Главная » Просмотр файлов » metod1_KI_dlya_studentov

metod1_KI_dlya_studentov (549672), страница 2

Файл №549672 metod1_KI_dlya_studentov (Методичка Кратные и криволинейные интегралы Добрица, Дубограй, Скуднева) 2 страницаmetod1_KI_dlya_studentov (549672) страница 22015-10-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Вычислим1f  x, y  dx   dy2221y24f  x, y  dx   dy  f  x, y  dx .1 1 y0  x22 y 2  dxdy , где область D ограничена линийDy  x и y  2x  3 .2Решение.Линии, задающие область D , пересекаются вточках с абсциссами x  1и x  3 . Построим область D и выясним,является ли она правильной (См. рис.1.8).Сравнив данную область с областями,представленными на рис.

1.3 и рис. 1.4, видим,что наша область является y-правильной, но неявляется x –правильной.Перейдём от двойного интеграла к повторномувида (1.4а) и вычислим его.Учтём, что по области D переменные меняютсяв следующих пределах:Рис. 1.81  x  3 и x 2  y  2 x  3 .Расставим пределы интегрирования и вычислим интеграл.∬ xD232 x 31x2 y 2  dxdy  dx2 x 3 2y3 22 x  y  dy    x  y  3  dx  x21 3832 3 x  dx 2x3   x 2   2 x  3  x2  x2 33 1334 x42 x  3x5 x 7 65923 x     2245 21 351Занятие 2Криволинейные координаты на плоскости. Замена переменныхв двойном интеграле. Геометрический смысл модуля и знакаЯкобиана.

Двойной интеграл в полярных координатах.Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойногоинтеграла.Ауд.: ОЛ-6 №№ 2160, 2162, 2164, 2166, 2171, 2177, 2183 или ОЛ-5 №№ 8.43,44, 46, 48, 50, 56, 62.1.Замена переменных в двойном интеграле.Вычисление двойного интеграла может оказаться затруднительным, и тогдаищут другую систему координат, в которой интегрирование упростилось бы.При этом происходит преобразование переменных, а также и областиинтегрирования.Рисунок 2.1Пусть взаимно однозначное отображение области D' плоскости UOV x  x  u, v в область D плоскости XOY задано функциями , y  y  u, v (2.1)причём обе функции непрерывно дифференцируемы в области D' .(см. рис 2.1) При этом отображении площадь элементарной части1i  ui vi области D1 и площадь  i  xi yi соответствующей части9области D связаны так, что  i  J  u, v  1i , где J  u, v  - якобиан этогоотображения, отличный от нуля в любой точке области D' , кроме, бытьможет, конечного числа точек (линий), т.е.x xD  x, y  u vJ0(2.2)D  u, v  y yu vТогда справедлива формула замены переменных для двойного интеграла: f  x, y  dxdy   f  x u, v  , y u, v   J dudvD(2.3)D'Замечание.При переходе в новую систему координат площадь плоскойфигуры D (См.

свойства двойного интеграла) вычисляется по формуле:S   dxdy   J dudvD(2.4)D'2.Геометрический смысл модуля и знака Якобиана.Модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малыхплощадок ΔD и ΔD΄.Геометрический смысл знака якобиана состоит в том, что в случаеположительного якобиана ориентации контуров, ограничивающих областиD' и D при отображении совпадают, а при отрицательном — отличаются.3.Двойной интеграл в полярной системе координат (как частныйслучай).Связь между переменными в декартовой иполярной системах координат:(см. рис.

2.2) x  r  cos y, tg  , r 2  x 2  y 2 ,x y  r  sin (2.5)r   0,   , 0    2Рисунок 2.2Якобиан при переходе в полярную систему координат:J  ,    r . (Убедитесь в этом, вычислив якобиансамостоятельно по формуле (2.2))Теперь формула (2.3) примет вид:(2.6) f  x, y  dxdy   f  r cos  , r cos  rddrDD10Рисунок 2.3Заметим, что при переходе к полярным координатам область D неменяется.Область интегрирования в полярной системе координат назовёмрадиально правильной, если она заключена в секторе между лучами   1 и  2 и ограничена в нём двумя, не пересекающимися во внутренних точкахсектора, кривыми с уравнениями   1   ,   2   . (См.

