Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ф., Введение в теоретическую астрономию, чНаука», !9б8. 2 Дубяго А. Д., Оаределенме орбит, Гостекмьдат, 1949. 3. Орлов А. Я» Орлов Б. А., Курс теоретической астрономии, Госгеамздат, 1940. 4, 51г а сйе О., ВаЛпЬез1ипп>ппя г!ег Р!апе1еп апб Когпс1е, Вегнп, 1929. 5. Баженов Г. М., Уч. зап. Харьковского ун-та 42, 17, 1952.
б, С га тт !о! 5 К. Т., Ое1еггп!па1!оп о! огЬИз о! согпеы апб аз!его!бгь ЫечгУОТ1г, 1930. 7, С а м ойл она - Я контов а Н. С., Бюлл. Ин-та теор. астрон. АН СССР, № 53. 447. 1944. 8, Е ьс о Ьа! Р. К., Ме1Лобь о! Огы1 бе1еггп!па1!оп, 'Аг!!еу апд Боль, !9б5. 9. Вг>яяз К. Е., Б ! очгеу 3. у>г., Брес. Кер1. БгпИЛзопгап 1пь1. Аь1горЬ. ОЬь. № 27, ! — 8, 1959. !О, Куликов Д, К,, Батраков Ю. В., Бюлл. Им-та теор.
астрон. АН СССР 7, 554, 1950. 11, Батраков Ю. В., Бюлл, Ин-та теор. астрон. АН СССР 7, 570, 1950, Часть 1У ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ Глава 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ н ТЕЛ В КООРДИНАТАХ В этой главе приводятся различные формы дифференциальных уравнений движения задачи н тел, рассматриваемых как материальные точки, а также их первые интегралы.
Подробные выводы можно найти в учебниках и монографиях (11 — (В]. й 1.01. Уравнения абсолютного движения Аи=((йе — Ве)'+(Че — Чг)'+Ф вЂ” Ф~)Ча (Е !=о 1 " н — 1), то дифференциальные уравнения движения системы точек имеют такой вид: ай, аи в$.— '=— ' ве ай,' в'ч, аи гпг — =— ВР ач ! вгт аи Взг (Е=О, 1,..., и — 1). 1 (4.1,01) Пусть имеется и материальных точек Ре, Рп ..., Р„, с массами сны тп....
гн„г соответственно, взаимно притягивающихся по закону всемирного тяготения. Задача и тел состоит в нахождении и изучении всевозможных движений этой системы материальных точек. Если 0$г1~ — абсолютная прямоугольная система координат с началом в произвольно выбранной точке 0 и с неизменными напРавлениЯми осей, $ь Чо Ьг — кооРдинаты точки Рь а взаимное расстояние точек Р; и Ре есть ГЛ. 1.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ Л ТЕЛ ево а 1.0Н Функция (т' называется силовой функцией и выражается формулой и-1 л-1 =-'1Х",).~ (4.1.02) -о 2=о где ! — постоянная тяготения. В (4.1.02) 1 Ф /, на что указывает штрих прн знаке суммы. Уравненея (4.1.0!) в развернутой форме имеют вид л — 1 $! — $1 ~~ и!г ! — о Н и-1 Ч! Ч1 пз! Аз у-о н л-1 Х ' вт — «1 ! Св ГП! АЗ ! о Н ..., п — 1, /~1). йв«в л2! и'Ч1 вив (4.1.03) а2«« лр (1=0, 1, Система (4.1.01) имеет порядок Б~, позтому для нахождения ее общего решения необходимо знать Бп независимых первых интегралов. Известны 10 первых интегралов системы (4.1.01), содержащих алгебраические функции координат и их производных.
Интегралы движения центра масс: л-1 л-1 Е тД1=агл 1-0 л-1 Х !П1«1 = азг + Вз (4.1.04) Х а=он 1=О л-1 гпД! = а!1+ 6„ 1-О Х п11Ч1 аз! 1=О и-1 Е гпЛ1=а21+бр! ! о Интегралы плои4адей: л-1 (т!А й21 ) = -о и-1 Х гп1КЙ вЂ” Ы1)=се 1-О «-1 Ъ !Н,($!211 — 2)Р1) = сз. (4.1,05) 1О Под рвд, Г. Н, Дтбошлвв ч. оч теогия аозмхшенного движения 5 !.Оз 290 Интеграл живых сил (интеграл энергии) л-1 — т Яз, + 1!1, + ~з) =- (7 + Ь; «=о в интегралах (4.1.04) — (4.1.06) величины а1, аз, а„ Ь1, Ьз, Ьз, сп сгл сз, Ь вЂ” произвольные постоянные.
Интегралы (4.1.04) указывают на то, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно относительно абсолютной системы координат. Из (4.!.05) следует, что момент количества движении системы постоянен и по величине и по направлению. Интеграл (4.1.06) выражает постоянство полной энергии системы, так как функция ( — (7) — потенциальная энергия системы, а левая часть равенства представляет собой кинетическую энергию системы. Более подробно вопрос о существовании первых интегралов изложен в главе 2 части Х. Знание 10 первых интегралов позволяет понизить порядок системы (4.1.0!) на 10 единиц, после чего получится система порядка ба — !О. Возможно понизить поридок системы еще на две единицы благодари тому, что в уравнения движения время не входит явным образом и применима теорема Якоби о последнем множителе [10]. Неизменяемая плоскость Лапласа — это плоскость, перпендикулярная к моменту количества движении, Ее уравнение имеет вид ., а — Ы+ сз(~-й,)+ с,К вЂ” ~.) =О $о, т!о, ~о — координаты произвольной точки пространства (в качестве таковой можно взять центр масс системы).
2 1.02. Уравнение Лагранжа — Якоби В качественных исследованиях часто используется соотношение (см. [3)) (4.1.07) —,=217+ 4Ь". в«к ,11« называемое уравнением Лагранжа — Якоби. Здесь л-1 л-1 тзт Ь' 1-О у=-О есть момент инерции системы относительно центра масс, л-1 з 3 а, + вз + аз т=~~ то Ь'=Ь— 2л« 1=О Ь* называется внутренней или бариценгрической энергией.
$1АВ! ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАл1И л ТЕЛ 291 Имеет место следующий вывод об устойчивости движений механической системы. Если и' ) О, то по крайней мере одно из взаимных расстояний между телами бо неограниченно возрастает при 1 — оо и, следовательно, движения механической системы неустойчивы в смысле Лагранжа (см. ч, Х, $3.03). Если г1' ~ О, то возможны как устойчивые, так и неустойчивые в смысле Лагранжа движения механической системы. Если система устойчива в смысле Лагранжа, то ее потенциальная энергия на бесконечном промежутке времени принимает бесконечное число раз значения, сколь угодно близкие к 2и'. $ 1.03.
Уравнения движения в барицентрических прямоугольных координатах !д 1й! дУ И>1 —,' = —, д1' д11 т! л л дг д1! д1 дт!! (1 = О, 1, ..., и — 1) л-1 л-1 1-л >=о б = 1/(':- — 11)2+ (ц' — ц!)'+ 6' — ~~)" (4.1.08) Очевидно, что интегралы движенвя центра масс удовлетво- ряются тождественно, т. е. л-1 л-1 «-1 Х тД; = О, ~ т!>1,' = О, ~ и>,Ь! = О, 1-Ь '' 1« 1Ь л — ! л — 1 л-1 !И,.Е1,= О, Х т1(1'1=0, ~' т>Д! =О.
Интегралы площадей и живых сил имеют вид л-1 «-1 ,Х т,(цй — И) =',,Х т, Ф~ — Ц':) =с,'. л-1 л-1 ~Х Дч! — ц,'3',) = о;„т Х т, Щ)'+ (ц',)'+ (~;)') = и+ й', 1-0 но следует учесть, что координаты точек и их производные 1Ол Пусть Π— центр масс материальной системы, состоящей из и материальных точек Рь, Р1, ..., Р„ь а й, >1, ь — его прямоугольные координаты в абсолютной системе 0$>>ь, являющиеся линейными функциями времени й Пусть 5,'., >1,'.„ь1,— барицентрические координаты точки Ро Тогда дифференциальныл уравнения движения системы имеют вид д'-Ч1' дО ч.
нс таовия возмлцанного движения н ь04 та И»=п»ж р»= а» (4.1.09) п~ называются «приведенными массами». Дифференциальные уравнения движения системы в координатах Якоби записываются в форме д»х И» — а.» ди Р дх~ д'а', !»~ ~М ди! (4.1.10) д»а И! д» (1=1, 2, связаны приведенными соотношениями.
Другая форма интегра. лов уравнений движения в барицентрических координатах, полу. ченная в результате понижения порядка системы на шесть еди. ниц, дана в книге [1]. 2 1.04. Уравнения движения в координатах Якоби Выберем следующим образом относительную систему координат: 1) проведем через точку Р, оси координат, параллельные абсолютным осям, и определим положение точки Р, в этой системе координатами хи уп а',; 2) проведем через центр масс 6~ точек Р» и Р, оси координат, параллельные предыдущим, и определим положение точки Р» относительно этой системы координат координатами х'„, у,', г',; и вообще, 3) определим положение точки Р» координатами х', у', а', отсчитываемыми в прямоугольной системе координат с осями, параллельными предыдущим и проходящими через центр масс точек Ръ Рп ..., Р» 1 (й = 2, 3, ..., и — 1) — точку О» ь Ради симметрии обозначений координаты точки Р» относительно системы 0$т1~ обозначим через х', у', г'.
Выбранные таким образом прямоугольные координаты называются координатами Якоби (см. [!], [3], [5]). Введем величины рь ап имеющие размерности массы и определяемые равенствами ГЛ, 1. УРАВНЕНИЯ данжеиня ЗАДАЧИ л тЕЛ зяз з !хя! Силовая функция !»' выражается формулой (4.1.02), но взаимные расстояния Л»; должны быть выражены через координаты Якоби.
