Главная » Просмотр файлов » metod1_KI_dlya_studentov

metod1_KI_dlya_studentov (549672), страница 5

Файл №549672 metod1_KI_dlya_studentov (Методичка Кратные и криволинейные интегралы Добрица, Дубограй, Скуднева) 5 страницаmetod1_KI_dlya_studentov (549672) страница 52015-10-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

6.2). Связь между сферическимии декартовыми координатамивыглядит следующим образом:Рисунок 6.10 x  r sin  cos  y  r sin  sin  , z  rco s где(6.4)0    2 , 0     , 0  r  . При этом x  y  z  r .Самостоятельно вычислите Якобиан и убедитесь в том, что при переходе ксферической системе J  r 2 sin  . Следовательно, переходя к сферическимкоординатам, имеем:222234 f  x, y, z dxdydz   f  r sin cos , r sin sin  , rco s rV2sin  d d dr (6.5)V2222Замечание 2. В сферических координатах уравнение сферы x  y  z  Rпринимает вид r  R , уравнение кругового конуса k 2  x 2  y 2   z 2принимает вид   arctgk . Поэтому целесообразно переходить к этимкоординатам, если в условии задачи присутствуют конусы и сферы.Замечание 3.

Чтобы преобразовать тройной интеграл в сферической системекоординат в повторный, можно поступить следующим образом. Пересечёмтело, занимающее область V , полуплоскостью, проходящей через ось OZ , ивыделим площадку D , которая при этом получится. Через ось OZ построимдве полуплоскости, которые образуют двухгранный угол , внутри которогозаключено тело. Для этого двухгранного угла, а значит, и для области V1    2 . И тогда2 f  x, y, z  dxdydz   d  f  r sin cos , r sin sin  , r cos  r sin d dr2V1D(6.5а)В двойном интеграле по области D пределы расставим как в полярнойсистеме координат с той разницей, что переменная  меняется отвертикальной оси, где она равна нулю, возрастая против часовой стрелки.Пример 6.1.

Вычислим объём тела, заключённого между двумяполусферами z  25  x 2  y 2 и z  9  x 2  y 2 и двумя коническимиповерхностями z  x 2  y 2 и z  3  x 2  y 2 .Решение. Согласновышесказанному, уравнения сферв сферических координатахпримут вид r  5 и r  3 .Уравнения конусов, являющихсятелесными углами, примут видисоответственно, в46чём легко убедиться,заменив вуравнениях поверхностейРис.6.3декартовы переменныесферическими (см. (6.4)).Тогда по формуле (6.5) можносоставить тройной интеграл длявычисления объёма в сферическойсистеме координат, считая35подынтегральную функцию равнойединице.V  1 r 2 sin  d d drVЧтобы преобразовать тройной интеграл в сферической системе координат вповторный (см.

замечание 3), пересечём тело, занимающее область V ,полуплоскостью, проходящей через ось OZ , и выделим площадку D ,которая при этом получится (на рис. 6.3 эта площадка справа выделенасиним). Для того, чтобы получить всё тело, площадку D надо провращатьвокруг оси OZ на угол 2 . Тогда2V d  r sin d dr20DВ двойном интеграле по области D пределы расставим как в полярнойсистеме координат с той разницей, что переменная  меняется отвертикальной оси, где она равна нулю, возрастая против часовой стрелки.Т.е. D   , r  |    ,3  r  5 . И окончательно, получаем642V d  sin d   r dr  39 45203 2 .36Пример 6.2.

Найдём объём тела, заданного системой неравенств222x  y  z  2z 2, с помощью тройного интеграла.2x  y  zРешение. Построим сферу и параболоид, заданные в условии, и выделимтело, ограниченное ими.Замечание. Уравнения обеихповерхностей имеют вид f x 2  y 2 , z  0 ,Рисунок 6.4Рисучто говорит о том, что это поверхностивращения вокруг оси OZ . Поэтому теловращения, ограниченное ими, можнопостроить следующим образом. Строимлинии пересечения поверхностей сполуплоскостью x  0, y  0 , выделяемобласть D , ограниченную этими линиями(на рис.

6.4 эта область справа выделенажёлтым цветом), и вращаем D вокруг осиOZ . Получаем заданное в условии задачи36тело, которое в пространстве занимает область V (см. рис. 6.4).1 способ. Рассмотрим решение задачи в цилиндрической системе координат.Заданное тело заключено внутри цилиндра с образующей, параллельной осиOZ , проходящей через линию пересечения сферы и параболоида.

Чтобысоставить его уравнение, которое совпадёт с уравнением границы областиDxy (см. рис. 6.4), необходимо из системы уравнений этих поверхностейисключить переменную z .222x  y  z  2zx 2  y 2  1. 22x  y  zОбласть Dxy , на которую проектируется тело, представляет собой кругx 2  y 2  1 . Область V  x, y, z   x, y   Dxy, z1  x, y   z  z2  x, y является правильной.

Перейдём к цилиндрической системе координат.После замены переменных (см. (6.2)) получим:уравнение границы области Dxy - r  1 ,уравнение нижней части сферы- z  1  1  r 2 ,уравнение параболоида- z=r2.Обратите внимание на прямую линию в левой части рисунка 6.4. Мы видим,что при возрастании переменной z сферическая поверхность ограничиваеттело снизу, а параболическая – сверху.Объём тела вычислим как тройной интеграл, где f  x, y, z   1 (см. свойства).V   dxdydz   rd drVD2  r , dz (см.

(6.3а)).1 r , Область D   , r  | 0    2 ,0  r  1 является радиально правильной.Расставим пределы в повторном интеграле и вычислим его.V   rd drdz V21r2001 1 r 2 d   rdr 1dz  2  (r 2  1  r 2  1)rdr 013 r4 1r2 2 2 2   1  r     .2 0 64 32 способ. Рассмотрим решение этой же задачи в сферической системекоординат.V   dxdydz   r 2 sin  d d dr .VVПреобразуем уравнения поверхностей.Уравнение сферы примет вид: r  2co s  .37cos .sin 2 Чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле,пересечём область V полуплоскостью, проходящей через ось OZ . Получимплоскую область D (на рис.

6.3 она справа закрашена жёлтым цветом). Таккак область V была получена при вращении этой площадки D вокруг осиOZ , для всех точек V переменная   0,2  .Уравнение параболоида: r V   dxdydz И тогда2V2dr  sin d dr .0D(см. (6.5а))Область D является радиально правильной и для всех её точек ,а42переменная r меняется от r параболоида до r сферы. (Обратите внимание напрямую линию в правой части рисунка 6.3)В соответствии с данными рассуждениями составим повторный тройнойинтеграл в сферической системе координат и вычислим его:2V22cos d  sin  d  r dr 2cos04sin 2 1623cossind3 32cos3  d   sin3  sin 2  3  6  6 .442Пример 6.3.

Найдём объёма тела, ограниченного поверхностямиx2  y 2  z 2  4, x 2  y 2  4 z, z  0.Решение. Построим тело, ограниченное данными поверхностями, учитываято, что оно является телом вращения, поскольку уравнения всехповерхностей зависят от x 2  y 2 . Для этогопересечём поверхностиполуплоскостью x  0, y  0 и выделимобласть D , ограниченную полученнымилиниями, а менно, гиперболой y 2  z 2  4 ипараболой y 2  4 z .

(см. рис. 6.5) Найдёмточкупересечения этих кривых.Она имеет координатыy  2 2, z  2.Рисунок 12.5При вращении этойобласти вокруг оси OZполучим (рис. 6.6)38Рисунок 6.13Рисунок6.6пространственную область V , которую занимает заданное тело. Эта областьне является правильной, так как снизу ограничена двумя поверхностями,параболоидом и плоскостью z  0 . Поэтому для вычисления требуемогообъёма придётся разбить область на две правильные и тогда V  V1  V2 ( см.рис.

6.6). В этом случае1V1   x, y, z   x, y   D1, 0  z   x 2  y 2 4Область D1 на рис. 6.6 выделена тёмным сиреневым цветом.V2   x, y, z   x, y   D2 ,x2  y 2  4  z 1 2x  y 2  .4Область D2 выделена светлым сиреневым цветом.Перейдём в цилиндрическую систему координат (см. (6.2)) и составим обаV   dxdydz   rd drинтеграла. Из формулыV2V2 d  rdr001 2r428 d  rdrdz 002D1 2r4dz r2 42  r , dz следует: 1r , 8.32-ой способ.Искомый объём можно найти иначе, а именно как V  V3  V4 .(См. рис. (6.6)) Здесь V3   x, y, z   x, y   D, 0  z  1  x 2  y 2  , причём4область D - круг x  y  8 , а V4   x, y, z   x, y   D2 , 0  z  x 2  y 2  4 .222И в этом случаеV8 d  rdr01 2r402dz 08 d  rdr02r2 40dz 8.33-ий способ.Наконец, можно изменить порядок интегрирования и составитьповторный интеграл следующим образом:2V224 z 2 d  rdrdz   d  dz 0D00rdr 2 z8.

(В этом случае вращаем область D3вокруг оси OZ так, что 0    2 , а интеграл rdrdzDпредставляем какповторный по r -правильной области D   r , z  | 0  z  2,2 z  r  4  z 2(см. рис.6.6, жёлтая область справа).39Занятие 7.Приложение тройных интегралов (вычисление массы тела переменнойплотности; статических моментов тел относительно координатныхплоскостей; координат центра масс тел и их моментов инерцииотносительно осей координат. Несобственный двойной интеграл 1-города. Вычисление интеграла Пуассона1.Механические приложения тройного интеграла.

Следующиеформулы аналогичны соответствующим формулам для двумерного случая.Масса тела объёма V с переменной плотностью   x, y, z  .M     x, y, z dxdydz(7.1)VСтатические моменты тела относительно координатных плоскостей.K yz   x  x, y, z dxdydzVK xz   y   x, y, z dxdydz(7.2)VK xy   z   x, y, z dxdydzVКоординаты центра масс тела.1xc x  x, y, z dxdydzM Vyc 1M y  x, y, z dxdydz(7.3)V1z   x, y, z dxdydzM VМоменты инерции тела относительно осей координат.zc I x    y 2  z 2    x, y, z dxdydzVI y    x 2  z 2    x, y, z dxdydz(7.4)VI z    x 2  y 2    x, y, z dxdydzVМомент инерции тела относительно начала координат.I 0    x 2  y 2  z 2    x, y, z dxdydz VIx  I y  Iz2.(7.5)Пример 7.1 Вычислим массу прямоугольного параллелепипеда0  x  a, 0  y  b, 0  z  c с плотностью   x, y, z   x  y  z40Решение.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,28 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее