metod1_KI_dlya_studentov (549672)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика»Б.Т. Добрица, И.В. Дубограй, О.В. Скуднева.Кратные интегралы и их приложения.Москва1Модуль 1.Занятие 1. Определение двойного интеграла. Геометрическийсмысл двойного интеграла. Теорема существования. Свойствадвойного интеграла. Сведение двойного интеграла кповторному и вычисление его в декартовых координатах.1.Определение двойного интеграла.

Теорема о егосуществовании.Пусть на координатной плоскости XOY даназамкнутая, ограниченная область D с кусочногладкой границей, имеющая площадь S(D) иконечный диаметр d, и пусть в этой областизадана функция f(x,y).Разобьём область D на n элементарныхобластей, не имеющих общих внутреннихточек, с площадями  i и диаметрами d i .( d i - наибольшее расстояние между точкамиэлементарной области). В каждойэлементарной области выберем произвольную точку Pi  xi , yi  , в которойвычислим значение функции f  Pi  .Рис.

1.1nСоставим сумму: Sn   f  Pi    i .(1.1)i 1Эта сумма называется интегральной .Определение. Двойным интегралом f  x, y  dот функции f(x,y) поDобласти D называется предел интегральной суммы (1.1) принеограниченном возрастании числа разбиений n области D и стремлениинаибольшего из диаметров разбиения к нулю (если этот предел существует). f  x, y  d   f  x, y  dxdy DDlim Sn  limn max di 0n f  x , y   n max di 0 i 1iii(1.2)Область D называется областью интегрирования.Теорема существования двойного интеграла. Если функция f(x,y)непрерывна в замкнутой ограниченной области D (с кусочно-гладкойграницей), имеющей конечную площадь и диаметр, то она интегрируема поэтой области, то есть существует предел интегральной суммы (1.1) приn   и max d i  0 , не зависящий от способа разбиения D наэлементарные области и от выбора точек Pi .22.

Свойства двойного интеграла.1. Линейность. Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы по областиD, то их линейная комбинация тоже интегрируема по этой области и   f  x, y     g ( x, y)  dxdy   f  x, y  dxdy    g  x, y  dxdyDDD2. Аддитивность. Если область D разбита на две части D1 и D2 , неимеющие общих внутренних точек, то f  x, y  dxdy  f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdyDD1D23.

Интеграл от единичной функции. Если функция f  x, y   1 вобласти D, то двойной интеграл от единичной функции численноравен площади области интегрирования S(D).1dxdy S  D D4. Интегрирование неравенств. Если функции f(x,y) и g(x,y)интегрируемы по области D, и f(x,y) <g(x,y) на D, то f  x, y  dxdy   g  x, y  dxdy .DDЕсли f  x, y   g ( x, y) на D, то f  x, y  dxdy   g  x, y  dxdy .DЗамечание. Имеет место неравенствоD f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy ,DDкоторое следует из того, что  f  x, y   f  x, y   f ( x, y ) и свойства 4.5. Теорема об оценке двойного интеграла.

Если функция f(x,y)интегрируема по области D, и в этой области m  f  x, y   M , тоm  S  D    f  x, y  dxdy  M  S  D  .D6. Теорема о среднем. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, тосуществует хотя бы одна точка P0  D , для которой выполняетсяравенство f  x, y  dxdy  f  P   S  D  .0D3.Геометрический смысл двойного интеграла.Если f(x,y)>0, то двойной интеграл f  x, y  dxdyDчисленно равен объёму тела, нижним основаниемкоторого является область3Рисунок 1. 2D , ограниченного цилиндрической поверхностью с образующей,параллельной оси OZ, и поверхностью z  f  x, y  . См.

рис. 1.2V   f  x, y  dxdy(1.3)DРассмотрим пример непосредственного вычисления двойного интеграла.Пример 1.1. Вычислим двойной интеграл по области D от функции z  xy ,0  y  1если D : .0  x  1Решение. Разобьём квадрат на n 21 1n nчастей. Тогда  i   1.n2Выберем точки в правой верхнейвершине каждого квадрата.(См.рис.1.3).

Значение функцииz  xy в этих точках будет равноi jn n i  1, 2,, n; j  1, 2,, n .По определению (см. (1.2)) имеемРис. 1.31 n n1i  j  lim 2 1  2  3  ...  n   1  2  3  ...  n  2D x  y dxdy  limn  nn  ni 1 j 11  n  n  1 1 lim 2  .n  n24В подавляющем большинстве случаев вычисление пределов интегральныхсумм представляет собой сложную и трудновыполнимую задачу.

Длядостижения результата эффективнее использовать повторный интеграл.4. Повторный интеграл.2Повторным называется двойной интеграл видаилиy2x2  y y1x1  y  dy  f  x, y  dxx2y2  x x1y1  x  dx  f  x, y  dy(1.4а)(1.4б).4При вычислении первого из указанных повторных интегралов сначалаy2  x берётся внутренний интеграл f  x, y  dyпо переменной y , при этом xy1  x играет роль параметра. Затем полученную функцию интегрируют попеременной x.x2 y2  x x dx y x f  x, y  dy  x  y x f  x, y  dy dx  x F  x, y2  x    F  x, y1  x   dx ,11 1  1 1где F  x, y  - первообразная функции f  x, y  по y , т.е.

