metod1_KI_dlya_studentov (549672), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

3.3, тело сверху ограничено плоскостьюz  a  x  y , т.е. f  x, y   a  x  y . Подставим эту функцию в двойнойинтеграл. Для всех точек области D переменные заключены в пределахa y20 ya и x   a  y  . Перейдём к повторному интегралу и,33расставив пределы интегрирования, вычислим его.aV   dy02a y3a y3a3 a  x  y dx  .1817Пример 3.2 Вычислим с помощью двойного интеграла объём тела,22ограниченного плоскостью z  0 , параболоидом z  x  y и двумяцилиндрами x2  y 2  x, x2  y 2  2 x .Решение. На рис. 3.4 изображено тело, ограниченное заданнымиповерхностями. Спроецируем его на координатную плоскость XOY .Рисунок 3.4Полученная проекция представляет собой область D , заключённую междудвумя окружностями.Цилиндрическое тело опирается на эту область и ограничено сверхуповерхностью f  x, y   x 2  y 2 .Составим двойной интеграл для вычисления объёма этого тела, по формуле22(3.1): V   x  y dxdy .DИсходя из вида подынтегральной функции и области D , делаемзаключение, что данный интеграл удобнее вычислять в полярныхкоординатах.Учитывая симметричность тела относительно плоскости XOZ , вычислимобъём той части тела, которая расположена в первом октанте, и удвоим его.Область интегрирования при этом ограничена так, чтоD   , r  | 0    ,cos   r  2cos   .2Перейдём к повторному интегралу и вычислим его.22cos 0cos V  2 r  rd dr  2  d2D1r 3dr 45.3218Замечание 1.

Если тело ограничено двумя поверхностями, имеющимиуравнения F1  x, y, z   0 и F2  x, y, z   0 , то чтобы составить уравнениецилиндра, в котором это тело заключено и который проецирует его наплоскость XOY , необходимо из системы этих уравнений исключитьпеременную z . (См.рис.3.2) F1  x, y, z   0 F2  x, y, z   0    x, y   0При этом уравнение полученного цилиндра   x, y   0 совпадает суравнением границы той области D , которая является далее областьюинтегрирования в плоскости XOY .Пример 3.3 Вычислим с помощью двойного интеграла объём тела,222ограниченного поверхностями y  x  z и 2z  y .Рисунок 3.5Решение. Построим обе поверхности (правая часть конуса и цилиндрпараболический) и тело, ограниченное ими (на рис. 3.5 оно выделено синимцветом).

Чтобы составить двойной интеграл для вычисления объёма этоготела, необходимо построить цилиндр такой, чтобы выделенное тело былозаключено в нём, и чтобы он проецировал тело на одну из координатныхплоскостей в область D .В данной задаче удобно спроецировать полученное тело на координатнуюплоскость XOZ . (См. замечание 1)Исключим переменную y из системы уравнений, задающих тело: y  x 2  z 22. Получим x2   z  1  1 .22 z  yЭто уравнение проецирующего цилиндра, а в плоскости XOZ это уравнениеокружности, ограничивающей область D1 . (см. рис.

3.6).19Используя формулу (3.2), составим интеграл для вычисления объёмаV    y2  x, z   y1  x, z   dzdx , гдеD1y2  x , z   2 zy1  x, z   x 2  z 2.Таким образом, получим:V  Рисунок 3.6D12 z  x 2  z 2 dzdx .С учётом формы области D1 этот интеграл вычислим в полярных x  r cos координатах, введя их следующим образом: . z  r sin 22sin 00Тогда V  2  d 2r sin   r rdr 3245 .2.Вычисление площади поверхности.Понятие площади поверхности.Пусть G - гладкая (кусочно-гладкая) ограниченная поверхность. Разобьём еёгладкими кривыми произвольно на n частей ( на n элементарных площадок)так, чтобы каждая из этих площадок однозначно проецировалась накасательную плоскость, проведённую в любой точке элементарнойплощадки.На каждой элементарной площадке Gi выберем произвольную точку M i ипроведём через эти точки касательные плоскости к поверхности.

Обозначимчерез  i площадь проекции каждой элементарной части на своюnкасательную плоскость. Составим сумму Sn    i .i 1Пусть d i - диаметр элементарной части Gi и d  max di , i  1..n .Если существует предел lim Sn  S , то поверхность называетсяn d 0квадрируемой, а число S - её площадью.Наглядным примером и моделью может служить всем известный прибор –зеркальный шар для праздников. Он обклеен множеством плоскихзеркальных пластинок. В пределе, при бесконечном возрастании числапластинок, и, соответственно, уменьшении размера каждой пластинки,20сумма площадей пластинок стремится кплощади поверхности шара (см. рис. 3.7).Рисунок 3.7Пусть z  f  x, y  - уравнение поверхности G и f  x, y  - непрерывнаядифференцируемая функция.

Напомним,что каждый участок поверхностиаппроксимируется участком касательнойплоскости d i , нормальным вектором ккоторой является градиент функцииz  f  M i  . Представив уравнениеповерхности в виде f  x, y   z  0 ,вычислим градиент: z zn   , , 1 . Координаты x yнормированного вектора градиентаявляются направляющимикосинусами углов  ,  ,  , которые градиент образует с осями координат.n0  z z,,1 x y z   z 1      x   x 22.Рисунок 3.8Если спроецировать элементарную площадку d i на координатнуюплоскость XOY в элементарную площадку dxi dyi ,то получим d i cos  i - аппликата n0  M i  , а именно cos  i 1 z   z 1      x   x 22dxi dyi.cos  i|M i .21 z   z Тогда d i  1      |M i dxi dyi (см.

