86383 (589972), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

лінійна. Помітимо, що на першому й останньому із цих проміжків

і

відповідно, при цьому

, тому що кількість корінь звичайно.

Підемо по числовій осі ліворуч праворуч.

Спочатку кутовий коефіцієнт функції дорівнює 0. Щораз, коли ми проходимо одну із крапок

, він за рахунок зміни знака при розкритті відповідного модуля змінюється на

.

Таким чином, він завжди дорівнює парному цілому числу й не може поміняти знак, не звернувшись перед цим в 0.

Виходить, кутові коефіцієнти на будь-яких двох сусідніх проміжках або обоє ненегативні, або обоє непозитивні, тобто функція на об'єднанні цих проміжків або неубутна, або незростаюча.

Стало бути, якщо число її корінь звичайно, те на кожному з 50 проміжків ,...,

,

вона має не більше одного кореня. Крім того, на крайніх інтервалах значення мають різні знаки, і в кожному корені знак функції міняється. Отже, кількість корінь парно й не перевищує 49.

Неважко перевірити, що якщо роль будуть грати числа 1, 4, 5, 8, 97, 100, а роль

--- числа 2, 3, 6, 7, 94, 95, 98,

, те рівняння

буде мати рівно 49 корінь.

Відповідь. 49.

Приклад 65 Вирішите систему нерівностей

Рішення. Припустимо, що дана система нерівностей має рішення ,

,

,

. Тоді, зокрема,

, тобто

Аналогічно одержуємо

Перемножимо всі отримані нерівності. З одного боку, добуток чотирьох позитивних чисел позитивно. З іншого боку, цей добуток дорівнює -і-

Приходимо до протиріччя.

Відповідь. Система не має рішень.

Приклад66 чи Існують дійсні числа ,

і

такі, що при всіх дійсних

і

виконується нерівність

Рішення. Припустимо, що такі числа ,

і

існують. Виберемо

й

такі, що

,

,

. Тоді різниця між лівою й правою частинами дорівнює

. А якщо взяти

й

такі, що

,

,

, те ця різниця буде дорівнює

. Таким чином, з одного боку,

, з іншої

. Протиріччя.

Відповідь. Немає.

Приклад 67 Скільки різних цілочисленних рішень має нерівність ?

Рішення. При натуральному рівняння

має рівно

цілочисленних рішень, а при

рішення єдине. Таким чином, кількість рішень вихідної нерівності дорівнює

.

Відповідь. 19801.

Приклад 68 Знайдіть всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має три різних корені; знайдіть цих корінь:

.

Рішення. Зведемо обидві частини рівняння у квадрат: .

Якщо , тоді одержимо рівняння:

Дискримінант цього рівняння дорівнює:

.

Рівняння (1) буде мати один корінь, при й

. Два корені, при

й

.

Якщо , тоді одержимо рівняння:

Дискримінант цього рівняння дорівнює:

.

Рівняння (2) буде мати один корінь при й

. Два корені --- при

й

.

Робимо висновок, що при рівняння (1) має один корінь, а рівняння (2) --- два корені. При

, рівняння (1) має два корені, а рівняння (2) --- один.

Таким чином, при й

дане рівняння має три корені.

Знайдемо цих корінь. При , перше рівняння прийме вид:

. Воно має один корінь:

Рівняння (2) прикмет вид: яке має два корені:

,

.

При , рівняння (2) прикмет вид:

. Воно має один корінь:

.

Рівняння (1) при цьому стане: , що буде мати корінь:

,

.

Відповідь. При ,

,

,

.

При ,

,

,

.

Приклад 69 Для кожного значення параметра визначите число рішень рівняння

.

Рішення.

1. Якщо , тоді рівняння не має рішень, модуль будь-якого речовинного числа ненегативний.

2. Якщо , тоді одержимо рівняння

. Це рівняння має два корені, тому що

.

3. Якщо , тоді одержуємо сукупність двох рівнянь:

Перше рівняння має дискримінант: . Воно не буде мати корінь при

,

, але це неможливо, тому що

. Також воно не може мати один корінь (тоді

, що також неможливо). Таким чином, при

рівняння (1) має два корені.

Друге рівняння має дискримінант:

.

Воно не буде мати корінь, якщо ,

,

. Буде мати один корінь, якщо

. Буде мати два корені, якщо

.

Остаточно одержуємо.

Відповідь. Якщо , тоді рівняння не має корінь.

Якщо й

, тоді рівняння має два корені.

Якщо , тоді рівняння має три корені.

Якщо , тоді рівняння має чотири корені.

Приклад 70 Знайдіть всі значення параметра із проміжку

, при кожному з яких більший з корінь рівняння

приймає найбільше значення.

Рішення.

Перетворимо рівняння до виду

.

Виходить, якщо

,

,

тоді .

Знайдемо найбільше значення , при якому

, тобто найбільше рішення нерівності

.

Перетворимо цю нерівність:

,

,

,

,

.

Останню нерівність вирішимо методом інтервалів, пам'ятаючи, що .

Рішення нерівності буде множина: .

Ясно, що дріб

приймає найбільше значення при , тоді значення

буде дорівнює:

.

Відповідь. При .

Приклад 71 Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння

має єдине рішення.

Рішення.

Знайдемо рішення для кожного значення , а потім відберемо ті, які задовольняють умові задачі, тобто при яких рівняння має єдине рішення.

Для кожного фіксованого будемо шукати рішення даного рівняння спочатку на проміжку

, а потім на проміжку

, оскільки модуль звертається в нуль при

:

1) Нехай . На цьому проміжку

й тому дане рівняння прикмет вид

.

Знайдемо дискримінант отриманого наведеного квадратного рівняння

, виходить, при будь-якому дійсному значенні

рівняння має два різних дійсних корені:

і

.

З'ясуємо, чи входять вони в проміжок . Корінь

лежить у цій області тільки тоді, коли виконується нерівність:

або

.

Остання нерівність рівносильна системі нерівностей:

Остання система нерівностей не має рішень, виходить, ні при якому значенні параметра a число не лежить в області

.

Корінь лежить у розглянутій області тоді, коли виконана нерівність:

або

.

Вирішимо останню нерівність. Ясно, що цій нерівності задовольняють всі значення із проміжку

.

При одержимо нерівність

. Звідси знаходимо:

.

Таким чином, при рівняння має єдине рішення

.

2) Нехай . На цьому проміжку

й тому вихідне рівняння можна переписати у вигляді

. Знайдемо дискримінант цього рівняння:

.

Рівняння не має рішень, якщо , тобто якщо

.

Виходить, рівняння не має корінь для із проміжку

.

Якщо не належать цьому проміжку, то квадратне рівняння має коріння

,

, причому

при

й

. З'ясуємо тепер, при яких значеннях параметра

знайдених корінь лежать в області

.

Для цього потрібно вирішити нерівності й

.

Нерівність рівносильна нерівності

або сукупності двох систем нерівностей:

Множина рішень першої системи має вигляд , друга система не має рішень. Виходить, тільки при значенні

корінь рівняння

лежить в області

Нерівність рівносильна нерівності

або системі нерівностей

Множина рішень отриманої системи нерівностей є відрізок .

Тільки при цих значеннях параметра , корінь

належить області:

. Таким чином, при

дане рівняння в області

рішень не має.

Якщо , то рівняння в розглянутій області має єдине рішення

.

При значеннях , що лежать в області

вихідне рівняння має два різних корені

й

. Якщо ж

, то вихідне рівняння має єдиний корінь

. Отримані результати зручно звести в таблицю:

Таким чином, шукані значення утворять два проміжки:

і

.

Відповідь. ,

.

Приклад 72Знайти всіх корінь рівняння , що задовольняє нерівності

.

Рішення. Будуємо графіки функцій і

. Одержимо дві крапки перетинання, абсциса тільки однієї з них менше

, тобто задовольняє умови задачі

Абсцису крапки можна одержати вирішивши рівняння .

Відповідь. .

Приклад 73 Вирішити аналітично й графічно рівняння

Аналітичне рішення

Перетворимо рівняння, помноживши обидві його частини на 2, будучи позитивним числом, його можна вносити під знак модуля, тому одержимо:

У кожного із тричленів позитивні дискримінанти. Це дає можливість розкласти кожний з них на лінійні множники.

Рівняння прийме вид: .

На числовій прямій відкладемо крапки, у яких кожний із множників звертається в нуль. У результаті одержимо п'ять проміжків, на кожному з яких визначимо знаки тричленів під модулем і вирішимо отримані рівняння.

Однак такий спосіб не буде раціональним. Доцільніше зобразити проміжки кожного із тричленів на числових осях. Тоді визначення їхніх знаків буде спрощене й зробиться більше наочним

При такому схематичному зображенні зрозуміло, що:

1) при обидва тричлени позитивні й рівняння прийме вид:

Вирішуючи його, знаходимо ,

. Обидва корені не входять у проміжок

Характеристики

Список файлов ВКР