рис. 2.3)Тогда двойной интеграл по такой областиD   , r  | 1    2 , r1    r  r2   преобразуется в повторныйследующим образом:22   f  r cos  , r cos  rd dr   d   f  r cos  , r cos   rdrD11 (2.7)Площадь плоской фигуры в полярной системе координат вычисляется поформулеS   rd dr(2.8)SЗамечание. К полярным координатам удобно переходить, когдаподынтегральная функция зависит от  x 2  y 2  и в уравнениях границыобласти D содержится эта же комбинация.Пример 2.1 Область D задана неравенствами x 2  y 2  2 x ,y  x. Преобразуем двойной интегралx2  y 2  4x и f  x, y  dxdy в повторный, изменимDпорядок интегрирования и перейдём к полярным координатам.Решение.

Построим заданную область, ограниченную двумя окружностями ипрямой (см. рис. 2.4).Выразим поочерёдно из уравнений всех частей границы, чему равныпеременные y, x . Перейдём к полярной системе и выразим r.1 : y  2 : y 2 x  x 2 , x  1  1  y 2 , r  2cos 4 x  x 2 , x  2  4  y 2 , r  4cos  3  : y  x, x  y ,  4(Обратите внимание на знаки перед корнями!)Данная область не является y - правильной, т.к. её нижняя граница состоитиз двух частей. Поэтому разобьём её на две части прямой x  1 так, чтобы вкаждой из этих частей было по одной нижней границе (см. рис. 2.4).11Рисунок 2.4 f  x, y  dxdy   f  x, y dxdy   f  x, y  dxdy .ТогдаDD1D2В y - правильной области D1 переменные изменяются так, что0  x  1, y1  y  y 2 .В y - правильной области D2 имеем 1  x  2, y3  y  y 2 .И тогда14 x x202 x x2 f  x, y  dxdy  dx D24 x x21xf  x, y  dy   dxf  x, y  dy.Пределы интегрирования в повторном интеграле расставлены.Поменяем порядок интегрирования.

Область D не является x - правильной,т.к. её правая граница состоит из двух частей. Поэтому разобьём её на двечасти прямой y  1 так, чтобы в каждой из этих частей было по одной правойгранице (см. рис. 2.4). Тогда в x - правильной области D3 переменныеизменяются так, что 0  y  1, x 2  x  x1 , а в x - правильной области D41  y  2, x 2  x  x3 . И теперь f  x, y  dxdy   f  x, y dxdy   f  x, y  dxdy DD311 1 y 202 4 y 2  dyD42f  x, y  dx   dy1yf  x, y  dx.2 4 y 2Далее расставим пределы в повторном интеграле, перейдя к полярнымкоординатам. Область D в полярной системе координат является радиальноправильной, т.к. в ней переменные изменяются так, что12D   , r  |    , r1  r  r 2 .42Отсюда следует, что24cos f  x, y  dxdy   f  r cos  , r cos  rd dr   d   f  rcos , r sin   rdr.DD2cos4Выполнены все три варианта расстановки пределов в повторных интегралах.4.Обобщённые полярные координаты.При решении некоторых задач удобна следующая заменапеременных, которая существенно упрощает вычислениеинтеграла. x  a  r  cos  1 1, J   abr  cos   sin  y  b  r  sin Здесь переменные  ,r называются обобщёнными полярнымикоординатами.Пример 2.2 Вычислим площадь области, ограниченной астроидой22 x 3  y 3      1.a bРешение.

