metod1_KI_dlya_studentov (549672), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Il  mdl 2 .Моменты инерции неоднородной пластины D с плотностью   x, y относительно осей OX и OY вычисляются по следующим формулам:I x   y 2    x, y  dxdyDI y   x 2    x, y  dxdy(4.4)DМомент инерции пластины относительно начала координатвычисляется по формуле:I 0  I x  I y    x 2  y 2     x, y  dxdy(4.5)DПример 4.1 . (2225) Найти массу круглой пластинки радиуса R, еслиплотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от центра и равна δна краю пластинки.25Решение.Из условия следует, что если r - расстояние отцентра до точки, а - коэффициентпропорциональности, то плотность  x, y     r .Следовательно,Рис.4.2  x, y  M     x, y  dxdy D  .    R , откуда получаем. Искомую массу вычисляем по формулеR(4.1), подставляя в неё найденную плотность.RR При r  Rrx2  y 2 .Rx 2  y 2 dxdy.DРасставим пределы интегрирования в повторном интеграле, переходя кполярной системе координат, и вычислим его:22 R 2M   d   r dr .R 030Пример 4.2 (2237)Найдём момент инерции относительно полюса фигуры, ограниченнойR2кардиоидой r  a 1  cos   , если плотность в каждой точке равна единице.Решение.Построим кардиоиду.

(См. рис 4.3)Момент инерции относительно полюса вычислим по формуле (4.5):I 0    x 2  y 2     x, y  dxdy.DПри расстановке пределов интегрирования в повторном интеграле перейдёмк полярным координатам и затем вычислиминтеграл. ПолучимI 0   1 r d dr 3D1424 r0a 1 cos  2 d 0a 1 cos  0d r 3dr 04 2a4 1  cos  04d 35 4a .16Рисунок 4.326Пример 4.3. Найдём координаты центра масс однородной пластинки,ограниченной частью эллипса и осями координат так, чтоx2 y 2 1, x  0, y  0.a 2 b2Решение. Для удобства вычислений перейдём к обобщённым полярным x  a  r  cos координатам. Для эллипса они имеют вид:  y  b  r  sin  , J  abr .Действительно, при подстановке в уравнение эллипса, имеем: a cos  2 b sin  2 1  r  1.

Таким образом, четверть эллипсаa2b2отображается в четверть единичной окружности.Рисунок 4.5Далее, по формулам (4.1)- (4.3) вычисляем массу пластины, статическиемоменты и координаты центра масс. Плотность   x, y     constМасса пластинки:2100M     x, y  dxdy  ab   rd dr  ab  d  rdr DD1 ab4.Координаты центра масс:144 ab 24a2xc xx,ydxdyacosdrdr0M  ab  ab 03DKy1K44 ab 24byc  x yx,ydxdyb sin  d  r 2 dr .M  ab D ab 030 4a 4b Ответ: C  ,  . 3 3 27Занятие 5.Тройной интеграл.

Определение тройного интеграла и его свойства.Формулировка теоремы существования тройного интеграла. Сведениетройного интеграла к повторному и его вычисление в декартовойсистеме координат.1.Определение тройного интеграла.Пусть в трёхмерном пространствеR3 задана ограниченная замкнутаяобласть V, в каждой точке Piкоторой определена функцияf(Pi).

Разобьём область V гладкимиповерхностями на n элементарныхчастей, не имеющих общихвнутренних точек, в каждой частипроизвольно выберем точки P1, P2,…, Pn и вычислим значенияфункции в этих точках: f(P1), f(P2),…, f(Pn). Пусть область V имеетконечный объём и ∆V1, ∆V2 , …,∆Vn – объёмы соответствующихэлементарных ячеек, а d i -диаметркаждой из них. СоставимРисунок 5. 6интегральную сумму:nSn   f  Pi   Vi .i 1Если существует предел последовательности этих сумм при условии, чтоколичество разбиений неограниченно растёт, а максимальный из всехдиаметров элементарных частей d стремится к нулю, то он называетсятройным интегралом по области V от функции f(x,y,z).n f  x, y, z dV  lim  f  P   V .Vn d 0 i 1iiВ декартовых координатах : f  x, y, z dV   f  x, y, z dxdydzV(5.1)V2.Теорема существования тройного интеграла.Если подынтегральная функция f(x,y,z) непрерывна на области V, то онаnинтегрируема по этой области, т.е.

