metod1_KI_dlya_studentov (549672), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вычислим1f x, y dx dy2221y24f x, y dx dy f x, y dx .1 1 y0 x22 y 2 dxdy , где область D ограничена линийDy x и y 2x 3 .2Решение.Линии, задающие область D , пересекаются вточках с абсциссами x 1и x 3 . Построим область D и выясним,является ли она правильной (См. рис.1.8).Сравнив данную область с областями,представленными на рис.
1.3 и рис. 1.4, видим,что наша область является y-правильной, но неявляется x –правильной.Перейдём от двойного интеграла к повторномувида (1.4а) и вычислим его.Учтём, что по области D переменные меняютсяв следующих пределах:Рис. 1.81 x 3 и x 2 y 2 x 3 .Расставим пределы интегрирования и вычислим интеграл.∬ xD232 x 31x2 y 2 dxdy dx2 x 3 2y3 22 x y dy x y 3 dx x21 3832 3 x dx 2x3 x 2 2 x 3 x2 x2 33 1334 x42 x 3x5 x 7 65923 x 2245 21 351Занятие 2Криволинейные координаты на плоскости. Замена переменныхв двойном интеграле. Геометрический смысл модуля и знакаЯкобиана.
Двойной интеграл в полярных координатах.Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойногоинтеграла.Ауд.: ОЛ-6 №№ 2160, 2162, 2164, 2166, 2171, 2177, 2183 или ОЛ-5 №№ 8.43,44, 46, 48, 50, 56, 62.1.Замена переменных в двойном интеграле.Вычисление двойного интеграла может оказаться затруднительным, и тогдаищут другую систему координат, в которой интегрирование упростилось бы.При этом происходит преобразование переменных, а также и областиинтегрирования.Рисунок 2.1Пусть взаимно однозначное отображение области D' плоскости UOV x x u, v в область D плоскости XOY задано функциями , y y u, v (2.1)причём обе функции непрерывно дифференцируемы в области D' .(см. рис 2.1) При этом отображении площадь элементарной части1i ui vi области D1 и площадь i xi yi соответствующей части9области D связаны так, что i J u, v 1i , где J u, v - якобиан этогоотображения, отличный от нуля в любой точке области D' , кроме, бытьможет, конечного числа точек (линий), т.е.x xD x, y u vJ0(2.2)D u, v y yu vТогда справедлива формула замены переменных для двойного интеграла: f x, y dxdy f x u, v , y u, v J dudvD(2.3)D'Замечание.При переходе в новую систему координат площадь плоскойфигуры D (См.
свойства двойного интеграла) вычисляется по формуле:S dxdy J dudvD(2.4)D'2.Геометрический смысл модуля и знака Якобиана.Модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малыхплощадок ΔD и ΔD΄.Геометрический смысл знака якобиана состоит в том, что в случаеположительного якобиана ориентации контуров, ограничивающих областиD' и D при отображении совпадают, а при отрицательном — отличаются.3.Двойной интеграл в полярной системе координат (как частныйслучай).Связь между переменными в декартовой иполярной системах координат:(см. рис.
2.2) x r cos y, tg , r 2 x 2 y 2 ,x y r sin (2.5)r 0, , 0 2Рисунок 2.2Якобиан при переходе в полярную систему координат:J , r . (Убедитесь в этом, вычислив якобиансамостоятельно по формуле (2.2))Теперь формула (2.3) примет вид:(2.6) f x, y dxdy f r cos , r cos rddrDD10Рисунок 2.3Заметим, что при переходе к полярным координатам область D неменяется.Область интегрирования в полярной системе координат назовёмрадиально правильной, если она заключена в секторе между лучами 1 и 2 и ограничена в нём двумя, не пересекающимися во внутренних точкахсектора, кривыми с уравнениями 1 , 2 . (См.
рис. 2.3)Тогда двойной интеграл по такой областиD , r | 1 2 , r1 r r2 преобразуется в повторныйследующим образом:22 f r cos , r cos rd dr d f r cos , r cos rdrD11 (2.7)Площадь плоской фигуры в полярной системе координат вычисляется поформулеS rd dr(2.8)SЗамечание. К полярным координатам удобно переходить, когдаподынтегральная функция зависит от x 2 y 2 и в уравнениях границыобласти D содержится эта же комбинация.Пример 2.1 Область D задана неравенствами x 2 y 2 2 x ,y x. Преобразуем двойной интегралx2 y 2 4x и f x, y dxdy в повторный, изменимDпорядок интегрирования и перейдём к полярным координатам.Решение.
Построим заданную область, ограниченную двумя окружностями ипрямой (см. рис. 2.4).Выразим поочерёдно из уравнений всех частей границы, чему равныпеременные y, x . Перейдём к полярной системе и выразим r.1 : y 2 : y 2 x x 2 , x 1 1 y 2 , r 2cos 4 x x 2 , x 2 4 y 2 , r 4cos 3 : y x, x y , 4(Обратите внимание на знаки перед корнями!)Данная область не является y - правильной, т.к. её нижняя граница состоитиз двух частей. Поэтому разобьём её на две части прямой x 1 так, чтобы вкаждой из этих частей было по одной нижней границе (см. рис. 2.4).11Рисунок 2.4 f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxdy .ТогдаDD1D2В y - правильной области D1 переменные изменяются так, что0 x 1, y1 y y 2 .В y - правильной области D2 имеем 1 x 2, y3 y y 2 .И тогда14 x x202 x x2 f x, y dxdy dx D24 x x21xf x, y dy dxf x, y dy.Пределы интегрирования в повторном интеграле расставлены.Поменяем порядок интегрирования.