Взаимное расстояние Ь»» при 1 ~ ! выражается через координаты Якоби с помощью формулы и,=(*;-4--» — *')»-(и,-ю,»-»,— ""')»- Ф ! А=» »-1 р л2 ».'1*,'-*,'-»Т,— "'*')»»>~!. »4.и1» ~А Система (4.1.10) имеет четыре первых интеграла (интегралы площадей и интеграл энергии): л-! и, (у»й! — г,'у'!) = с'н л-! »»! (г'»х'» — х!'г!') =- с,', ! л-1 11,(х»У! — Д»х!) = С3$ ! 1 л-1 1», (х" ,+ у" ,+ г,".) = У + К (4.1.12) где сн с,', с,', Ь' — произвольные постоянные интегрирования. 5 1.05.
Уравнения относительного движения в прямоугольных координатах х, = я» — Ц, У» = »)'! — »)'„г,. =- ь'! — Ц (4.1.13) (1=1, 2, ..., л — 1). Пусть выбрана прямоугольная система координат Ре хуг с началом в точке Р, и с осями, параллельными осям системы 6$'»!'».' ($1.03). Такая система не имеет общего названия, однако если точка Рз изображает Солнце„то система называется гелиоценгрической. Аналогично можно говорить о геоцентрической, сатурноцснтрической и вообще о планетоцентрической системах. (Подробнее см.
ч. 1, гл. 1.) Пусть координаты точки Р» (! = 1, 2, ..., и — 1) в выбранной системе суть х», рь гь Новые координаты выражаются через барицентрические координаты с помощью равенств Ч, 1Ч. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 1О 1А$ Еохс /(то+ т,.) х,. д/тс /(то+ тс) У и!' .', ад, с/'гс /(то+ т )х, дй (4.1.14) (г = 1, 2, ..., л — 1). Функции с(сс (с = 1, 2, ..., л — 1) называются воэмусцаю щими или пертурбационносми фуикциямсм хсс =1 Х пс/схс!, / ча /, / 1 1 хсх! + усу/ + гсг! нов с! ~! схс!=(х! хс) +(У/ Ус) +(2/ 2/) Го х'+ у'+ 2' / / / !' ) (4.1.15) Формулы перехода от координат х, у, 2 к барицентрическим координатам $', т!', с,' имеют Такой внд: ! ч $ =х — — ~ /лх т~ l /' Г ! т!с — — у, — — х пс!ур т 2~ (с =О, 1, ..., и — 1), /л= Е /лн с о В этих переменных уравнения движения точек Р„РЯ,..., Р„, имеют вид ГЛ.
1. Угаанеиия даижвния зкллии а тел 29$ Известные интегралы уравнений (4.1.14) имесот вид: интегралы площадей: и-1 и-1 — х;гс)— — у,х!)— интеграл живых сил: — т, (х', + у', + г'с)— $1.0В. Уравнения движения в идеальных прямоугольных координатах Ганзена Пусть материальная точка Р движется под действием ньютоновского притяжения материальной точки Ри и возмущающего ускорения, порождаемого возмущающей функцией Я. Тогда в прямоугольной системе координат Рьхуг уравнения движения точки Р имеют вид (4.1.14) (опущен индекс «са) иса 1(и!а+ ис) а с))с ап г' йх ' Есу )(и!+си)у дЯ с(гс гс ду ' и'я ! (тю + си) г ест аСс тс йг ' Идеальными координатами точки Рь по Ганзену называются прямоугольные координаты Х, У, Я, связанные с прежними прямоугольными координатами х, у, г формулами Х = а (() х + а, (() у + аг (() г, у = В (г) х+ В! (Г) у + р, (г) г, Х = у (Г) х + у! (г) У + уг (г) г т; (у гс 1=1 и-1 сн;(г;Хс 1 1 л-1 Е тс(хсу! тсус ~~~ с=! и-1 т,г,~ 1=1 л-1 тсх, ~~с тсг;— с ! л-1 т;х,— 2 С 1 и-1 т;ус — ~~', т,г;~ 1 1 и-1 т,х, ~ ! 1 л-1 си!Ус ч, нс таояия возмхщанного движения 296 а их производные — аналогичными равенствами Х = а (Е) х + а, (Е) Ц + аг (Е) й, У = р (Е) й + ~~ (Е)ц + рг (Е) 2> 2=у(Е)х+ у,(Е)ц+у,(Е) а, Направляющие косинусы а,..., уг удовлетворяют очевидным соотношениям аг+ аг+ аг= 1, ар+ а>р, + >хД=О, рг+р(+()г=!, ау+ау,+ау,=О, У + У + Угг= 1 РУ+Р1У1+ Р>Уз=О или Систем идеальных координат — бесконечное множество, поэтому для выбора определенной системы необходимо наложить дополнительное условие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
