Теория универа (555138), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Тогда11 − 2αр (0 < U < u кр ) = − α =. Следовательно, икр можно найти по таблице значений221 − 2αфункции Лапласа из условия, что Ф(и кр ) =. Вычислим наблюдаемое значение2критерия по формуле (19.2).Если Uнабл < uкр, то нулевая гипотеза принимается.Если Uнабл > uкр, то нулевая гипотеза отвергается.3) Для конкурирующей гипотезы Н1: р < p0 критическая область является левосторонней изадается неравенством U <- uкр, где икр вычисляется так же, как в предыдущем случае.Если Uнабл > - uкр, то нулевая гипотеза принимается.Если Uнабл < - uкр, то нулевая гипотеза отвергается.Пример. Пусть проведено 50 независимых испытаний, и относительная частота появлениясобытия А оказалась равной 0,12.

Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевуюгипотезу Н0: р = 0,1 при конкурирующей гипотезе Н1: р > 0,1. Найдем(0,12 − 0,1) 50U набл == 0,471. Критическая область является правосторонней, а икр нахо0,1 ⋅ 0,91 − 2 ⋅ 0,01= 0,49. Из таблицы значений функции Лапласадим из равенства Ф(икр) =2определяем икр = 2,33. Итак, Uнабл < uкр, и гипотеза о том, что р = 0,1, принимается.Критерий для проверки гипотезы о математическом ожидании.Пусть генеральная совокупность Х имеет нормальное распределение, и требуетсяпроверить предположение о том, что ее математическое ожидание равно некоторомучислу а0.

Рассмотрим две возможности.1) Известна дисперсия σ2 генеральной совокупности. Тогда по выборке объема п найдемвыборочное среднее х В и проверим нулевую гипотезу Н0: М(Х) = а0.67PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comУчитывая, что выборочное среднее Х является несмещенной оценкой М(Х), то естьМ( Х ) = М(Х), можно записать нулевую гипотезу так: М( Х ) = а0.

Для ее проверкивыберем критерийX − a 0 ( X − a0 ) nU==.(19.3)σ (X )σЭто случайная величина, имеющая нормальное распределение, причем, если нулеваягипотеза справедлива, то М(U) = 0, σ(U) = 1.Выберем критическую область в зависимости от вида конкурирующей гипотезы:1−α, критическая область двусторонняя,- если Н1: М( Х ) ≠ а0, то икр: Ф(и кр ) =2( х − a0 ) nU набл =, и, если |Uнабл| < uкр, то нулевая гипотеза принимается; если |Uнабл| > uкр,σто нулевая гипотеза отвергается.1 − 2α- если Н1: М( Х ) > а0, то икр: Ф(и кр ) =, критическая область правосторонняя, и, если2Uнабл < uкр, то нулевая гипотеза принимается; если Uнабл > uкр, то нулевая гипотезаотвергается.1 − 2α- если Н1: М( Х ) < а0, то икр: Ф(и кр ) =, критическая область левосторонняя, и, если2Uнабл > - uкр, то нулевая гипотеза принимается; если Uнабл < - uкр, то нулевая гипотезаотвергается.2) Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.В этом случае выберем в качестве критерия случайную величину( X − a0 ) nT=,(19.4)Sгде S – исправленное среднее квадратическое отклонение.

Такая случайная величинаимеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы. Рассмотрим те же, что и впредыдущем случае, конкурирующие гипотезы и соответствующие им критическиеобласти. Предварительно вычислим наблюдаемое значение критерия:( х − a0 ) nTнабл = В.(19.5)S- если Н1: М( Х ) ≠ а0, то критическая точка tдвуст.кр.

находится по таблице критическихточек распределения Стьюдента по известным α и k = n – 1.Если | Tнабл | < tдвуст.кр., то нулевая гипотеза принимается.Если | Tнабл | > tдвуст.кр., то нулевая гипотеза отвергается.- если Н1: М( Х ) > а0, то по соответствующей таблице находят tправост.кр.(α, k) – критическую точку правосторонней критической области. Нулевая гипотеза принимается, еслиTнабл < tправост.кр..- при конкурирующей гипотезе Н1: М( Х ) < а0 критическая область является левосторонней, и нулевая гипотеза принимается при условии Tнабл > - tправост.кр..

ЕслиTнабл < - tправост.кр.., нулевую гипотезу отвергают.Критерий для проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий.Пусть имеются две нормально распределенные генеральные совокупности Х и Y. Из нихизвлечены независимые выборки объемов соответственно п1 и п2, по которым вычисленыисправленные выборочные дисперсии s X2 и sY2 . Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н0: D(X) = D(Y) о равенстве дисперсий рассматривае68PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comмых генеральных совокупностей.

Учитывая несмещенность исправленных выборочныхдисперсий, можно записать нулевую гипотезу так:Н0: М ( s X2 ) = М ( sY2 ).(19.6)Замечание. Конечно, исправленные дисперсии, вычисленные по выборкам, обычнооказываются различными. При проверке гипотезы выясняется, является ли это различиенезначимым и обусловленным случайными причинами (в случае принятия нулевойгипотезы) или оно является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны.В качестве критерия примем случайную величинуS2F = σ2 (19.6)SM- отношение большей выборочной дисперсии к меньшей. Она имеет распределениеФишера-Снедекора со степенями свободы k1 = n1 – 1 и k2 = n2 – 1, где п1 – объем выборки,по которой вычислена большая исправленная дисперсия, а п2 – объем второй выборки.Рассмотрим два вида конкурирующих гипотез:- пусть Н1: D(X) > D(Y). Наблюдаемым значением критерия будет отношение большей изsσ2исправленных дисперсий к меньшей: Fнабл = 2 .

По таблице критических точек распредеsMления Фишера-Снедекора можно найти критическую точку Fнабл(α; k1; k2). ПриFнабл < Fкр нулевая гипотеза принимается, при Fнабл > Fкр отвергается.- если Н1: D(X) ≠ D(Y), то критическая область является двусторонней и определяетсянеравенствами F < F1, F > F2, где р(F < F1) = р( F > F2) = α/2. При этом достаточно найтиαправую критическую точку F2 = Fкр ( , k1, k2).

Тогда при Fнабл < Fкр нулевая гипотеза2принимается, при Fнабл > Fкр отвергается.69PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЛекция 20.Критерий Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения случайнойвеличины. Проверка гипотез о нормальном, показательном и равномерном распределениях по критерию Пирсона. Критерий Колмогорова. Приближенный методпроверки нормальности распределения, связанный с оценками коэффициентовасимметрии и эксцесса.В предыдущей лекции рассматривались гипотезы, в которых закон распределениягенеральной совокупности предполагался известным. Теперь займемся проверкой гипотезо предполагаемом законе неизвестного распределения, то есть будем проверять нулевуюгипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по некоторому известномузакону.

Обычно статистические критерии для проверки таких гипотез называютсякритериями согласия.Критерий Пирсона.Достоинством критерия Пирсона является его универсальность: с его помощью можнопроверять гипотезы о различных законах распределения.1. Проверка гипотезы о нормальном распределении.Пусть получена выборка достаточно большого объема п с большим количеством различных значений вариант. Доя удобства ее обработки разделим интервал от наименьшего донаибольшего из значений вариант на s равных частей и будем считать, что значения вариант, попавших в каждый интервал, приближенно равны числу, задающему серединуинтервала.

Подсчитав число вариант, попавших в каждый интервал, составим так называемую сгруппированную выборку:варианты………..х1 х2 … хsчастоты………….п1 п2 … пs ,где хi – значения середин интервалов, а пi – число вариант, попавших в i-й интервал (эмпирические частоты).По полученным данным можно вычислить выборочное среднее х В и выборочное среднееквадратическое отклонение σВ.

Проверим предположение, что генеральная совокупностьраспределена по нормальному закону с параметрами M(X) = х В , D(X) = σ В2 . Тогда можнонайти количество чисел из выборки объема п, которое должно оказаться в каждом интервале при этом предположении (то есть теоретические частоты). Для этого по таблицезначений функции Лапласа найдем вероятность попадания в i-й интервал: b − xB  a − xB  , − Φ ipi = Φ i σB  σB где аi и bi - границы i-го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборкип, найдем теоретические частоты: пi =n·pi. Наша цель – сравнить эмпирические итеоретические частоты, которые, конечно, отличаются друг от друга, и выяснить,являются ли эти различия несущественными, не опровергающими гипотезу о нормальномраспределении исследуемой случайной величины, или они настолько велики, чтопротиворечат этой гипотезе. Для этого используется критерий в виде случайной величиныs(n − ni′ ) 2χ2 = ∑ i.(20.1)ni′i =1Смысл ее очевиден: суммируются части, которые квадраты отклонений эмпирическихчастот от теоретических составляют от соответствующих теоретических частот.

Можнодоказать, что вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупности закон распределения случайной величины (20.1) при п → ∞ стремится к закону70PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comраспределения χ 2 (см. лекцию 12) с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где r – числопараметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки.

Нормальноераспределение характеризуется двумя параметрами, поэтому k = s – 3. Для выбранногокритерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условиемp ( χ 2 > χ kp2 (α , k )) = α ,(20.2)где α – уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенствомχ 2 > χ kp2 (α , k ), а область принятия гипотезы - χ 2 < χ kp2 (α , k ) .Итак, для проверки нулевой гипотезы Н0: генеральная совокупность распределенанормально – нужно вычислить по выборке наблюдаемое значение критерия:s(n − ni′ ) 22χ набл=∑ i,(20.1‘)ni′i =12(α , k ) ,а по таблице критических точек распределения χ2 найти критическую точку χ кр2< χ kp2 - нулевую гипотезуиспользуя известные значения α и k = s – 3.

Если χ набл2> χ kp2 ее отвергают.принимают, при χ набл2. Проверка гипотезы о равномерном распределении.При использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности с предполагаемой плотностью вероятности 1, x ∈ ( a, b)f ( x) =  b − a 0, x ∉ (a, b)необходимо, вычислив по имеющейся выборке значение x B , оценить параметры а и b поформулам:а* = х В − 3σ В , b* = x B + 3σ B ,(20.3)a+bгде а* и b* - оценки а и b. Действительно, для равномерного распределения М(Х) =,2( a − b) 2 a − bσ ( x) = D( X ) ==, откуда можно получить систему для определения а* и122 3 b * +a *= xB 2b*:  b * −a *, решением которой являются выражения (20.3).=σB 2 31, можно найти теоретические частоты по формуламb * −a *1n1′ = np1 = nf ( x)( x1 − a*) = n ⋅( x1 − a*);b * −a *1n ′2 = n3′ = ...

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)