pogorelov-gdz-8-2002f (546198), страница 8
Текст из файла (страница 8)
tg30° =.22 3a, поэтому2RРадиус описанной окружностиR=Ответ:№ 68.aaa ⋅ 2/a3: cos 30° = :.==22 22/ ⋅ 33aa2 3;3.В треугольнике один из углов при основании равен 45°, авысота делит основание на части 20 см в 21 см. Найдитебольшую боковую сторону1.Рассмотрим ∆ABD.∠А = 45° (по условию).∠D = 90° (так как BD ⊥ АС), значит ∠ABD = 45° и1Иногдавпроизвольномтреугольнике,необязательноравнобедренном, сторона, проведенная горизонтально, называетсяоснованием, а две другие — боковыми сторонами, как в данной задаче.69∆ABD — равнобедренный, поэтому АD = BD = 20, а DC =21.ДалееAD 2 + BD 2 = 202 + 202 = 400 + 400 = 2 ⋅ 400 = 20 2 ,АВ =ВС = DC 2 + BD 2 = 202 + 212 = 400 + 441 = 29 .Большая боковая сторона 29 см.
Если AD = 21, а DC = 20, тоАВ = 21 2 , ВС = 29, значит большая боковая сторона равна21 2 см ≈ 29,7 см.Ответ: 29 см или 21 2 см ≈ 29,7 см.№ 69.У треугольника одна из сторон равна 1 м, а прилежащиек ней углы равны 30° и 45°. Найдите другие сторонытреугольника.Проведем BD⊥AC∆BDC — равнобедренный, (так как ∠С=∠DBC=45o) BD =DC. Пусть BD = х м.АС = 1 м; AD = 1 – х.tg 30° =BDx,=AD 1 − x(o)1ox 1 + tg 30 = tg 30 , x =Так что BD =sin 45 o =70BDBC11+ 3tg 30o1 + tg 30o= CD .=3 = 1 .11+ 31+3BC =122BD=÷=≈ 0,517 м.sin 45° 1 + 321+ 3sin 30° =AB =BD,AB112BD=÷ =≈ 0,732 м.sin 30° 1 + 3 2 1 + 3Ответ: ≈ 0,517 м; ≈ 0,732 м.№ 70.Диагональ прямоугольника в два раза больше одной изего сторон. Найдите углы между диагоналями.Диагонали прямоугольника равны и точкой пересеченияделятся пополам. Пусть CD х, тогда АС = 2х, ∠CAD = 30° (впрямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°,равен половине гипотенузы).∆AOD — равнобедренный, значит и ∠ODA = 30°.
Тогда∠AOD = 180° – 2 ·30° = 120°.∠AOD и ∠DOC — смежные, поэтому∠COD = 180° – 120° = 60°.Ответ: 60° и 120°.№ 71.Диагонали ромба равны a и а 3 . Найдите углы ромба.71Диагонали ромба перпендикулярны друг другу, точкойпересечения делятся пополам и являются биссектрисами угловэтого ромба. Используя эти свойства получим:aa 3AO = ; BO =22tg∠BAO =ΒΟ a 3 a a 3 2=÷ =⋅ = 3 , значит222 aΑΟ∠ВАО = 60°.∠А = 2∠ВАО = 2 · 60° = 120°;∠A = ∠ С = 120°.∠А и ∠В — углы ромба, прилежащие к одной стороне,значит∠ А+∠ В=180°, то есть∠ В = 180° – ∠А = 180° – 120° = 60°.∠D = ∠ В = 60°.∠ С = ∠ А = 120.Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.№ 72.1;312332sinβ = ; 2) sinα = ; sinβ = ; 3) cosα = ; cosβ = ;434754) соsα = 0,75, cosβ = 0,74; 5) tgα = 2,1, tgβ = 2,5;856)tgα = , tgβ = ?32Какой из углов больше — α или β, если: 1)sinα =При решении задачи используем теорему 7.5.111) sina = ; sinβ = ; sinα > sinβ. Тогда, α > β.34232) sinα = ; sinβ = ;34sinα < sinβ, тогда, α < β.323) cosα = ; cosβ = ;75cosα > cosβ, тогда, α < β.4) cosα = 0,75; cosβ = 0,74; cosα > cosβ.
Тогда, α < β.5) tgα = 2,1; tgβ = 2,5; tgα < tgβ. Тогда, α < β.726) tgα =№ 73.85, tgβ = ; tgα > tgβ. Тогда, α > β.23У прямоугольного треугольника АВС угол А большеугла В. Какой из катетов больше — АС или ВС?∠A > ∠В, тогда, согласно теореме 7.5 sin∠A > sin∠B.Но ВС = AB sin∠ А, аАС = АВ sin∠ В. Так чтоВС > АС, так как АВ = АВ, sin∠А > sin∠В.Ответ: ВС.№ 74.У прямоугольного треугольника АВС катет ВС большекатета АС.