Fy  x, y   f  x, y  .x2y2  x x2Аналогично,y2 x2  y y dy x y f  x, y  dx  y  x y f  x, y  dx dy  y F  x2  y  , y   F  x1  y  , y  dy ,11 1  1 1где Fx  x, y   f  x, y  .y2x2  y y22xx2dxdyПример1.2. Вычислим повторный интеграл :   y 2.11xРешение. Вычислим сначала внутренний интеграл, при этом множитель x 2 ,играющий роль параметра (не зависящего от переменной интегрирования),вынесем за знак этого интеграла.2x2x2dy22  11 dx 1 y 2 dy  1 x dx 1 y 2  1 x   yxx2x22dx  x 2   x  1 dx   x3  x dx 1  x  11 x x2 x4 x2 9.42415.

Переход от двойного интегралак повторному. Расстановка пределовинтегрирования.Для вычисления значения двойногоинтеграла (1.1) необходимо перейти кповторному интегралу вида (1.4а) или(1.4б) . Способ перехода зависит от видаобласти D.5Рисунок 1.4Область, ограниченная слева и справа прямымиx  x1 и x  x2 , а сверху и снизу - кривыми y  y x и y  y x , такими,1 2 что любая прямая x  x0  x1  x0  x 2  , проведённая через область D,пересекает каждую из кривых y  y1  x  и y  y2  x  в одной точке,называется y-правильной. При этом точку А называют точкой входа вобласть, а точку В – точкой выхода из области.(см.рис 1.4) То есть область D является yправильной, еслиD   x, y  | x1  x  x2 , y1  x   y  y2  x Определив пределы изменения переменныхпо области D, расставляем пределыинтегрирования в повторном интеграле:x2y2  x x1y1  x  f  x, y  dxdy   dx  f  x, y  dy .D(1.4а)Рисунок 1.5Аналогично вводится понятие x-правильной области (см.

рис. 1.5).В этом случае имеем D   x, y  | y1  y  y2 , x1  y   x  x2  y  иy2x2  y y1x1 y  f  x, y  dxdy   dy  f  x, y  dxD(1.4б)Пример 1.3. Расставим двумя способами пределы интегирования в двойноминтеграле f  x, y  dxdy , где D – треугольник с вершинами O(0,0),DРисунок 1.5A(0,1),В(1,1).Решение. Построим область D. Онаодновременно является какy-правильной, так и x-правильной. Поэтомупервый способ расстановки пределов припереходе к повторному интегралу выглядитследующим образом.Для всех точек данной области переменнаяx изменяется между x1  0 и x2  1 , апеременная y для любого из этих x меняетсяот y  y1  x   0 до y  y2  x   x , т.е.Рис.

1.66D   x, y  | 0  x  1,0  y  x .Определив пределы изменения переменных по области D, расставляемпределы интегрирования в повторном интеграле:x2y2  x x1y1 x  f  x, y  dxdy   dx  f  x, y  dy D1x00  dx  f  x, y  dy .(См.(1.4а))Изменим порядок интегрирования, то есть расставим пределыинтегрирования в повторном интеграле вторым способом (См.(1.4б)).Из рис. 1.6 следует, что для всех точек данной области переменная yизменяется между y1  0 и y2  1 , а переменная x для любого из этих yменяется от x  x1  y   y до x  x2  y   1 . Т.е.

D   x, y  | 0  y  1, y  x  1Теперь расставляем пределы интегрирования:y2x2  y 11y1x1 y 0y f  x, y  dxdy   dy  f  x, y  dx   dy  f  x, y  dx .DПример 1.4. Изменим порядок интегрирования в повторном интеграле22 x02 x  x2 dx f  x, y  dy .Решение. Из данного интеграла следует, что область интегрированияограничена прямыми x  0 , x  2 и кривыми y  2 x  x 2 , y  2 x .Построим область D (См. рис.

1.7). Она является y-правильной, но неявляется x-правильной (См. рис .1.4). Для получения x-правильных областейпридётся разбить область D на три части. Определим пределы, в которыхменяются переменные по каждой из трёх областей для повторных интеграловвида (1.4б).0  y  1D1 :  y 22  x  1 1 y40  y  1D2 : 21  1  y  x  2,7Рис. 1.71  y  2 2D3 :  y 2 x24По свойству аддитивности имеем f  x, y  dxdy  f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy .DD1D2D3Переходя к повторным интегралам вида (1.4б), расставляем пределыинтегрирования в каждом из трёх слагаемых и получаем ответ:22 x02 x x dx211 1 y 20y24f  x, y  dy   dyПример 1.5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги