yavor1 (553178), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Полагая, что средняя энергия теплового движения электронов и, =з(,йТ и число свободных электронов, приходящихся на один атом, равно т, получим для одного килоатома: У„=Х а+чй(„н„.=-йг„~ЗФТ+ —, тйТ ) = 3)тТ(1+ ~~ ~. Отсюда следует выражение для молярной теплоемкости: (45.8) Воспользсюавшись результатами табл.
44.1, получим, что вклад электронов проводимости в теплоемкость полупроводников ничтожно мал, ибо здесь еж 10-'. Что касается металлов (см. 2 75.3), то их теплоемкость должна была бы значительно превосходить теплоемкость изоляторов. В самом деле, для алюминия согласно (45.8) получим С =- 7,4)с, для меди С = 5Я, для лития С = 4,21( и т. д. Однако это не соответствует экспериментальным данным, согласно которым закон Дюлонга и Пти справедлив и для металлов. $ 45.3т Теплопроводиость изоляторов 1.
Если на концах стержня поддерживать некоторую разность температур, то происходит передача энергии в форме тепла от горячего конца к холодному. Пусть длина стержня равна 1 и площадь поперечного сечения В. Температуру нагретого участка обозначим Т„холодного — Т„ось абсцисс направим вдоль стержня.
4б( лд ат — =- — К— айаг = Дх (45.9) Знак минус появился потому, что тепловой поток является положительной величиной, а градиент температуры— отрицательной. Величина К называется ковффициенх Я том теплопроводноети или просто теРис. 45.2. плопроводноетью вещества. Единицей измерения теплопроводности в СИ служит Вт/(м К); внесистемные единицы: 1 ккал/(ч.м 'С) = — 1,16 Вт/(м К), 1 кал/(с см 'С) =-419 Вт/(м К). Характерные значения теплопроводности некоторых изоляторов приведены в табл. 45.1. Таблица 4бя 2.
Для анализа механизма теплоправодности рассмотрим два соседних слоя атомов (рис. 45.2). Пусть температура левого слоя равна Т, = Т, правого Т, = Т вЂ” ЬТ. Частицы, расположенные в этих слоях, имеют соответственно средние энергии в,=ЗйТ и е, = Зй(Т вЂ” ЛТ). Так как колебания частиц в одном слое происходят более интенсивно, чем в другом, то происходит передача энергии из левого слоя в правый. 462 ат т,— т, Величина — = — ' называется градиентом температуры.
Лх хг — хг Она показывает, как быстро меняется температура вдоль стержня. Величина ЬЯ/Я гхг показывает, какое количество теплоты переносится через единицу площади поперечного сечения в единицу времени; она называется пгепловым потоком. Оказалось, что теггловой поток ггропорционален градиенту тем- пературы (закон Фурье): Одна частица передает энергию Ле =в,— е, = — ЗяХТ. В слое площадью 5 содержится Лг = 5)г(' частиц, где г( — расстояние между частицами. Следовательно, количество тепла ЛЯ = Лг Лн = — лл5КТ)((з.
Тепловой поток ЛГ) Зй ЛТ Зй Лх ЛТ 3)го ЛТ ЗЛГ дза( дт Лг * Дх дз Л. ' = — — — = — — ° — * — = — — — ° — — . (45.! О) Величина а= Лх(Л( представляет собой скорость передачи тепловых колебаний. В принципе она не отличается от скорости передачи из слоя в слой любых других упругих колебаний, т. е.
от скорости звука. Сравнив (45.9) и (45.10), мы видим, что коэффициент теплопро- водности Зйа 3)гнд дз о (45.11) где С вЂ” теплоемкость единицы объема вещества (см. 9 45.1). Выражение (45.11) позволяет качественно объяснить причину анизотропии теплопроводности в некоторых монокристаллах (см. 9 32.1).
Суть дела сводится к тому, что в монокристаллах расстояния между атомами и скорость звука в разных направлениях различны, вследствие чего разной окажется и теплонроводность. 3. Теплопроводностгч рассчитанная по формуле (45.11), приведена н последней колонке табл. 45.!. Мы видим, что для пластмасс, аморфных тел и жидностей получается неплохое совпадение теории и эксперимента. Для кристаллов теория данг значения теплопроводностн, которые в несколько раз меньше энспериментальных. Это можно обьяснить, воспользовавшись соображениями, которые выдвинул Дебай в 1914 г.
Звуковые волны, воспринимаемые человеческим ухом, имеют частоту в диапазоне примерно 20 Гц — 20 нГц, ультразвуки — от 20 нГц до 100 МГц. Эти волны, распространяясь в кристаллах, практически ве рассеиваются, аналогично тому хан свет, не рассеиваясь, проходит через прозрачные среды типа стекла нли воды. Тепловые колебания имеют гораздо более высокую частоту, порядка !О'а — 10тз Гц (гиперзвунн). Оказывается, что такие высокочастотные волны интенсивно рассеиваются в хрнсталлах, аналогично тому, хан свет рассеивается в мутных средах, Чем интенсивнее рассеяние звуковых волн, соответствующих тепловым колебаниям нристалла, тем медленнее идет процесс передачи тепла и тем меньше теплопроводность вещестна. Основываясь на этих представлениях, Дебай получил для теплопроводности ныражение 1 Л = — СаЛ, 3 (45.12) где Л вЂ” среднее расстояние, которое звуковая волна проходит без рассеяния.
Если ввести представление о том, что звуновые волны распространяются в виде некоторых элементарных порций, называемых нвавтамн звунового поля, илн фононами, то зто — градная длина свободного пробега фонояа. Сравнив с (45.11), мы видим, что Л = Зд. 4. Рассеяние звуковых волн происходит на неоднородностях кристаллической решетни, совершенно аналогично рассеянию электронов проводимости (см. 4 44.5). Неоднородность решетки является результатом наличия н ней дефектов, а также особого характера тепловых колебаний частиц в узлах решетки (4 75.9). В аморфных телах н жидкостях имеется блиягни1! порядон упаковки частиц, следовательно, большое число дефектов; поэтому здесь тевлопронодность будет малой, что и подтверждает эксперимент (см.
табл 45 !) В кристаллах, где порядок упаковки частиц значительно выше и дефектов меньше, волна может пройти без рассеяния значительно большее расстояние Расчет дает для хлористого натрия прн О'С значение Л = 23 Ам а и, для кварца вдоль оптической оси прн этой же температуре Л = 40 А ж13 б и т. д Этим и объясняется расхождение между опьпом и нашим элементарным расчетом для кристаллов по формуле (45 11). С ростом температуры вешества усиливаются колебания частиц а узлах кристаллической решетки и уменьшается расстояние, которое звуковые волны про. ходят без рассеяния.
Это должно привести к уменьшению теплопроводностн, аналогично тому, нак с ростом температуры уменьшается электропроводность 6 44 5). Опыт подтверждает этот вывод, ио при относительно высоких температурах При низких температурах теплопроводность убывает за счет резкого уменьшения теплоемкостн 6 45 1). й 45.4, Теплопроводность металлов 1. Сравнительные данные о теплопроводности и электропроводности некоторых металлов при Т = 273 К приведены в табл.
45.2. Как видно, теплопроводность металлов очень велика. Она не сводится к теплопроводности решетки, следовательно, здесь должен действовать еще один механизм передачи тепла. Оказывается, что в чистых металлах теплопроводность осуществляется практически полностью за счет электронного газа, и лишь в сильно загрязяенных металлах и сплавах, где электропроводность мала, вклад теплопроводности решетки оказывается существенным.
Таблица 452 Для вывода рассмотрим два слоя металла, толщина каждого из которых равна средней длине свободного пробега электрона. За время т=)ь/д из одного слоя в другой переходит Л! ='/апоХ электронов. Электроны, переходящие из левого слоя в правый, переносят энергию %', = Л1е„; встречный поток переносит энергию (р',=Ув,. Согласно классической электронной теории средняя энергия электрона е=а(эйТ, Отсюда следует: Я =%',— Вэ = Лг (в,— ва) = — п5)ь — й (Т,— Т,), (4о.13) Тепловой поток ЛЯ 1, Т,— Тз хэ — х, ДЛГ 4 х,— х, ЛГ Поскольку х, — х, = 2)ь = 2иЛ(, где и — средняя скорость теплового 464 движения электронов, то дд ! — ат зл! г ' лх. — = — — лдий — .
(45. 14) Сравнив. (45.14) и (45.9), получим выражение для коэффициента теплопроводности электронного газа: К = — лХЫ. (45. 15) 2. По этой формуле мы не можем вычислить теплопроводность, так как длина свободного пробега электрона нам не известна. Однако, разделив (45.!5) на (44.15), получим К лхиь зли Ати' т зе'ах е~ Но тли* = ЗЙТ, следовательно — — = 2,23 !О "Т. (45. 16) Полученное выражение называется законом Видемана и Франца в честь ученых, которые в 1853 г обнаружили, что при одной и той же температуре отношение теплопроводности к удельной электропроводности у всех металлов одно и то же. Зависимость этого отношения от температуры показал Лоренц 3.
Сопоставив экспериментальные данные табл. 45.2 с формулой (45.16), можно убедиться, что практически теплопроводность металлов целиком определяется теплопроводностью электронного газа, которая при температурах, далеких от абсолютного нуля, в сотни раз превосходит теплопроводность кристаллической решетки. Таким образом, мы видим, что классическая электронная теория 'позволяет не только качественно объяснить механизм теплопроводности металлов, ио и получить количественные соотношения— закон Видемана и Франца, который хорошо согласуется с экспериментом. 4.
Подведем итог. Идея Друде — Лоренца, согласно которой совокупность электронов проводимости в металлах можно рассматривать как идеальный газ, оказалась весьма плодотворной. На, этой основе оказалось возмржным объяснить ряд явлений, связанных с электропроводностью и теплопроводностью металлов. Во всех этих случаях мы полагали, что электронный газ подчиняется статистике Максвелла — Больцмана, как и обычный одноатомный идеальный газ, вследствие чего средняя энергия теплового движения свободного электрона з„, =-'/,АТ Оказывается, что это предположение, позволяющее, например, отлично объяснить особенности теплопроводности металлов (закон Видемана и Франца), не позволяет получить правильных значений теплоемкости металлов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