Область D не является x - правильной,т.к. её правая граница состоит из двух частей. Поэтому разобьём её на двечасти прямой y 1 так, чтобы в каждой из этих частей было по одной правойгранице (см. рис. 2.4). Тогда в x - правильной области D3 переменныеизменяются так, что 0 y 1, x 2 x x1 , а в x - правильной области D41 y 2, x 2 x x3 . И теперь f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxdy DD311 1 y 202 4 y 2 dyD42f x, y dx dy1yf x, y dx.2 4 y 2Далее расставим пределы в повторном интеграле, перейдя к полярнымкоординатам. Область D в полярной системе координат является радиальноправильной, т.к. в ней переменные изменяются так, что12D , r | , r1 r r 2 .42Отсюда следует, что24cos f x, y dxdy f r cos , r cos rd dr d f rcos , r sin rdr.DD2cos4Выполнены все три варианта расстановки пределов в повторных интегралах.4.Обобщённые полярные координаты.При решении некоторых задач удобна следующая заменапеременных, которая существенно упрощает вычислениеинтеграла. x a r cos 1 1, J abr cos sin y b r sin Здесь переменные ,r называются обобщёнными полярнымикоординатами.Пример 2.2 Вычислим площадь области, ограниченной астроидой22 x 3 y 3 1.a bРешение.
Построим астроиду (см. рис. 2.5).Рисунок 2.513 x a r cos Введём обобщённые полярные координаты: , и показатель y b r sin α подберём так, чтобы при подстановке в уравнение астроиды получилосьуравнение единичной окружности. Для данной задачи такой показательравен трём.22 a r cos3 3 b r sin 3 3Действительно, 1 , или r 1 .ab Якобиан отображения при этом равенJ abr cos 1 sin 1 3abr cos2 sin 2 .Далее, по формуле (2.4) составим интеграл для вычисления искомойплощади :S dxdy J dudv 3ab cos 2 sin 2 rd drDDD'Область D , r | 0 2 ,0 r 1 является радиально правильной(см.
рис.2.5). Расставим пределы в повторном интеграле и вычислим его.21S 3ab cos sin d rdr 20203ab8 .Замечание. После расстановки пределов интегрирования оказалосьвозможным взять интегралы по dr и d отдельно друг от друга, как ихпроизведение, поскольку пределы внутреннего интегрирования постоянны.Дополнительный пример 2.3. Вычислим площадь замкнутой области , y x22 y 3x1образованной пересечением следующих кривых: D : 5 y 2x1 y 5 x 5Решим задачу с помощью перехода к новой системе координат.Решение.14yu(x,y)x2Если ввести новые переменные v( x, y ) y , то в системе координат1x5область отобразится в область , представляющую собойпрямоугольник, заключённый в пределах,. (См.
рис.2.6)Рисунок 2.6Для вычисления площади области D применим формулу :S ∬dxdy ∬ J dudvDD1Сначала выразим переменные x и через u и v, так как для вычисленияЯкобиана преобразования нам необходимо осуществить переходu u ( x, y ) x x(u, v).vv(x,y)yy(u,v)59vx5u9Получим систему: .109vy 1u9xuJЯкобиан преобразования :yu5x5v 914v 9u 9y10v 9v109u95599u v10v9u49195v2359u 31915235vS ∬dxdy ∬ J dudv ∬ 5 dudv .DD1D19u 3Область, напомним, представляет собой прямоугольник (см.рис.2.6),подынтегральная функция может быть разбита на множители, поэтому припереходе от двойного интеграла к повторному он распадётся на произведениедвух независимо вычисляемых интегралов:121 333335524 35 25v5 du3S ∬ 5 dudv 5 v dv .91 3 26D139uu23Занятие 3.Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла.Вычисление площади поверхности в декартовых координатах спомощью двойного интеграла.1.Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла.С помощью двойного интеграла можновычислить объём тела, ограниченногоцилиндрической поверхностью,параллельнойоси OZ ,опирающегося на область D вплоскости XOY , и ограниченногосверху поверхностью z f x, y (см.
геометрический смысл двойногоинтеграла, см. рис. 3.1).V f x, y dxdy , если f x, y 0Рисунок 3.3(3.1)DЕсли тело ограничено двумяповерхностями, сверху z f 2 x, y 0 , аснизу z f1 x, y 0 , то его объёмвычисляется по формулеV f 2 x, y f1 x, y dxdy(3.2)D16Рисунок 3.2Пример 3.1 Найдём объём тела, ограниченного поверхностями:x y z a, 3 x y a,3x y a,2y 0, z 0.Решение. На рис. 3.3 изображено тело, ограниченное заданнымиплоскостями. Оно представляет собой пирамиду, сверху ограниченнуюплоскостью z a x y , снизу – плоскостью z 0 .a y x 2 a yПо бокам тело ограничивают вертикальные плоскости x ,,33и y 0 . Изображённая в правой части рисунка область D – проекция телана плоскость XOY, которая является x – правильной.Рисунок 3.3Вычислим объём данного тела с помощью формулы (3.1):V f x, y dxdy .DОбласть D изображена на рис.