sazonov_d_m__antenny_i_ustroistva_svch_1 988 (561328), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Прн М~й матрица воздействий Н, является прямоугольной, для нее не существуег понятна обычной обратной матрицы, а поэтому прямое решение уравиення (З.б) непрпменнмо, Соотнашеняя (З.б) прн М)Ж представляют переопределенную систему линейных уравнений относительно нскомых элементов матрицы 5.
Разумно кскать решеняе относительно з»» по методу наименьших квадратов. В ля»ейной алгебре доказывается, что решенне с наименьшей среднеквадратнческой в»вязкой по отношеняю к точным значениям элементов матрицы 3 дается формулой,'~ аналогичной (3.7): 3=- У О»+, где О»+ — так называемая лсевдообраглля (плн обобщенная обратная) матраца. В нашем случае псевдоабратная матрица',имеет Ф столбцов по М элементов в каждом н может быть найдена, например„'~ по формуле Ю„.ь =(Г'„',~Ю„Ю'„г1 ', где индекс Г указывает на транспонкраванне (замену строк столбцами), а значок » — на операцию комплексного сопряженна.
Пркмекенне псевдообращення не намного усложняет вычисление матрицы рассеянна по сравнению с (3.7), однако позволяет повысить точность результата эа счет автоматического усреднения случайных ошибок, содержщцнхся в матрицах 6 н О» при М.ь)г'. $ 3.3, й(АТРИДЫ СОПРОТИВЛЕНИИ И ПРОВОДИй(ОСТЕН При определении матриц сопротивлений и проводимостей используется классический подход к описанию входных режимов многополюсника через полные нормированные напряжения и токи.
Это приводит к матричным описаниям многополюсников СВЧ, почти тождественным принятым в теорвн низкочастотных цепей, Главное отличие состоит в том, что вместо обычных напряжений и токов используются нх нормированные величины (размерностью г' Вт) . Обратимся вначале к определению матрицы сопротивлений Х. Пусть воздействие нз 2Ф-полюсннк выбрано в виде набора У нормированных токов и реакция определена в виде набора Ф нормированных напряжений: г'г иг г) 3=н) = иэ ))=))= (э Связь введенных таким образом векторов воздействии и реакции в 2Ф-полюспике определяется нормированной матрицей сопротивлений Х. Характеризующая матрицу сопротивлсний система линейных алгебраических уравнений имеет вид (3.8) и) =Х(), или в подробной записи за~1 злт ... лгг и ~ л Соотношение (3.8а) аналогично обычному закону Ома для двухполюсиика в виде и=21', где входное сопротивление 2 играет роль матрицы Х.
Из уравнений (3.8а), проделывая мысленно опыты холостого хода иа всех входах, кроме возбуждаемого, легко установить смысл элементов матрицы У.. При возбуждении л-г~) входа идеальным источником тока с нормированной величиной~с„и при холостом ходе иа остальных входах получим все эле иты столбца а матрицы У: и,„ 1~ г юх д-их...,лч тел. г Не следует забывать, что комплексные нормированные напряжения и возбуждающие нормированные токи в (3.9) должны быть определены в плоскостях отсчета фаз миогополюсника. Недиагоиальиые элементы матрицы Х представляют собой так иазываемые взаимные сопротивления входов т и л многополюсника. Первый индекс т в обозначении г „указывает номер строки матрицы и одновременно номер входа, иа котором определяется реакция в виде нормированного напряжения холостого хода.
Второй индекс л означает номер столбца матрицы 'Х и одновременно помер входа, к которому прикладывается воздействие в виде нормированного тока. Диагональным элементам матрицы Х соответствует случай гп=л в (3.9). Диагональные элементы являются собственными солротивлеииями каждого входа многополюсиика при размыкаиии всех других входов.
Поскольку нормированные токи и напряжения имеют одинаковую размерность УВт, все элементы матрицы сопротивлений получаются безразмериыми. Перейдем к определению нормированной матрицы проводимостей. Здесь воздействие иа входах 2И-полюсника выбирается в виде набора Ф нормированных напряжений, а соответствующая реакция задается набором Ф нормированных токов. Характеризующая мат- рицу пр водимостей У система линейных алгебраических уравнений имс т вид )>=Уи>, или более подробно а', у„ у,а ... у, и, У Уаз -.
У к иа (к Улч Улъ - ° Укк Из этой системы уравнений, проделывая мысленно опыты короткого замыкания входов (кроме возбужденного), получаем определение элементов матрицы проводимостей: )т у иа ~к=о;а на,...,к;а-,а. 1 а Недиагональные элементы матрицы У представляют комплексные взаимные проводимости в виде отношений выходных нормированных токов короткого замыкания к нормированному напряжению на возбуждаемом входе.
Диагональные элементы матрицы г' являются собсавенными проводимостями каждого входа при условии короткогоЪамыкания всех других входов. Как и в случае матрицы сопротив)~еиий, нормированные токи и напряжении должны определяться в1заранее зафиксированных плоскостях отсчета фаз.
Так же как в ь)атрице Х, все элементы матрицы а' являются безразмерными. Сравнивая определения матриц сопротивлений и проводимостей одного и того же 2)у-полюсника, легко установить, что эти матрицы взаимно обратны: Х=У-', 1'=2,'— '.
Матрицы сопротивлений и проводимостей наиболее часто применяются в расчетах многоэлементных антенн для учета взапмного влияния отдельных излучателей друг на друга. Отметим, что для некоторых пассивных многополюсников либо матрица сопротивлений, либо матрица проводимостей, либо обе они могут оказаться неопределенными (содержащимн бесконечно большие элементы). $ ЗаК СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ МНОГОПОЛЮСНИКА Любая матрица параметров многополюсника является его волной внешней характеристикой. Выбор той илн иной матрицы диктуется удобством проведения расчетов элементов матриц или принятой методикой экспериментального определения параметров многополюсника.
Все матрицы одного и того же многополюсника однозначно связаны между собой. Поэтому, зная одну из них, можно вычислить и остальные. Наиболее простая связь, как отмечалось, существует между матрицами сопротивлений и проводимостей — эти матрицы обратны одна по отношению к другой. Чтобы установить взаимосвязь между матрицей рассеяния и матрицей сопротивлений (или проводимостей) и вообще между лю- быми двумя произвольными матрицами многополюсникр, нужно использовать соотношения (3.1) между напряжениями ~адающих и отраженных волн во входных линиях передачи, с одно стороны, и нормированными напряжениями и токами — с другой.
~мея в виду, что соотношении (3.1) справедливы для всех входных линий многополюсиика, их можно представить в объединенной матричной форме относительно столбцов напряжений и токов: 2п„) =и)+!), 2п,") =и) — 1). (3.10) Подставляя столбцы и,> н и,> из (3.10) в систему уравнений (3 2), определяющую матрицу рассеяния, получаем (и> — 1>) =8(п>+1>). Группируя в левой части равенства слагаемые с множителем и>, можно записать (Š— 8)п>=(Е+8)1>, где Š— единичная матрица порядка )Ч.
Умножая это уравнение слева на матрицу (Š— 8)-', приходим к соотношению н) =(Е 8)-1(Е+8) !), из сопоставления которого с определяющей системрй уравнений (3.8) для матрицы сопротивлений следует искомая формула связи матриц Х и 8: Х=(Š— 8)- (Е+8). ( (3.! !) Из соотношения (3.11) следует, что матрица сг)противлений существует не всегда — она оказываетси неопределенной при обращении в нуль определителя матрицы, подлежащей обращению, т.
е. при бе( (Š— 8) =О. Для матрицы проводимостей т' тем же путем, что и для матрицы Х, можно получить выражение, связывающее ее с матрицей рассеяния: Т =(Е+ 8)-' (Š— 8). (3.12) Из этого соотношения следует, что если определитель де! (Е+ + 8) =О, то матрица проводимостей т' для многополюсника отсутствует. Например, непосредственной проверкой можно установить, что обращаются в нуль бе! (Š— 8) и бе! (Е+8) для шестиполюсника в виде параллельного разветвления трех линий передачи (см. рис. 3.2). Это указывает на одновременное отсутствие матриц У.
и 7 для такого шестиполюсника. Матричные соотношения (3.11) и (3.12) напоминают известные соотношения в линии передачи, связывающие нормированное сопротивление г (или нормированную проводимость у) и коэффициент отражения: я =(1+ Ф(! — р), И =(1 — р)/(1+ р), что вполне естественно, поскольку последние соотношения можно рассматривать как частный случай (3.11) и (3.12) для минимального многополюсника с одним входом. Итак, для получения соотношения между любыми двумя нормированными матрицами многополюсника достаточно использовать системы уравнений, определяющие эти матрицы, и соотношения типа (3.10), связывающие нормированные напряжения и токи и напряжения падающих и отраженных волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
