ТВиМС (555061), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для вычисления вероятностей из правой части последнего равенства используем классическое определение вероятности. Тогда

б) Пусть m – число красных шаров среди двух извлеченных. Тогда искомой является вероятность Очевидно, что , и (см. п. а) данного примера). Вместе с тем, событие – среди извлеченных шаров нет красных – равносильно тому, что первый шар окажется белым и второй – также белым, т.е. , поэтому

Окончательно имеем

Заметим, что вероятность может быть также найдена по-другому. События и взаимно противоположны, поэтому

Но

Тогда

Домашнее задание (здесь и далее номера задач указаны по учебнику Н.Ш. Кремера “Теория вероятностей и математическая статистика”): 1.54, 1.58, 1.60, 1.61, 1.64, 1.69.

1.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса (гипотез)

Теорема. Пусть события образуют полную систему и F – некоторое событие. Тогда справедлива формула

,

которая и называется формулой полной вероятности.

Пусть событие F отлично от невозможного, тогда

где Данная формула называется формулой Байеса (гипотез).

Пример. Объемы продукции, изготавливаемой двумя рабочими, относятся как 3:2. Вероятности брака для деталей первого и второго рабочих равны соответственно 0,02 и 0,01. Найти вероятность того, что деталь, извлеченная наудачу из не рассортированной продукции,

а) является бракованной;

б) изготовлена первым рабочим, если известно, что она бракована.

Решение. а) Введем в рассмотрение события: – деталь изготовлена первым рабочим, – деталь изготовлена вторым рабочим, F – деталь бракована. Из условия следует, что всю продукцию можно предполагать состоящей из 5-ти частей (3+2=5), причем на долю первого рабочего приходится 3 части из этих 5-ти, на долю второго – 2 части. Тогда, по классическому определению вероятности, , . По условию, и по формуле полной вероятности получаем

,

б)

Домашнее задание: 1.72, 1.75.

Тема 2. Повторные независимые испытания

2.1. Формула Бернулли

Сначала рассмотрим задачу – частный случай задач предыдущей темы. Наблюдение над решением позволит нам получить формулу, существенно упрощающую вычисления в аналогичных случаях.

Пример. Предполагается произвести 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле считается известной и равной 0,7. Найти вероятность того, что

число попаданий в мишень будет:

а) равно 2;

б) не менее 2-х;

в) менее 4-х.

Решение. а) Принципиально эта задача не отличается от задачи о двух стрелках из § 1.6 (повторные испытания и здесь независимы) и может быть решена тем же способом. Введем обозначения, которые ниже будем использовать в подобных случаях. Число выстрелов по мишени обозначим через n (здесь ), – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле, – вероятность промаха при каждом выстреле, – число попаданий. Требуется найти , эту же вероятность обозначим через . Перебирая все случаи, в которых число попаданий в мишень будет равно 2, получаем

.

В общем случае справедлива

Теорема. Пусть произведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью p. Тогда вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит раз, вычисляется по формуле

где – число сочетаний из n по , .

Полученная формула носит название формулы Бернулли.

Завершим рассмотрение нашего примера.

б) Так как то, применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем

Первое слагаемое последней суммы найдено в п. а) данного примера. Аналогично для остальных:

Окончательно имеем

в) По аналогии с предыдущим пунктом задания,

т.е. решение требует, вообще говоря, четырех применений формулы Бернулли. Однако возможно и более короткое решение. Действительно, события и – взаимно противоположны, следовательно

Вероятность найдена в п. б) примера. Таким образом, получаем

Домашнее задание: 2.15, 2.16, 2.18.

2.2. Формула Пуассона (редких событий)

Теорема. Пусть произведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью p , причем

а) число испытаний достаточно велико ( ;

б)

Тогда вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит раз, вычисляется по следующей приближенной формуле

Эта формула и называется формулой Пуассона (редких событий).

Пример. По каналу связи передано 1000 сигналов. Вероятность ошибки при передаче каждого из сигналов равна 0,005. Найти вероятность того, что неверно передано:

а) 7 сигналов;

б) не менее 4-х сигналов.

Решение. а) Воспользуемся формулой Пуассона, т.к. условия ее применимости в данном случае выполнены: число испытаний достаточно велико и Искомое значение найдем по таблице функции Пуассона при и (см. учебник Н.Ш. Кремера, с.556):

б) Требуется найти , где m – число неверно принятых сигналов. Так как то

Искать каждое из слагаемых этой суммы и затем выполнять суммирование – такое решение не представляется рациональным из-за большого числа слагаемых и потому, что таблица функции Пуассона не дает искомых значений с требуемой в данном случае точностью. Воспользуемся переходом к противоположному событию:

Находя вероятности из правой части последнего равенства по таблице функции Пуассона, окончательно получаем

Домашнее задание: 2.20, 2.22б.

2.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Пусть произведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью p , причем число испытаний достаточно велико ( .Тогда вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит раз, вычисляется по следующей приближенной формуле

где – функция Гаусса,

Пример. Имеется партия деталей, состоящая из 1000 штук. В среднем среди деталей такого вида стандартные детали составляют 90. Найти вероятность того, что число стандартных деталей в данной партии окажется равным 890.

Решение. Число испытаний в данном случае достаточно велико , поэтому локальная теорема Муавра-Лапласа применима. Из условия следует, что вероятность быть стандартной для произвольной детали данной партии равна

, , . Тогда

По локальной теореме Муавра-Лапласа,

Учитывая, что функция Гаусса четная, используя таблицу этой функции (см. учебник Н.Ш. Кремера, с. 553-554), находим Окончательно, получаем

Свойства функции Гаусса.

1 ) Функция Гаусса четна: , поэтому ее график симметричен относительно оси ;

2) при всех , т.е. график расположен строго выше оси ;

3) , т.е. ось является горизонтальной асимптотой графика этой функции; на практике полагаем .

Схематично график функции Гаусса изображен на рис. 1.

Домашнее задание. 2.21а, 2.25, 2.27а.

2.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Пусть произведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью p , причем число испытаний достаточно велико ( .Тогда вероятность того, что число m наступлений события А в этих n испытаниях будет заключено в границах от до , вычисляется по следующей приближенной формуле

где – функция Лапласа, .

Пример. Каждая из 1000 деталей партии стандартна с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что число стандартных деталей этой партии будет не меньше 880.

Решение. Число n повторных независимых испытаний в данном случае равно числу деталей в партии (каждая из деталей партии будет проверяться на предмет качества, а в этой проверке и состоит испытание). поэтому интегральная теорема Муавра-Лапласа применима; неравенство , где – число стандартных деталей в партии, здесь равносильно поэтому Тогда

По свойствам функции Лапласа (см. ниже), , По таблице функции Лапласа (см. учебник Н.Ш. Кремера, с. 555) находим Тогда окончательно имеем

Свойства функции Лапласа

1. Функция Лапласа нечетна:

2. Функция Лапласа – монотонно возрастающая;

3. т.е. прямые и являются горизонтальными асимптотами (правой и левой соответственно) графика ; на практике полагаем при

График функции Лапласа схематично изображен на рис. 2.

Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа

Пусть выполнены условия применимости интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Следствие 1. Вероятность того, что число наступлений события А в n повторных независимых испытаниях будет отличаться от величины не более чем на (по абсолютной величине), вычисляется по формуле

Следствие 2. Вероятность того, что доля наступлений события А в n повторных независимых испытаниях будет отличаться от вероятности p наступления этого события в одном испытании не более чем на (по абсолютной величине), вычисляется по формуле

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)