рис.3.8) . И площадь той x   x 22части поверхности, которая однозначно проецируется в область D плоскостиnS  lim   iXOY , как предел интегральной суммыn d 0 i 1вычисляется поформулеS   d  D z   z 1       dxdy. x   x 22(3.3)Пример 3.4 Вычислим площадь части поверхности полусферыz  a 2   x 2  y 2  , вырезанной цилиндром x2  y 2  ax .Решение. Построим заданные поверхности и выделим нужную частьповерхности (на рис. 3.9 онавыделена синим цветом).Поверхность проецируется вплоскость XOY в область,ограниченную окружностьюx2  y 2  ax .По формуле (3.3) составиминтеграл для вычисления искомойплощади поверхности.S    Рис.3.9D1 z   z 1       dxdy x   x 22Вычислим частные производные.zxzy, xa 2   x 2  y 2  ya2   x2  y 2 После упрощения подкоренного выражения получим интегралS  D1adxdya x  y222..Выберем способ его вычисления.

В данном случае удобнее перейти кполярным координатам и учесть симметрию относительно плоскости XOZ .Половина области D1 является радиально правильной, где220  ;0  r  a cos . Расставим пределы интегрирования в повторном2интеграле и вычислим его.S  D12adxdya x  y222 2a  d0a cos 0rdra r22 a   2  .Пример 3.5 В условиях предыдущего примера вычислим площадь боковойповерхности части цилиндра, заключённой между полусферой и плоскостьюXOY .Решение. На рис. 3.10 зелёным цветом выделена половина заданной части22цилиндра x  y  ax .

Очевидно, что эта часть удобно, без наложения,проецируется только на координатную плоскость XOZ . Граница области D2 ,в которую проецируется при этом зелёная часть цилиндра, состоит из трёхчастей. Две из них очевидны, это x  0 и z  0. Третья часть являетсяпроекцией линии пересечения полусферы и цилиндра. Чтобы спроецироватьлинию пересечения на плоскость XOZ , необходимо построитьпроецирующий цилиндр, направляющей которого является эта линия, собразующей, параллельной оси OY . Уравнение этого цилиндра совпадёт суравнением проекции линии пересечения двух поверхностей на плоскостьXOZ .

(См. замечание 1)Из системы уравненийРисунок 3.11 z  a2   x2  y 2 , задающих x 2  y 2  axполусферу и цилиндр, исключимпеременную y.Получим z  a  x  a  . Это уравнениецилиндра параболического. Третьим участком границы области D2 в пл.XOZ является часть параболы.2Рис.3.10Построим область D2 (см. рис.3.11). D2  x, z  | 0  x  a,0  z aa  x .Интеграл для вычисления площади поверхности в данном случае имеет вид:S    D2 y   y 1       dxdz , x   z 22где y  ax  x - уравнение, задающее цилиндр.Эта формула получена из формулы (3.3), вкоторой роль функции играет y  f  x, z  , апеременными интегрирования являются x и z .223Рисунок 3.11Вычислим частные производные.ya  2 x y;  0.x 2 ax  x 2 zУпростим подкоренное выражение, подставим его в выбранную формулу ивычислим интеграл.aadxdzdxS  2 ax axD2 2 x a  x0a a xdz  2a 20Занятие 4.Вычисление с помощью двойного интеграла массыматериальной пластинки, ее статических моментов, центровмасс и моментов инерции.1.

Вычисление массы материальной пластинки.Пусть материальная пластинка с переменнойплотностью   x, y  занимает на плоскости XOYограниченную область D. Разбиваем областьпроизвольно гладкими кривыми на nэлементарных частей Di с площадями  i так,что плотность во всех точках каждой такой частиможно считать постоянной. В каждойэлементарной части произвольно выбираемРис.4.1точки Mi и вычисляем значение плотностиi  M i  в каждой из них. Тогда масса элементарной площадки равнаmi  i  M i    i .Пусть d  max di , где d i - диаметр i-ой площадки.i 1, nnСоставляем сумму Sn     M i    i .i 1Определение. Число М называется массой пластинки D переменнойSn  M .плотности   x, y  , если существует предел nlimd 0По определению, это двойной интеграл   x, y  dxdy .M     x, y  dxdy .Итак, массаD(4.1)D2.Статические моменты относительно осей координат.24Определение.

Статическим моментом материальной точки с массой mотносительно оси l называется произведение массы точки на расстояние отнеё до оси, т.е. Kl  mdl .Статические моменты неоднородной пластины D с плотностью   x, y относительно осей OX и OY вычисляются по следующим формулам:K x   y    x, y  dxdyDK y   x    x, y  dxdy(4.2)D3.Координаты центра масс пластинки.xc KyM x    x, y  dxdyD   x, y  dxdyDyc KxM y    x, y  dxdy(4.3)D   x, y  dxdyD4.Моменты инерции пластинки относительно осей координат.Определение. Моментом инерции материальной точки с массой mотносительно оси l называется произведение массы точки на квадратрасстояния от неё до оси, т.е.

Характеристики

Список файлов книги