Построим астроиду (см. рис. 2.5).Рисунок 2.513 x  a  r  cos Введём обобщённые полярные координаты: , и показатель y  b  r  sin α подберём так, чтобы при подстановке в уравнение астроиды получилосьуравнение единичной окружности. Для данной задачи такой показательравен трём.22 a  r  cos3   3  b  r  sin 3   3Действительно,    1 , или r  1 .ab Якобиан отображения при этом равенJ   abr  cos 1   sin 1   3abr  cos2   sin 2  .Далее, по формуле (2.4) составим интеграл для вычисления искомойплощади :S   dxdy   J dudv   3ab cos 2  sin 2   rd drDDD'Область D   , r  | 0    2 ,0  r  1 является радиально правильной(см.

рис.2.5). Расставим пределы в повторном интеграле и вычислим его.21S  3ab  cos   sin  d   rdr 20203ab8 .Замечание. После расстановки пределов интегрирования оказалосьвозможным взять интегралы по dr и d отдельно друг от друга, как ихпроизведение, поскольку пределы внутреннего интегрирования постоянны.Дополнительный пример 2.3. Вычислим площадь замкнутой области , y  x22 y  3x1образованной пересечением следующих кривых: D : 5 y  2x1 y  5 x 5Решим задачу с помощью перехода к новой системе координат.Решение.14yu(x,y)x2Если ввести новые переменные v( x, y )  y , то в системе координат1x5область отобразится в область , представляющую собойпрямоугольник, заключённый в пределах,. (См.

рис.2.6)Рисунок 2.6Для вычисления площади области D применим формулу :S ∬dxdy ∬ J dudvDD1Сначала выразим переменные x и через u и v, так как для вычисленияЯкобиана преобразования нам необходимо осуществить переходu  u ( x, y )  x  x(u, v).vv(x,y)yy(u,v)59vx5u9Получим систему: .109vy  1u9xuJЯкобиан преобразования :yu5x5v 914v 9u 9y10v 9v109u95599u v10v9u49195v2359u 31915235vS ∬dxdy ∬ J dudv ∬ 5 dudv .DD1D19u 3Область, напомним, представляет собой прямоугольник (см.рис.2.6),подынтегральная функция может быть разбита на множители, поэтому припереходе от двойного интеграла к повторному он распадётся на произведениедвух независимо вычисляемых интегралов:121 333335524 35 25v5 du3S ∬ 5 dudv   5  v dv .91 3 26D139uu23Занятие 3.Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла.Вычисление площади поверхности в декартовых координатах спомощью двойного интеграла.1.Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла.С помощью двойного интеграла можновычислить объём тела, ограниченногоцилиндрической поверхностью,параллельнойоси OZ ,опирающегося на область D вплоскости XOY , и ограниченногосверху поверхностью z  f  x, y (см.

геометрический смысл двойногоинтеграла, см. рис. 3.1).V   f  x, y  dxdy , если f  x, y   0Рисунок 3.3(3.1)DЕсли тело ограничено двумяповерхностями, сверху z  f 2  x, y   0 , аснизу z  f1  x, y   0 , то его объёмвычисляется по формулеV    f 2  x, y   f1  x, y   dxdy(3.2)D16Рисунок 3.2Пример 3.1 Найдём объём тела, ограниченного поверхностями:x  y  z  a, 3 x  y  a,3x  y  a,2y  0, z  0.Решение. На рис. 3.3 изображено тело, ограниченное заданнымиплоскостями. Оно представляет собой пирамиду, сверху ограниченнуюплоскостью z  a  x  y , снизу – плоскостью z  0 .a  y x  2 a  yПо бокам тело ограничивают вертикальные плоскости x ,,33и y  0 . Изображённая в правой части рисунка область D – проекция телана плоскость XOY, которая является x – правильной.Рисунок 3.3Вычислим объём данного тела с помощью формулы (3.1):V   f  x, y  dxdy .DОбласть D изображена на рис.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,28 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6532
Авторов
на СтудИзбе
301
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее