, що

, а тоді ми можемо спочатку побудувати графіка функції

, і потім відбити його щодо осі ординат. Перетворимо вираження, що задає функцію

:

Оскільки дана система визначає верхнє півколо радіуса 2 із центром у крапці (2; 0), графік вихідної функції являє собою об'єднання двох півкіл (див. мал. Error: Reference source not found).

Тепер рішення задач не представляє праці:

а) Корінь рівняння є абсциса крапки перетинання прямій із графіком функції

. Знайдемо неї геометрично: заштрихований на малюнку прямокутний трикутник є рівнобедреним (кутовий коефіцієнт прямої дорівнює

), його гіпотенуза є радіус окружності, її довжина 2. Тоді довжина катета, що лежить на осі абсцис, є

, а шукана абсциса дорівнює

.

б) Нерівність виконана при всіх

з відрізка

.

в) При ,

рішень ні, при

рівняння

має три рішення, при

--- чотири рішення, при

--- два рішення.

Рішення рівнянь із використанням тотожності

Приклад 50 Вирішити рівняння

Рішення. Двічі застосовуючи тотожність , одержимо рівняння

рішенням якого є інтервал .

Відповідь. .

Приклад 51 Вирішити рівняння

Рішення.

Відповідь. .

Застосування теореми про знаки при рішенні рівнянь

Сформулюємо теорему, зручну при рішенні нерівностей, щодо добутків або приватних різниць модулів:

Теорема 52 Знак різниці модулів двох виражень збігається зі знаком різниці квадратів цих виражень.

Приклад 53 Вирішити нерівність

Рішення. Скористаємося теоремою:

Використовуючи формулу різниці квадратів, розкладемо чисельник і знаменник на множники й вирішимо отриману раціональну нерівність.

Відповідь.

Рішення рівнянь переходом до наслідку

Всі рівняння з модулями можуть бути вирішені в такий спосіб: розглянемо весь набір рівнянь, що може вийде при розкритті модулів, але не будемо виписувати відповідні проміжки. Вирішуючи кожне з отриманих рівнянь, одержимо наслідки вихідного рівняння. Залишається тільки перевірити чи не придбали ми сторонніх корінь прямої їхньою підстановкою у вихідне рівняння.

Приклад 54 Вирішимо рівняння

Рішення. Послідовно переходячи до наслідків, одержуємо:

Неважко переконається, що знайдені числа не є коріннями вихідного рівняння.

Відповідь. ні рішення.

У випадку вкладених знаків модуля теж можна розглянути весь набір яких, що виходять при розкритті модуля рівнянь серед рішень, утримуються рішення вихідного рівняння, а потім відібрати із всіх отриманих рішень підходящі хоча б за допомогою перевірки.

Приклад 55 Вирішите рівняння

Рішення. Всіх корінь вихідного рівняння втримуються серед корінь двох рівнянь

які можна переписати у вигляді

Аналогічно, кожне із цих рівнянь розпадається на два:

що приводить до чотирьох рівнянь:

Звідси одержуємо 4 рішення: ,

,

,

серед яких утримуються коріння вихідного рівняння. 1-й корінь, мабуть, задовольняє рівнянню. Це перевіряється легко. 2-й і 3-й не походять, тому що права частина вихідного рівняння при цих значеннях негативна. 4-й корінь теж є зайвим, тому що цей корінь повинен задовольняти рівнянню (*), а при цьому значенні його права частина негативна.

Відповідь. 3.

Рішення рівнянь методом інтервалів

Застосування методу інтервалів засновано на наступної

Теорема 56 Функція, безперервна на проміжку, зберігає на цьому проміжку свій знак.

Це означає, що нулі функції й границі проміжків її безперервності розділяють область визначення функції на ділянки, де вона зберігає постійний знак. Застосування методу пояснимо на прикладі.

Приклад 57 Вирішимо нерівність

Нехай . Областю визначення даної функції є

. Вирішуючи рівняння (див. 54), одержимо, що функція

не звертається в нуль ні при якому значенні змінної. Це означає, що на всій області визначення функція є знакопостійної. Обчислюючи, наприклад,

, одержуємо, що функція приймає тільки позитивні значення.

Відповідь. .

Метод інтервалів дозволяє вирішувати більше складні рівняння й нерівності з модулями, але в цьому випадку він має трохи інше призначення. Суть складається в наступному. Знаходимо корінь всіх підмодульних виражень і розбиваємо числову вісь на проміжки цих виражень. Це дозволяє, послідовно перебираючи ці проміжки, одночасно позбуватися від всіх модулів і вирішувати звичайне рівняння або нерівність (перевіряючи при цьому, що знайдена відповідь входить у даний проміжок).

Рішення рівнянь домноження на позитивний множник

Приклад 58 Вирішити нерівність

Рішення. ''Пастка'' полягає в тім, що в задачі є кілька модулів, розкривати які -і значить одержати, громіздке рішення.

Помножимо дріб на деяке вираження, що приймає лише позитивні значення й таке, щоб спростити вихідна нерівність:

Відповідь. .

Типові тестові задачі, що містять змінну під знаком модуля

Приклад 59 Знайти корінь рівняння

.

Рішення. Тому що , те з рівняння треба, що

,

. Тоді вихідне рівняння прийме вид:

,

. Корінь цього рівняння

,

.

Корінь , тому він не є рішенням, а

.

Відповідь. .

Приклад 60 Знайти добуток корінь рівняння .

Рішення. Позначимо ,

. Тоді вихідне рівняння прийме вид:

. Корінь цього рівняння

,

. Тому що

, те

. Звідси

,

. Добуток корінь дорівнює

.

Відповідь. .

Приклад 61 Знайти різницю між найбільшими й найменшими коріннями рівняння .

Рішення. Позначимо ,

. Тоді вихідне рівняння прийме вид:

. Вирішимо його. Корінь цього рівняння

,

. Тому що

, те значення

не підходить. Тому

. Різниця між найбільшим і найменшим коренями рівняння дорівнює

.

Відповідь. .

Приклад 62 Знайти суму корінь рівняння .

Рішення. Використовуємо правило:

.

Вихідне рівняння запишемо у вигляді сукупності рівнянь:

У такий спосіб сума корінь вихідного рівняння дорівнює .

Інший шлях. Оскільки обидві частини рівняння ненегативні, зведемо рівняння у квадрат. Одержимо: ,

. Тому що дискримінант рівняння позитивний, то по теоремі Виета сума корінь дорівнює

Відповідь. .

Приклад 63 Скільки цілих корінь на відрізку має рівняння

Рішення. Розглянемо квадратний тричлен . Тому що

, те

, тому вихідне рівняння запишеться як

Останнє рівняння еквівалентно нерівності , рішення якого

. Таким чином, рівняння має 6 корінь на відрізку

:

,

,

,

,

,

.

Відповідь. 6.

Приклад 64 Яке найбільше кінцеве число корінь може мати рівняння

де ,

,...,

,

,

, ...,

--- різні числа?

Рішення. Покладемо й перепишемо вихідне рівняння у вигляді

.

Нехай --- всі числа із множини

, упорядковані по зростанню. На кожному з 101 проміжку

,

,...,

,

, функція

Характеристики

Список файлов ВКР