Какой угол больше — А или В?Угол А больше. Решение задачи решается аналогичнорешению № 73.Ответ: ∠А.§ 8. Декартовы координаты наплоскости№ 1.Проведите оси координат, выберите единицу длины наосях, постройте точки с координатами: (1; 2), (-2; 1),(-1; -3), (2; -1).73№ 3.На прямой, параллельной оси х, взяты две точки.
Уодной из них ордината у = 2. Чему равна ординатадругой точки?У всех точек на прямой, параллельной оси х, ординатыточек равны, значит ордината другой точки тоже равна 2.Ответ: 2.№ 4.На прямой, перпендикулярной оси х, взяты две точки. Уодной из них абсцисса х = 3. Чему равна абсцисса другойточки?Прямая, перпендикулярна оси х, а значит параллельна оси у,поэтому абсцисса другой точки тоже равна 3.Ответ: 3.№ 5.Из точки А (2; 3) опущен перпендикуляр на ось х.Найдите координаты основания перпендикуляра.3А1В1 2Ответ: (2; 0).№ 6.74Через точку А (2; 3) проведена прямая, параллельная осих. Найдите координаты точки пересечения ее с осью у.3СА11 2Ответ: (0; 3).№ 7.Найдите геометрическое место точек плоскости ху, длякоторых абсцисса x = 3.Геометрическим местом точек плоскости ху, для которыхабсцисса х = 3, является прямая, перпендикулярная оси х,параллельная оси у и проходящая через точку (3;0), то естьотстоющая от оси у на 3 ед.
вправо.№ 8.Найдите геометрическое место точек плоскости ху, длякоторых |х| = 3.Геометрическое место точек, для которых |х| = 3, состоит издвух прямых, параллельных оси у, отстоящих от нее на 3 ед.№ 9.Даны точки А (-3; 2) и В (4; 1). Докажите, что отрезокАВ пересекает ось у, во не пересекает ось х.Задача решена в учебнике на стр. 101 п. 71.№ 10.Какую из полуосей оси у (положительную илиотрицательную) пересекает отрезок АВ в предыдущейзадаче?У точек А и В ординаты положительные, значит обе точки Аи В лежат в верхней полуплоскости. А значит отрезок АВпересекает положительную полуось оси у.№ 11.Найдите расстояние от точки (-3; 4) до: 1) оси х; 2) оси у.Расстояние от точки (-3;4) до оси х равно 4, а до оси у 3.Ответ: 4; 3.75№ 12.Найдите координаты середины отрезка АВ, если:1) А (1; -2), В (5; 6); 2) А (-3; 4), В (1; 2); 3) А (5; 7),В (-3; -5).1)А (1; -2); В (5; 6).
Пусть О — середина отрезка АВ. Тогда Оимеет координаты:1+ 5−2 + 6хо == 3, уо == 2.О (З; 2).222) А (-3; 4); В (1; 2);4+2−3 + 1= – 1; уо == 3. О (-1; 3).хо =223) А (5; 7); В (-3; -5);5−37−5= 1; уо ==1O (1; 1).хо =22Ответ: 1) (3; 2); 2) (-1; 3); 3) (1; I).№ 13.Точка С — середина отрезка АВ. Найдите координатывторого конца отрезка АВ, если: 1) А (0; 1), С (-1; 2);2) А (-1; 3), С (1; -1); 3) А (0; 0), С (-2; 2).1)А(0; 1); С(-1; 2).
Пусть В(х; у) – второй конец, тогда0+ x1+ y= −1 ;= 2 , откуда22x = – 2; y = 3 значит B(-2; 3)А (-1; 3); С (1; -1); В (х; у) – второй конец отрезка.−1 + x3+ y= 1 ; откуда=1;22x = 3; y = -5,B(3; -5), значит,А (0; 0); С (-2; 2); В (х; у) – второй конец отрезка.0+ x0+ y= −2 ;= 2 , откуда22x = – 4; y = 4, значит, B(-4; 4).Ответ: 1) (-2; 3); 2) (3; -5); 3) (-4; 4).№ 14.Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами вточках А (-1; -2), В (2; -5), С (1; -2), D (-2; 1) являетсяпараллелограммом. Найдите точку пересечения егодиагоналей.По свойству диагоналей четырехугольника ABCD —параллелограмм, если координаты середин отрезков АС и BD,совподают.
Обозначим середину AC — O1, а BD — O2.76А(-1;-2); С(1;-2);О1(х1;у1)−2 − 2−1 + 1= −2 ;x1 == 0 ; y1 =22В (2, -5); D (-2. 1);O1 (0; -2)О2 (х2; у2).2−2−5 + 1x1 == 0 ; y2 == −2 O2 (0; -2)22Координаты середин совпали, значит, четырехугольник ABCD— параллелограмм. Точка пересечения диагоналей (0; -2).Ответ: (0; -2).№ 15.Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (1; 0),В (2; 3), С (3; 2).
Найдите координаты четвертойвершины D и точки пересечения диагоналей.Задача решена на стр. 102 п. 72.№ 16.Найдите середины сторон треугольника с вершинами вточках О (0; 0), А (0; 2), В (-4; 0).Пусть (x1; y1) — середина ОА; (x2; y2) — середина АВ; (x3; y3)— середина ОВ.0+00+2= 0, у1 == 1; (0; 1);220−42+0х2 == -2, у2 == 1 (-2; 1);220−40+0х3 == -2, у3 == 0; (-2; 0)22х1 =Ответ: (0; 1); (-2; 1); (-2; 0).№ 17.Даны три точки А (4; -2), В (1; 2), С (-2; 6). Найдитерасстояния между этими точками, взятыми попарно.Расстояние между точками А(х1;у1) и В(х2;у2) вычисляетсяпо формуле:AB =(x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 ; в нашем случаеAB =(4 − 1)2 + (− 2 − 2)2= 9 + 16 = 25 = 5AC =(4 + 2)2 + (− 2 − 6)2= 36 + 64 = 100 = 10;BC =(1 + 2)2 + (2 − 6)2= 9 + 16 = 25 = 5Ответ: АВ = 5; АС = 10; ВС = 5.77№ 18.Докажите, что точки А, В, С в задаче 17 лежат на однойпрямой.
Какая из них лежит между двумя другими?АС = АВ + ВС,10 = 5 + 5.Так как сумма расстояний от точки В до точек А и С равнарасстоянию между этими точками, то точки А, В, и С лежат наодной прямой. Причем В лежит между А и С.Ответ: В.№ 19.Найдите на оси x точку, равноудаленную от точек (1; 2)и (2; 3).Задача решена в учебнике на стр. 103 п. 73.№ 20.Найдите точку, равноудаленную от осей координат и отточки (3; 6).Поскольку точка равноудалена от осей координат, то оналежит на биссектрисе 1-го и 3-го координатных углов. Тогда еекоординаты А (х; х). То есть она удалена от координатных осейна одинаковок расстояние.Значит, AD = AC = х. D (0; х), С (х; 0).Далее,АО= (3 − x) 2 − (6 − x) 2 = 9 − 6 x + x 2 + 36 − 12 x + x 2 == 2 x 2 − 18 x + 45 .
Поскольку АО=АС=АD, тоx 2 = 2 x 2 − 18 x + 45 ;x2 = 2х2- 18х + 45;2х2 – х2 – 18х + 45 = 0;x2 – 18х + 45 = 0.x1 = 15; x2 = 3.Ответ: (3; 3) или (15; 15).№ 21*.Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами вточках А (4; 1), В (0; 4), С (-3; 0), D (1; -3) являетсяквадратом.Докажем, что ABCD — квадрат.Вычислим длины сторон четырехугольника ABCD.AВ =78(4 − 0) 2 + (1 − 4) 2 = 16 + 9 = 25 = 5,ВС =(−3 − 0) 2 + (0 − 4) 2 = 9 + 16 = 25 = 5,CD =(1 + 3) 2 + (3 − 0) 2 = 16 + 9 = 25 = 5,AD =(1 − 4) 2 + (−3 − 1) 2 = 9 + 16 = 25 = 5.AВ = ВС = CD = AD = 5, значит, ABCD — ромб.Вычислим диагонали ромба АС и BD.АС =(−3 − 4) 2 + (0 − 1) 2 = 50 = 5 2BD =(1 − 0) 2 + (−3 − 4) 2 = 50 = 5 2 .АС = BD.Если диагонали параллелограмма (ромба) равны, то этотпараллелограмм является прямоугольником.
В свою очередьромб, являющийся прямоугольником, — это квадрат, значит,ABCD — квадрат.Что и требовалось доказать.№ 22.Докажите, что четыре точки (1; 0), (-1; 0), (0; 1), (0; -1)являются вершинами квадрата.Пусть А (-1; 0), В (0; 1), С (1; 0), D (0; -1) — вершинычетырехугольника.1) АС =BD =(0 − 0) 2 + (1 + 1) 2 = 4 = 2 , так что AC = BD2) AВ =ВС =(−1 − 1) 2 + (0 − 0) 2 = 4 = 2(−1 − 0) 2 + (0 − 1) 2 = 1 + 1 = 2 ,(0 − 1) 2 + (1 − 0) 2 = 279CD =(1 − 0) 2 + (0 + 1) 2 = 2 ,DA =(0 + 1) 2 + (−1 = 0) 2 = 2 , так что AB=BC=CD=DAСтороны и диагонали ABCD равны, значит, ABCD —квадрат.Что и требовалось доказать.№ 23.Какие из точек (1; 2), (3; 4), (-4; 3), (0; 5), (6; -1) лежат наокружности, заданной уравнением x2 + у2 = 25?Подставим координаты всех точек в уравнение окружности:1) (1; 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
