86383 (589972), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

4. .

Графік різниці модулів будуватися аналогічно (див. мал. Error: Reference source not found).

Аналізуючи вид графіків 1, 2 і 3, можна припустити, а потім і довести, що сума модулів лінійних виражень виду

досягає свого найменшого значення або в єдиній крапці, якщо число модулів парно, або у всіх крапках деякого відрізка, якщо число модулів парно. Графік суми непарного числа модулів лінійних виражень має форму клина, а графік суми парного числа модулів має ділянка паралельний осі абсцис. Більш точно:

Теорема 34 Нехай корінь подмодульных виражень упорядковані по зростанню . Тоді якщо число що складаються

непарно й

, те найменше значення функції

досягається в крапці

, а якщо число що складаються

парно й

, те найменше значення функції досягається у всіх крапках відрізка

.

Використовуємо твердження для рішення задачі, що пропонувалася на одній з олімпіад Санкт-Петербурзького державного університету.

Приклад 35 Залежно від значення параметра , знайти кількість корінь рівняння

Рішення. Вирішимо задачу графічно. Нехай , визначимо кількість крапок перетинання графіка функції

й прямій

залежно від

. Виходячи зі сформульованого вище твердження, графік функції

буде мати ділянку, паралельна осі абсцис. Помітимо, що абсциси крапок цієї ділянки становлять відрізок

, і у всіх його крапках функція досягає найменшого значення, рівного, наприклад,

, причому

Оскільки зазначена сума являє собою подвоєну арифметичну прогресію з першим членом 1, останнім членом 999, складену із числом 1000, то вона дорівнює

Тоді при рівняння не буде мати рішень, при

них буде нескінченно багато, а при

рівняння буде мати два рішення.

Інші способи рішення рівнянь і нерівностей з модулем

Метод розкриття модулів

Метод розкриття модулів розглянемо на прикладі:

Приклад 36 Вирішити рівняння

Рішення. Це рівняння містить більше одного модуля.

Метод рішення рівнянь, що містять змінні під знаком двох і більше модулів, полягає в наступному.

1. Знайти значення змінної, при яких кожний з модулів звертається в нуль:

,

;

,

;

,

.

2. Відзначити ці крапки на числовій прямій.

3. Розглядаємо рівняння на кожному із проміжків і встановлюємо знак виражень, які перебувають під модулями.

1) При або

. Щоб визначити знак кожного з виражень під модулем на цьому проміжку, досить взяти будь-яке значення

із цього проміжку й підставити у вираження. Якщо отримане значення негативно, виходить, при всіх

із цього проміжку вираження буде негативним; якщо отримане числове значення позитивно, виходить, при всіх значеннях

із цього проміжку вираження буде позитивним.

Візьмемо значення із проміжку

й підставимо його значення у вираження

, одержуємо

, значить на цьому проміжку

негативно, а отже ``вийде'' з під модуля зі знаком ``мінус'', одержимо:

.

При цьому значенні , вираження

одержить значення

, виходить, воно на проміжку

також приймає негативні значення й ``вийде'' з модуля зі знаком ``мінус'', одержимо:

.

Вираження одержить значення

й ``вийде'' з під модуля зі знаком ``мінус'':

.

Рівняння на цьому проміжку вийде таким: , вирішуючи його, знаходимо:

.

З'ясовуємо, чи входить це значення в проміжок . Виявляється входить, значить

є коренем рівняння.

2) При . Вибираємо будь-яке значення

із цього проміжку. Нехай

. Визначаємо знак кожного з виражень під модулем при цьому значенні

. Виявляється, що вираження

позитивно, а два інших негативні.

Рівняння на цьому проміжку прийме вид: . Вирішуючи його, знаходимо

. Це значення не входить у проміжок

, а виходить, не є коренем рівняння.

3) При . Вибираємо довільне значення

із цього проміжку, скажемо,

і підставляємо в кожне з виражень. Знаходимо, що вираження

й

позитивні, а

--- негативно. Одержимо наступне рівняння:

.

Після перетворення, одержимо: , а виходить, рівняння не має корінь на цьому проміжку.

4) При . Неважко встановити, що всі вираження на цьому проміжку позитивні, а значить одержимо рівняння:

,

,

що входить у проміжок і є коренем рівняння.

Відповідь. ,

.

Приклад 37 Вирішити рівняння

Рішення.

Відповідь. ,

.

Використання тотожності , при рішенні рівнянь

Зі сформульованої властивості модуля можна вивести два корисних наслідки:

Проілюструємо застосування першого з них для рішення задачі вступного іспиту в Санкт-Петербурзький державний університет.

Приклад 38 Зобразити графік функції

Рішення. Перепишемо функцію, що задає, вираження, використовуючи перший наслідок:

.

Залишилося тільки побудувати графіки функцій ,

в одній системі координат і визначити ділянки, на яких один з них вище іншого (див. мал. Error: Reference source not found).

Використання другої тотожності зручно для побудови графіка функції

.

Рішення. У силу другої тотожності, вираження, яке задає функцію, записується у вигляді: .

Шуканий графік зображений на малюнку (див. мал. Error: Reference source not found).

Приклад 39 Знайдіть максимальне значення вираження

де ,

, ...,

--- різні натуральні числа від 1 до 1990.

Рішення. Помітимо, що модуль різниці двох ненегативних чисел не більше їхнього максимуму. Тому не більше, ніж

,

не більше, ніж

,

не більше, ніж

. Далі, дане вираження не може рівнятися 1990, оскільки парність цього вираження збігається з парністю суми

. Нарешті приведемо приклад, що показує, що значення вираження може рівнятися 1989:

Відповідь. 1989.

Рішення рівнянь утримуючі модулі ненегативних виражень

Приклад 40 Чому дорівнює сума корінь рівняння (корінь, якщо він один) рівняння

Рішення. Розглянемо вираження

і перетворимо його до виду

Очевидно, що чисельник дробу при будь-яких значеннях змінної є позитивним числом. Значить дробове вираження позитивно, якщо (тому що

). Перетворимо отримане вираження, за умови

. Одержимо рівняння, рівносильне вихідному:

Відповідь. .

Приклад 41 Вирішити рівняння

Рішення. Оскільки ліва частина рівняння ненегативна, при всіх припустимих значеннях змінної, на множині корінь рівняння права його частина теж повинна бути ненегативної, звідси умову , на цьому проміжку знаменники обох дробів рівні, і залишається вирішити рівняння

. Вирішуючи його й з огляду на обмеження

, одержуємо

Відповідь. .

Приклад 42 Вирішити рівняння:

Рішення. Неважко догадатися, що всі вираження, що коштують під знаками другого, третього й т.д. модулів, позитивні. І оскільки модуль позитивного вираження дорівнює самому цьому вираженню, одержимо

Відповідь. .

Рішення рівнянь із використанням геометричної інтерпретації

Геометричний зміст вираження --- довжина відрізка координатної осі, що з'єднує крапки з абсцисами

й

. Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову часто дозволяє уникнути громіздких викладень.

Приклад 43 Вирішимо рівняння

.

Рішення. Будемо міркувати в такий спосіб: виходячи з геометричної інтерпретації модуля, ліва частина рівняння являє собою суму відстаней від деякої крапки з абсцисою до двох фіксованих крапок з абсцисами 1 і 2. Тоді всі крапки з абсцисами з відрізка

мають необхідну властивість, а крапки, розташовані поза цим відрізком,--- немає.

Відповідь. .

Приклад 44 Вирішимо рівняння .

Рішення. Міркуючи аналогічно, одержимо, що різниця відстаней до крапок з абсцисами 1 і 2 дорівнює одиниці тільки для крапок, розташованих на координатній осі правіше числа 2.

Відповідь. .

Приклад 45 Вирішити нерівність .

Рішення. Зобразимо на координатної прямої крапки, сума відстаней від яких до крапок і

в точності дорівнює

. Це всі крапки відрізка

. Для всіх чисел поза даним відрізком сума відстаней буде більше двох.

Відповідь. .

Зауваження. Узагальненням рішення вищенаведених рівнянь є наступні рівносильні переходи:

Приклад 46 Вирішите нерівність: .

Рішення. Вирішимо нерівність, використовуючи координатну пряму. Дана нерівність виконується для всіх крапок c координатою , які перебувають ближче до крапки з координатою

, чим до крапки з координатою

. Тому що

, те шуканими є всі крапки, розташовані лівіше крапки з координатою

.

Відповідь. .

Приклад 47 Вирішите рівняння

.

Рішення. Розглянемо на числовій прямій крапку з координатою . Сума

дорівнює сумі відстаней від крапки

до крапок з координатами 2, 1, 0, -1, -2. Помітимо, що сума відстаней від будь-якої крапки до крапок

і

Характеристики

Список файлов ВКР