86145 (589940), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения в области

[25].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Уравнение преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов: . Следовательно, каждое из выражений и по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Положим . Выразим через одну величину :

.

Ответ: наибольшее значение равно , наименьшее значение равно .

Алгебраическое решение

Уравнение преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов: . Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения в точках окружности , то есть окружности с центром в точке и радиусом . Пусть в точке с координатами выражение принимает наибольшее значение, тогда справедлива система

.

Так как ищем наибольшее значение выражения , то выбираем

.

.

Тогда наибольшее значение выражения равно

.

Аналогично находим, что наименьшее значение выражения равно

.

Ответ: наибольшее значение равно , наименьшее значение равно .

Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения , если [24].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Уравнение преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов:

.

Имеем, что сумма квадратов и равна единице, поэтому каждое из этих выражений по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Вот почему можно положить . Выразим сумму квадратов через одну величину :

.

Ответ: наименьшее значение , наибольшее значение .

Алгебраическое решение

Иногда уравнения с параметрами возникают при решении задач, казалось бы, не имеющих к ним никакого отношения. Если требуется найти, например, наименьшее значение функции , ответ можно получить, если найти множество всех ее значений. Хотя это и более общая задача, но ее решение оказывается более простым. Причем число будет значением функции тогда и только тогда, когда уравнение имеет хотя бы один корень. Поэтому требуется найти все такие значения параметра и среди них выбрать наименьшее число. Это число и будет наименьшим значением функции [37]. Реализуем сказанное для решения данной задачи другим способом.

Перейдем к системе

,

то есть выясним, при каких значениях параметра система имеет решения. Умножим второе уравнение на и вычтем полученное уравнение из первого.

.

Получили однородное уравнение относительно переменных и . Проверкой устанавливается, что при система решений не имеет, поэтому уравнение можно разделить на

.

Чтобы это уравнение имело решения необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен.

.

Итак, данная система равносильна системе

.

Покажем, что при система имеет решения. Пусть - корень первого уравнения, тогда подставим во второе уравнение

.

Обратим внимание на то, что в промежутке только положительные числа, значит, полученное уравнение имеет решения. Соответственно, имеет решение и вся система. Промежуток и есть множество значений, принимаемых выражением при условии, что

.

В данном случае решение с помощью тригонометрической подстановки проще как в техническом, так и в идейном смысле. Не зная заранее идеи второго способа, трудно догадаться свести задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значений выражения к решению системы с параметром.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения , если [16].

Как в предыдущем примере, в этом случае самый удобный подход – тригонометрическая подстановка. Решение системы, состоящей из двух неравенств и одного уравнения с параметром, довольно сложно.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Положим . Геометрический смысл такой замены: для каждой точки кольца определяются расстояние до начала координат и угол наклона вектора к положительному направлению оси абсцисс. Тогда неравенство будет выполнено при . Произведем замену в данном выражении

= .

Так как множество значений выражения – это отрезок , то множество значений выражения – отрезок .

Ответ: наименьшее значение , наибольшее значение 3.

Пример 4. Среди всех решений системы

[42].

Найдите такие, при которых выражение принимает наибольшее значение.

Перепишем систему в виде

Так как сумма квадратов чисел и рана единице, то каждое из них по абсолютной величине не превосходит единицы, поэтому их можно рассматривать как синус и косинус некоторого аргумента. Вот почему будет законна подстановка . Аналогично обосновывается введение замены . Тогда неравенство системы перепишется в виде

.

Запишем выражение в виде

.

Наибольшее значение выражения достигается тогда и только тогда, когда

Найдем

.

.

.

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

Перепишем исходную систему в виде

.

Сложим равенства полученной системы

.

Сравним левые и правые части получившегося равенства и неравенства системы, получим

.

Рассмотрим квадрат выражения

.

Наибольшее значение выражения , а значит, наибольшее значение выражения имеет место тогда и только тогда, когда , то есть . Можно записать

.

Подставим полученное выражение в первое уравнение исходной системы и найдем

.

Так как необходимо найти наибольшее значение выражения и и имеют одинаковый знак, то выбираем

.

.

Так как , то .

.

Ответ: .

Здесь решение с помощью тригонометрической подстановки компактнее, быстрее приводит к результату. Единственный и важный момент, на который следует указать учащимся, является необходимость обоснования введения тригонометрической подстановки. Тот факт, что, например, и по модулю не превосходят единицы, можно проиллюстрировать графически. Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиуса 2.

Из рисунка видно, что и принимают значения из отрезка , тогда и изменяются на отрезке .

0

§5. Решение задач с параметрами

Решение задач с параметрами – один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений или неравенств, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Уравнения и неравенства с параметрами – это тема, на которой проверяется подлинное понимание учеником материала. Поэтому, например, на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по математике уравнения и неравенства с параметрами часто включают в варианты письменных работ.

Пример 1. Решите и исследуйте уравнение

[45].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как , то , поэтому положим . Уравнение примет вид

.

Если , то данное уравнение корней не имеет.

Пусть . Так как , то . При этих значениях имеем

.

То есть для того чтобы уравнение имело корни необходимо и достаточно, чтобы

.

Значит, если , то данное уравнение корней не имеет.

Пусть , то есть . Отсюда . Тогда данное уравнение имеет один корень

.

Если , то исходное уравнение имеет два корня

.

, .

Ответ: Если или , то данное уравнение корней не имеет.

Если , то уравнение имеет единственный корень .

Если , то уравнение имеет два корня .

Алгебраическое решение

.

Пусть . Выясним, при каких значениях выполняется неравенство , то есть решим неравенство

.

Пусть , тогда рассмотрим неравенство

.

Ответ: Если или , то данное уравнение корней не имеет.

Если , то уравнение имеет единственный корень .

Если , то уравнение имеет два корня .

В данном случае оба решения равноценны, можно решать любым способом. Зато уже в следующем примере решение с помощью тригонометрической подстановки проще.

Пример 2. При каких а неравенство

имеет решение [13].

Неравенство имеет решение при а большем наименьшего значения выражения .

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Положим , тогда

, где .

Оценим выражение

.

Наименьшее значение выражения равно . Значит, при неравенство имеет решение.

Ответ: при неравенство имеет решение.

Алгебраическое решение

Если , то неравенство примет вид

.

Значит, при неравенство имеет решение.

Поделим числитель и знаменатель на , получим

.

Введем замену , тогда

.

Найдем наименьшее значение выражения .

Характеристики

Список файлов ВКР