ТВиМС (555061), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

По аналогии с одномерным случаем, закон распределения двумерной дискретной случайной величины задается с помощью таблицы вида:

где

По аналогии с основным свойством закона распределения одномерной случайной величины, справедливо равенство

Приведенная таблица называется совместным законом распределения случайных величин Х и Y.

Пример #. Совместный закон распределения случайных величин Х и Y имеет вид:

Найти математическое ожидание случайной величины Х.

Решение. Прежде всего найдем закон распределения случайной величины Х. Так как

то закон распределения Х имеет вид:

Тогда

Оставляем читателю в качестве упражнения проверку того, что закон распределения случайной величины Y имеет вид:

и

Определение. Связь между переменными называется функциональной, если каждому значению из области определения одной переменной поставлено в соответствие однозначно определенное значение другой переменной.

Примерами такого вида связи изобилует курс математического анализа:

, и т.д. и т.д.

Определение. Функциональная связь между значениями одной переменной и условными математическими ожиданиями другой переменной называется корреляционной.

Определение. График корреляционной зависимости называется линией регрессии.

Корреляционные зависимости бывают двух видов ( по и по ) в зависимости от того, которая из переменных выполняет роль аргумента: или . Соответственно, – точки корреляционной зависимости по и – точки корреляционной зависимости по .

Пример. По совместному закону распределения из предыдущего примера (Пример #) найти корреляционную зависимость по .

Решение. Применяя теорему умножения вероятностей, получаем

где вероятности, стоящие в числителях последних дробей, берутся из таблицы совместного закона распределения Примера #, вероятность найдена в том же примере. Таким образом, условное распределение случайной величины Y при имеет вид:

По этому закону распределения находим условное математическое ожидание:

.

Аналогично получаем:

Собирая вместе полученные результаты, запишем корреляционную зависимость по в виде следующей таблицы:

	1	2

Упражнение. По совместному распределения Примера # убедиться, что корреляционная зависимость по имеет вид:

	0	1

Рассмотрим теперь непрерывную двумерную случайную величину.

Определение. Функция называется плотностью распределения непрерывной двумерной случайной величины , если для произвольных чисел

( ) вероятность того, что в произвольном испытании значение случайной величины Z попадает в прямоугольник вычисляется по формуле

Условные плотности распределения определяются формулами:

Соответственно, условные математические ожидания тогда вычисляются по формулам:

1. Коэффициент корреляции и его свойства

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин Х и Y называется число, определяемое равенством

где

Коэффициент корреляции является мерой тесноты линейной связи между переменными.

Величина называется ковариацией и обозначается .

Замечание. Из свойства математического ожидания (см. § 3.3) следует, что, если случайные величины Х и Y независимы, то коэффициент корреляции равен нулю. Существенно, что обратное утверждение неверно, т.е. в общем случае из условия равенства коэффициента корреляции нулю не следует, что данные случайные величины независимы.

Упражнение. Совместное распределение случайных величин X иY имеет вид:

Убедиться, что и данные случайные величины независимы.

Упражнение. По совместному распределению Примера # вычислить коэффициент корреляции. (Ответ. )

Упражнение. Совместное распределение величин X иY имеет вид:

Убедиться, что , но данные случайные величины – зависимы (более того, можно заметить, что в данном случае X иY связаны наиболее “жесткой” из всех возможных связей – функциональной: ).

Теорема (Область возможных значений коэффициента корреляции). Модуль коэффициента корреляции не превосходит1, т.е.

Теорема. Если модуль коэффициента корреляции двух случайных величин равен 1, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость.

Пример. Пусть совместный закон распределения случайных величин X иY имеет вид:

Тогда Оставляем читателю в качестве упражнения проверку того, что в данном случае

Из определения ковариации следует, что

Другими словами, ковариация является мерой неравенства между математическим ожиданием произведения двух случайных величин и произведением их математических ожиданий. Аналогично, применительно к дисперсии, справедливо равенство

1. Двумерный нормальный закон распределения

Определение. Случайная величина называется распределенной по двумерному нормальному закону с параметрами , если ее плотность распределения имеет вид:

,

где

Теорема. Пусть двумерная случайная величина имеет двумерный нормальный закон распределения. Тогда корреляционные зависимости между X и Y – линейны:

где

Это важное свойство двумерного нормального закона будет использовано нами позже при рассмотрении теории корреляции.

Тема 6. Закон больших чисел

6.1. Неравенство Чебышёва

Лемма Чебышёва. Пусть среди значений случайной величины нет отрицательных. Тогда вероятность того, что в некотором испытании значение этой случайной величины превысит число , оценивается по формуле

Так как события и взаимно противоположны, то и лемма Чебышёва может быть также представлена в виде

Пример. В среднем в течение часа на вокзал прибывает 400 пассажиров. Оценить:

а) вероятность того, что число пассажиров, прибывших на вокзал в течение часа, будет более 420;

б) верхнюю границу для числа прибывших пассажиров, которую можно гарантировать с вероятностью не меньшей 0,9.

Решение. Пусть – число пассажиров, прибывающих на вокзал в течение наудачу выбранного часа. По условию, значения этой случайной величины группируются около 400. Тем самым, имеем Полагая в неравенстве Чебышёва получаем

Из условия и второй формы записи неравенства Чебышёва следует, что

где – искомая верхняя граница для числа пассажиров. Таким образом, имеем равенство

Решая это уравнение относительно , получаем:

Неравенство Чебышёва. Для произвольной случайной величины вероятность того, что в некотором испытании значение этой случайной величины будет отличаться от математического ожидания не более чем на (по абсолютной величине), оценивается по формуле

где – произвольное положительное число.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)