существует предел nlim f  Pi   Vi ,d 0 i 1который не зависит от способа разбиения V на части и от выбора точек Pi .3.Свойства тройного интеграла.28Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов отфункций, непрерывных в рассматриваемых областях.1. Линейность. Если функции интегрируемы по области V , то и ихлинейная комбинация интегрируема.  f  x, y, z    f  x, y, z  dxdydz 12V   f1  x, y, z dxdydz    f 2  x, y, z dxdydz.VV2. Аддитивность. Если область V разбита на две области V1 и V2, неимеющие общих точек, то f  x, y, z dxdydz   f  x, y, z dxdydz   f  x, y, z dxdydzVV1V2Примечание. Свойства 1 и 2 верны для любого фиксированного числаслагаемых.f  x, y, z   0 , то3.Сохранение знака.

Если в области V f  x, y, z dV  0 .V4. Интегрирование неравенств . Если в области V f1  x, y, z   f 2  x, y, z  ,то f  x, y, z dxdydz   f  x, y, z dxdydz ,12VV5.Для знакопеременной функции f(x,y,z) справедливо неравенство: f  x, y, z dxdydz   f  x, y, z  dxdydz .VV6. Интеграл от единичной функции по области V равен объёму этойобласти.V   dxdydz(5.2)V7.Теорема об оценке. Если функция интегрируема по области T и в этойобласти m  f  x, y, z   M , то mV T    f  x, y, z  dxdydz  MV T  , гдеV T  -объём области T .T298.Теорема о среднем.

Если функция f(x,y,z) непрерывна в замкнутойобласти V, то в этой области существует точка M  , ,   , такая, что f  x, y, z dxdydz  f  , ,   V ,Vгде V – объем данной области.4.Вычисление тройного интеграла.Пусть замкнутая ограниченная область V проецируется на координатнуюплоскость XOY в правильную область D и любая прямая, перпендикулярнаяэтой области D , пересекает граничную поверхность области V в двух точках(одна нижняя и одна верхняя).Т.е. V  x, y, z   x, y   Dxy, z1  x, y   z  z2  x, y  , где z1  x, y  и z2  x, y непрерывные функции в области Dxy .

Такая область V называетсяправильной.Теорема. Если V - правильная область с кусочно-гладкой границей,f  x, y, z  - непрерывная функция, то тройной интегралz2  x , y  f  x, y, z  dxdydz   dxdy Vf  x, y, z dz .z1  x , y DЕсли область Dxy является y- правильной, то двойной интеграл в своюочередь сводится к повторному иby2  x  f  x, y, z dxdydz   dx Vay1  x z2  x , y dyz1  x , y f  x, y, z dz .(5.3)В тройном интеграле, так же, как в двойном можно менять порядокинтегрирования.Пример 5.1 (2240) Расставим пределы интегрирования в тройном интеграле, f  x, y, z dV   f  x, y, z dxdydz , где V – тетраэдр, ограниченныйVVплоскостями x  y  z  1, x  0, y  0, z  0.Решение. Построим данные в условии плоскости и выделим тетраэдр, объёмкоторого требуется вычислить (см.

рис. (5.2)).30Построенный тетраэдр проецируется вправильную область D , расположеннуюв плоскости XOY , и любая прямая,проходящая через внутреннюю точку Dперпендикулярно этой области,пересекает граничные поверхноститетраэдра в двух точках, в одной нижнейи одной верхней. Т.е. тетраэдр занимаетв пространстве правильную область V .V x, y, z   x, y   Dxy, 0  z  1 x  yРисунок 5. 7Рисунок 5.8При этомV1 x  yf  x, y, z  dxdydz   dxdyDf  x, y, z dz .0Область D является y -правильной. Для всех её точек 0  x  1,0  y  1  x .Переходя к повторному интегралу, расставляем пределы интегрирования.11 x1 x  y000 f  x, y, z dxdydz   dx  dy Vf  x, y, z dz .Самостоятельно измените порядок интегрирования, спроецировав тетраэдр вдругую координатную плоскость.Пример 5.2 Вычислим объём тела, ограниченного поверхностями:z  x2  y 2 , z  4, y  1, y  1 .Решение.

Построим заданныеповерхности и выделим тело, объёмкоторого требуется вычислить. (См.рис.5.3)Полученноетело проецируем в плоскость XOY иполучаем область Dxy - сегмент круга.Определим границы сектора. Плоскостьz  4 пересекает параболоид поокружности, которая проецируется вчасть границы области D :Рисунок 5. 3 z  x2  y 2 x2  y 2  4 .z  431Область V , занимаемая в пространстве телом T , является правильной иV x, y, z   x, y   Dxy, x2  y 2  z  4Для удобства дальнейших рассуждений построим область Dxy на отдельномрисунке 5.4. Заметим, что область и само тело являются симметричнымиотносительноплоскостиYOZ .Dxy как xРассматривая областьправильную, с учётомрасставим пределы в24 y 210интеграле: V  2 dyсимметрии,повторном4dxdz .x2  y 2Рисунок 5.4Ниже приведено подробное вычисление данного интеграла.2V  2 dy14 y 204dx2x2  y 2dz  2 dy1z x2  y 2 dx 404 y 2   4  y   x  dx 22 dy2120x  2    4  y2  x  3 01234 y 24 y 2 y  2sin t 2342 2dy    4  y  dy  dy  2cos tdt  31t  ;  6 2  6416  3tsin 4t  2 84costdtsin2t3 3. 3 328 326632Занятие 6.Замена переменных в тройном интеграле.

Цилиндрические, сферическиекоординаты. Якобиан для цилиндрических и сферических координат.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферическихкоординатах. Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.1. Замена переменных в тройном интеграле.Пусть в пространстве OUVW задана область V  .Теорема. Если непрерывно дифференцируемые функцииx  x  u, v, w , y  y  u, v, w , z  z u, v, w взаимно однозначно отображаютобласть V  пространства OUVW на область V в пространстве OXYZ иякобиан отображения V '  Vx yu u  x, y, z  x yJ  u , v, w  v vx yw wzuz отличен от нуля,vzwто справедлива формула f  x, y, z dxdydz   f  x u, v, w , y u, v, w , z u, v, w J dudvdw (6.1)VV'2.Цилиндрическая система координат.В цилиндрической системе координат положение точки M в пространствехарактеризуется тремя координатами:r -расстояние от начала координат допроекции точки M на плоскость XOY , -угол поворота радиус-векторапроекции точки на эту же плоскостьотносительно оси OX , z -аппликататочки.

(Первые две координаты точкисовпадают с полярными координатамиеё проекции на плоскость XOY - см.рис 6.1).Связь междуцилиндрическими и декартовымиРисунок 6.9координатами выглядит следующимобразом: x  r cos  y  r sin z  z, где0    2 , 0  r  ,    z  . (6.2)33Самостоятельно вычислите Якобиан и убедитесь в том, что J  r .Следовательно, переходя к цилиндрическим координатам, имеем f  x, y, z dxdydz   f  r cos , r sin  , z rddrdzV(6.3)VЗамечание 1. Целесообразно переходить к цилиндрической системекоординат, если уравнения поверхностей, ограничивающих тело, илиподынтегральная функция зависят от x 2  y 2 , т.к. при этом переходеx2 y2   r 2 .VЕсли область V правильная и x, y, z   x, y   Dxy, z1  x, y   z  z2  x, y  , то2  r ,  f  x, y, z dxdydz   rddr    f  r cos , r sin  , z  dz ,VDxy1r , (6.3а)где z1  x, y   1  r ,  , z2  x, y   2  x, y  .3.Сферическая система координат.В сферической системе координат положениеточки в пространстве характеризуетсятоже тремя координатами: r расстояние от начала координат досамой точки M ,  -угол поворотарадиус-вектора проекции M  точкиM на плоскость XOY относительнооси OX ,  -угол между радиусвектором точки M и осью OZ ( см.рис.

Характеристики

Список файлов книги