Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Рассмотрим следствия из неравенства Чебышёва.

Следствие 1. Пусть случайные величины – независимы, , где – некоторое число. Тогда вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин отличается от среднего арифметического их математических ожиданий не более чем на (по абсолютной величине), оценивается по формуле

Следствие 2. Пусть случайные величины – независимы, , где Тогда вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин отличается от их общего математического ожидания не более чем на (по абсолютной величине), оценивается по формуле

Следствие 3. Пусть – число наступлений некоторого события в повторных независимых испытаниях, в каждом из которых это событие наступает с вероятностью . Тогда вероятность того, что число наступлений события отличается от не более чем на (по абсолютной величине), оценивается по формуле

Следствие 4. Пусть – число наступлений некоторого события в повторных независимых испытаниях, в каждом из которых это событие наступает с вероятностью . Тогда вероятность того, что частость наступлений события отличается от вероятности не более чем на (по абсолютной величине), оценивается по формуле

Последнее следствие называется также неравенством Бернулли.

Пример. Вероятность сделать покупку для каждого из покупателей магазина равна 0,7. Почему нельзя применить неравенство Чебышёва для оценки вероятности того, что из 1000 покупателей доля таких, которые приобретут в магазине товар, будет заключена в границах от 0,67 до 0,72? Как следует изменить левую границу, чтобы применение неравенства Чебышёва стало возможным? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы. Найти эту же вероятность по интегральной теореме Муавра-Лапласа. Объяснить различие в полученных результатах. Сколько покупателей надо обследовать, чтобы те же границы для рассматриваемой доли можно было гарантировать с вероятностью не меньшей 0,9?

Решение. Неравенство Чебышёва позволяет оценивать вероятности попадания значения случайной величины только в границы, которые симметричны относительно математического ожидания этой случайной величины. Но в данном случае интервал (0,67; 0,72) несимметричен относительно , где – доля покупателей, которые приобретут в магазине товар, – вероятность приобретения товара. Соответственно, для того, чтобы применение неравенства Чебышёва стало возможным, левая граница интервала должна отстоять от ровно настолько, насколько отстоит правая, т.е. на Неравенства и – равносильны, а вероятность оценивается по следствию 4 (неравенству Бернулли) при , , :

Точно такая же вероятность может быть найдена по следствию 2 из интегральной теореме Муавра-Лапласа:

Очевидно, что полученные результаты не противоречат друг другу. Поясним, почему для одной и той же вероятности неравенство Чебышёва дает лишь оценку, в то время как теорема Муавра-Лапласа – точное значение. Дело в том, что неравенство Чебышёва получено без каких бы то ни было предположений о законе распределения рассматриваемой случайной величины. В результате область его применений широка, но получение точных результатов с его помощью оказывается невозможным. В свою очередь, теорема Муавра-Лапласа опирается на свойство биномиального распределения: по центральной предельной теореме, это распределение неограниченно приближается к нормальному при неограниченном увеличении числа испытаний. Использование закона распределения рассматриваемой случайной величины и позволяет уточнить окончательный результат.

Перейдем теперь к последнему заданию данной задачи. По условию и неравенству Бернулли, имеем

причем . Тогда полученное равенство

содержит единственную неизвестную: . Решая это уравнение относительно этой неизвестной, получаем:

6.2. Теоремы Бернулли и Чебышёва

Теорема Бернулли. Пусть – частость наступления события А в повторных независимых испытаниях, в каждом из которых это событие наступает с вероятностью .Тогда для произвольного вероятность того, что частость будет отличаться от вероятности не более чем на (по абсолютной величине) неограниченно приближается к 1 при неограниченном увеличении значения , т.е.

Другими словами, теорема Бернулли утверждает, что частость наступления некоторого события сходится по вероятности к вероятности наступления этого события.

Доказательство. Учитывая, что вероятность произвольного события не превосходит 1, из неравенства Бернулли следует

Переходя к пределу при , получаем

Крайние левый и правый пределы этого двойного неравенства равны 1. Таким образом, имеем

что равносильно утверждению теоремы Бернулли.

Теорема Бернулли утверждает, что, если за значение вероятности некоторого события взять значение частости наступления этого события, найденную по результатам испытаний, то вероятность погрешности (даже сколь угодно малой) приближенного равенства будет стремиться к нулю с увеличением числа испытаний .

Теорема Чебышёва. Пусть случайные величины независимы, одинаково распределены и Тогда для произвольного вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин отличается от их общего математического ожидания не более чем на (по абсолютной величине) , неограниченно приближается к 1 при неограниченном увеличении числа этих случайных величин т.е.

Другими словами, теорема Чебышёва утверждает, что среднее арифметическое некоторого числа случайных величин, имеющих одинаковое математическое ожидание, сходится по вероятности к их общему математическому ожиданию.

Говоря о приложениях теоремы Чебышёва, отметим, в первую очередь, следующую возможность. Если за значение некоторого неизвестного параметра а взять среднее арифметическое результатов независимых измерений этого параметра, то вероятность погрешности (даже сколь угодно малой) приближенного равенства будет стремиться к нулю при неограниченном увеличении числа этих измерений.

Теоремы Бернулли и Чебышёва являются явными реализациями так называемого закона больших чисел, утверждающего, что при проведении достаточно большого числа испытаний погрешности отдельных испытаний взаимно погашают друг друга (тем самым среднее арифметическое независимых случайных величин – результатов этих испытаний – стремится к постоянной величине при неограниченном увеличении числа испытаний).

Домашнее задание: 6.10, 6.11, 6.17, 6.19, 6.22.

Математическая статистика

Тема 7. Выборочный метод

7.1. Оценка неизвестного параметра. Свойства оценок

Определение. Случайная величина называется оценкой неизвестного параметра , если значение этой случайной величины, найденное по результатам серии из измерений, может быть принято за приближенное значение этого параметра т.е. если справедливо равенство .

Пример. Если в качестве неизвестного параметра рассматривается вероятность наступления некоторого события , то оценкой этого параметра служит частость наступлений события в независимых испытаниях (см. статистическое определение вероятности и теорему Бернулли).

Пример. Пусть случайные величины имеют одинаковое математическое ожидание, т.е. . Тогда оценкой значения общего математического ожидания таких случайных величин служит среднее арифметическое этих случайных величин. Важным частным случаем рассмотренной ситуации является следующий

Пример. Оценкой некоторого параметра служит среднее арифметическое результатов независимых измерений этого параметра (см. теорему Чебышёва).

При непосредственном использовании приближенного равенства говорят о точечном оценивании неизвестного параметра.

Возможно также интервальное оценивание неизвестного параметра. Для того, чтобы объяснить, в чем оно состоит, введем в рассмотрение следующие понятия.

Определение. Для произвольного интервал называется доверительным интервалом; сама величина называется в этом случае предельной ошибкой выборки.

Определение. Вероятность того, что неизвестное значение оцениваемого параметра накрывается доверительным интервалом, называется доверительной вероятностью.

Таким образом, если – оценка параметра , то

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)