86383 (589972), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Приклад Шабат Г.Б. 14 Нескінченна послідовність чисел визначається умовами:

, причому

. Доведіть, що послідовність, починаючи з деякого місця, періодична в тому випадку, якщо

раціонально.

Рішення. Якщо , то

. Дійсно,

. Якщо

раціональне, то

раціональне, причому зі знаменником не більшим чим в

. Дійсно, нехай

--- нескоротний дріб. Тоді

Якщо цей дріб нескоротний, то її знаменник такої ж, як і в , якщо вона скоротна, те після скорочення знаменник зменшиться.

Отже, всі члени послідовності --- раціональні числа, укладені між 0 і 1, тобто правильні дроби. Але правильних дробів зі знаменниками, не більшими заданої величини , --- кінцеве число. Тому якісь члени послідовності повторяться, і із цього моменту послідовність буде періодичною.

Найпростіші рівняння й нерівності з модулем

До найпростішого (не обов'язково простим) рівнянням ми будемо відносити рівняння, розв'язувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:

33()44()55()66()

Приклади рішення найпростіших рівнянь.

Приклад 15 Вирішимо рівняння

.

Рішення.

Відповідь. .

Приклад 16 Вирішимо рівняння

.

Рішення.

Відповідь. .

Приклад 17 Вирішимо рівняння

.

Рішення.

Відповідь. .

Зупинимося докладніше на рівняннях, у яких зустрічається сума модулів (формули 3--6 ).

Теорема 18 Сума модулів дорівнює алгебраїчній сумі підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли кожна величина має той знак, з яким вона входить в алгебраїчну суму.

Приклад 19 Вирішити рівняння

Рішення. Тому що , те ми маємо рівність виду

, де

,

. Тому вихідне рівняння рівносильне системі:

Відповідь. .

Теорема 20 Сума модулів дорівнює модулю алгебраїчної суми підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли всі величини мають той знак, з яким вони входять в алгебраїчну суму, або всі величини мають протилежний знак одночасно.

Приклад 21 Вирішити рівняння

Рішення. ''Заганяємо'' коефіцієнти 2 і 5 під знак модуля й ''ізолюємо'' суму модулів:

По константах одержуємо . Дійсно,

, тобто рівняння має вигляд

. Отже, рівняння рівносильне сукупності двох систем:

тобто .

Відповідь. .

До найпростішого (не обов'язково простим) нерівностям ми будемо відносити нерівності, розв'язувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:

77()

88()

Приклади рішення найпростіших нерівностей.

Приклад 22 Вирішимо нерівність .

Рішення.

.

Відповідь. .

Приклад 23 Вирішимо нерівність

.

Рішення.

Відповідь. .

Як не дивно, але досить, щоб позбутися від знака модуля в будь-яких нерівностях.

Приклад 24 Вирішити нерівність

Рішення.

Відповідь. .

Приклад 25 Вирішити нерівність

Рішення. Щодо будь-якого модуля дана нерівність має вигляд . Тому перебравши всі комбінації знаків двох підмодульних виражень, маємо

Відповідь. .

Приклад 26 При яких значеннях параметра нерівність

виконується при всіх значеннях ?

Рішення. Вихідне рівняння рівносильне системі:

Виконання для всіх вихідної нерівності рівносильне виконанню для

всіх нерівностей останньої системи. А це рівносильне тому, що дискримінанти всіх чотирьох квадратних тричленів непозитивні:

Відповідь. .

Приклад 27 Знайти всі значення параметра , при кожному з яких число цілозчисленних рішень нерівності

максимально.

Рішення. Тому що

те вихідне рівняння рівносильне системі:

Оскільки обоє нерівності в системі лінійні відносно . Вирішимо систему відносно

:

99()

Умови існування параметра рівносильне вимозі

1010()

Нерівність 10 повідомляє всі значення , які можуть бути рішенням вихідної нерівності хоча б при одному значенні параметра. Отже, цілочисленими рішеннями вихідної нерівності можуть бути тільки цілі числа із проміжку

, тобто

1111()

Природно, що для будь-якого цілого числа з набору 11 треба з'ясувати, при яких значеннях параметра це число буде рішенням вихідної нерівності.

Оскільки вихідна нерівність рівносильна 9, те по черзі підставляючи числа з набору 11 в нерівності 9, ми відразу й знайдемо всі відповідні значення параметра. Маємо

Щоб виявити значення параметра, при яких вихідна нерівність має максимальне число цілочисленних рішень, скористаємося ``розгорненням'', отриманої інформації уздовж від параметра (див. мал. Error: Reference source not found):

Очевидно, що максимальна кількість рішень дорівнює трьом, і це досягається, коли або

.

Відповідь. .

Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем

Рішення рівнянь, що містять знак абсолютної величини часто набагато зручніше вирішувати не аналітично, а графічно (особливо рівняння утримуючі параметри).

Побудова графіків виду

,

і

Відзначимо правило побудови графіка функції .

1) Будуємо спочатку графік функції .

2) Там, де графік функції лежить вище осі

або на ній, залишаємо його без зміни; крапки графіка, які лежать нижче осі

, заміняємо симетричними їм щодо осі

крапками.

Для приклада, на малюнку Error: Reference source not found зображений графік функції

.

Для побудови графіка функції будуємо графік функції

для

й відображаємо симетрично щодо осі

.

Для приклада, на малюнку Error: Reference source not found зображений графік функції .

Для побудови графіка функції будуємо графік функції

для

й симетрично відображаємо щодо осі

.

Для приклада, на малюнку Error: Reference source not found зображений графік функції .

Приклад 28 Побудувати графік функції .

Рішення. Скористаємося правилами перетворення графіків.

1. Графік функції --- бісектриса перших і третього координатних кутів.

2. Графік функції виходить із графіка функції

відображенням його частини, розташованої нижче осі абсцис (при

) симетрично щодо осі абсцис.

3. Графік функції виходить із попереднім зрушенням уліво по осі абсцис на дві одиниці.

4. Отриманий графік зрушуємо по осі ординат на 3 одиниці долілиць. Одержуємо графік функції .

5. Частина його, розташовану нижче осі абсцис, відображаємо симетрично щодо цієї осі. Отже, одержуємо графік даної функції

Досліджувана функція допускає іншу форму запису

Приклад 29 Залежно від параметра , знайти кількість рішень рівняння

Рішення. Побудуємо графік функції (див. мал).

Залежно від положення прямої , одержуємо наступне: при

немає корінь, при

--- нескінченно багато корінь, при

--- чотири корені, при

--- три корені, при

--- два корені.

Приклад 30 Доведіть, що на графіку функції можна відзначити таку крапку

, а на графіку функції

--- таку крапку

, що відстань

не перевищує

.

Рішення. Покладемо . Крапка

з координатами

, де

, мабуть, лежить на графіку функції

.

Розглянемо позитивне число . Тоді

, отже, крапка

з координатами

лежить на графіку функції

.

Відстань між крапками й

дорівнює

. Але з рівності

треба, що

,

,

.

Приклад 31 На координатній площині зобразите всі крапки, координати яких є рішеннями рівняння:

.

Рішення.

або

.

Відповідь. см. малюнок Error: Reference source not found

Приклад 32 Даний функція . Скільки рішень має рівняння

?

Рішення. Нехай --- рішення рівняння

, а

. Тоді й

, а тому крапка з координатами

лежить на кожному із графіків

і

. Навпаки, якщо крапка

лежить на перетинанні цих графіків, те

й

, звідки

. Тим самим показане, що число рішень рівняння

збігається із числом крапок перетинання графіків

і

, а їх 16.

Відповідь. 16.

Графіки функцій, що містять лінійні вираження під знаком абсолютної величини

Сформулюємо твердження, що дозволяє будувати графік алгебраїчної суми модулів, не розкриваючи модулі (це особливо зручно, коли модулів багато).

Теорема 33 Алгебраїчна сума модулів лінійних виражень, графік якої складається із

прямолінійної ділянки. Тому графік може бути побудований по

крапках,

з яких являють собою корінь внутрімодульних виражень, ще одна --- довільна крапка, з абсцисою менше найменшого із цих корінь, і остання --- з абсцисою, більшої найбільшого із цих корінь.

Зауваження. Аналогічно можна будувати графіки виду

.

Приклади побудови графіків

1. . Обчислюємо значення функції в крапках 1, 0 і 2, одержуємо графік, що складається із двох променів.

2. . Обчислюючи значення функції в крапках з абсцисами 1, 2, 0 і 3, одержуємо графік, що складається з відрізка й двох променів (див. мал. Error: Reference source not found).

3. .

Для побудови графіка ``по відрізках'' обчислимо значення функції в крапках 1, 2, 3, 0, 4 (див. мал. Error: Reference source not found).

Характеристики

Список файлов ВКР