pogorelov-gdz-8-2002f (546198), страница 5
Текст из файла (страница 5)
PQ — средняялиния ∆АМВ, следовательно АР = РМ = х; BQ = QM = у. Вышемы доказали, что A1B1PQ — параллелограмм, значит, егодиагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть А1М =РМ = х и В1М=MQ=Y.ПолучаемBМ:МВ1 = 2у:у = 2:1;АМ:МA1 = 2х:х = 2:1;Чем доказано второе утверждение задачи.3) Проведем третью медиану СС1, которая пересекаетмедиану АА1 в некоторой точке и, согласно доказанному вовторой части задачи, эта точка должна делить медиану АА1 вотношении 2:1, считая от точки А.
Так как положение такойточки на отрезке определяется однозначно, то она совпадает сточкой М. Значит, СС1 проходит через точку М. То есть все тримедианы пересекаются в одной точке. Что и требовалосьдоказать.§ 7. Теорема Пифагора№ 1.Постройте угол, косинус которого равен: 1)34; 2) ;593) 0,5; 4) 0,8.Построим прямоугольный треугольник, у которогоотношение катета к гипотенузе равно заданному значениюкосинуса. А значит угол треугольника, прилежащий к этомукатету, является искомым углом.l) cos α =34; 2) cos α = ;5939458 40.8 ==10 53)cos α = 0,5; 4) cos α =0,5 =№ 2.12У прямоугольного треугольника заданы катеты а и в.Найдите гипотенузу, если:1) а = 3, b = 4; 2) a = 1, b = 1; 3) a = 5, b = 6.Если с — гипотенуза, а и b — катеты, то по теоремеПифагора:с2 = а2 + b2; с =1) с =a 2 + b 2 .
Далее:32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5;2) с = 12 + 12 = 2 ≈1,4;3) с =52 + 62 = 25 + 36 = 61 ≈ 7,8.Ответ: 1) 5; 2)№ 3.2 ≈ 1,4; 3)61 ≈ 7,8.У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с икатет а. Найдите второй катет, если: 1) с = 5, а = 3;2) с = 13, а = 5; 3)с = 6, а = 5.Если b – второй катет, то по теореме Пифагора:c 2 = a 2 + b 2 ,b 2 = c 2 − a 2 ,b = c 2 − a 2 . Далее:1) b = 52 − 32 = 25 − 9 = 16 = 4 ;2) b = 132 − 52 = 169 − 25 = 144 = 12;3) b = 62 − 52 = 36 − 25 = 11 ≈ 3,3 .Ответ: 1) 4; 2) 12; 3)4013 ≈ 3,3.№ 4.Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и 4м. Найдите третью сторону. (Два случая.)Данные стороны могут быть двумя катетами или однимкатетом и гипотенузой.a = 3м1) катеты, тогда гипотенуза, по теореме Пифагораb = 4 мс = a 2 + b 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 м.2) а = 3 м — катет, с = 4 м — гипотенуза, с > а.
Тогда второйкатет, по теореме Пифагора:b = c 2 − a 2 = 42 − 32 = 16 − 9 = 7 ≈ 2,6 м.Ответ: 5 м; или№ 5.7 ≈ 2,6 м.Могут ли стороны прямоугольного треугольника бытьпропорциональны числам 5, 6, 7?Обозначим стороны треугольника 5х, 6х, 7х, где х —некоторый коэффициент. Так как треугольник прямоугольный,то по теореме Пифагора (5 x )2 + (6 x )2 = (7 x )2 , то есть 25 + 36 = 49 ,но это неверно.Значит, стороны прямоугольного треугольника не могутбыть пропорциональны этим числам.Ответ: не могут.№ 6.Найдите сторону ромба, если его диагонали равны:1) 6 см и 8 см; 2) 16 дм и 30 дм; 3) 5 м и 12 м.Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересеченияделятся пополам. Значит ∆AOВ — прямоугольный и АО= 1 АС,2ВО=12BD.Значит,1) АО=3 см; ВО=4 см2) АО=8 дм; ВО=15 дм3) АО=2,5 м; ВО=6 мПо теореме ПифагораAB =AO 2 + BO 2 , то есть411) AB = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 cм.2) AB = 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 17 дм.3) AB = 2,52 + 62 = 6,25 + 36 = 42,25 = 6,5 мОтвет: 5 см; 17 дм; 6,5 м.№ 7.Стороны прямоугольника 60 см и 91 см.
Чему равнадиагональ?Диагональпрямоугольникаявляетсягипотенузойпрямоугольного треугольника с катетами, равными сторонампрямоугольника. Значит гипотенуза, по теореме Пифагора, равно:c = a 2 + b 2 = 602 + 912 = 3600 + 8281 = 11881 = 109 (см).Ответ: 109 см.№ 8.Диагональ квадрата а. Чему равна сторона квадрата?Обозначим сторону квадрата за х. Тогда по теоремеПифагора получим:а2 = х2 + х2; а2 = 2х2; x 2 =x=Ответ:№ 9.a2,2a2aa 2==.222a 2.2Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 мвырезать квадрат со стороной 1 м?Чтобы из круга диаметром 1,4 мможно было вырезать квадрат состороной 1 м, диагональ квадрата должнабыть не больше диаметра круга. Найдемдиагональ квадрата по формулеd = 12 + 12 = 2 .Так что d = 2 > 1,96 ≈ 1,4То есть диагональ квадрата больше диаметра круга, а значитквадрат вырезать нельзя.Ответ: нельзя.42№ 10.Найдите высоту равнобокой трапеции, у которойоснования 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м.Проведем высоты ВВ1 и СС1 .∆AВВ1 = ∆CC1D (по гипотенузе иострому углу).Значит АВ1 = DC1.ВС = B1C1 (так как ВСС1В1рямоугольник).12АВ1= (AD–В1С1)=1(11–5)=32м.∆AВВ1 — прямоугольный.
ПоэтомуВВ1 =Ответ:AB 2 − AB12 = 42 − 32 = 16 − 9 = 7 ≈ 2,6 м.7 м ≈ 2,6 м.№ 11.Найдите медиану равнобедренного треугольника соснованием а и боковой стороной b, проведенную коснованию.Задача решена в учебнике на стр. 86 п. 63.№ 12.Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие надповерхностью Земли на высоте 230 км, если расстояниемежду ними по прямой равно 2200 км? Радиус Землиравен 6370 км.Пусть А и В точки, в которых находятся космонавтыАО1 = О2В = 230 км.АВ = 2200 км.км.ЧтобыОО1=ОО2=R=6370космонавты, находящиеся в точках А и В,могли видеть друг друга, надо, чтобывысота ОС ∆АОВ была больше радиусаЗемли.∆АОВ — равнобедренный, поэтому ОС — высота, а значити медиана ∆АОВ, поэтому АС = СВ = 2200: 2 = 1100 км.Далее, АО=АО1+О1О=230+6370=6600 км.43OC = AO 2 − AC 2 = 66002 − 11002 == (6600 − 1100)(6600 + 1100) = 77 ⋅ 100 ⋅ 55 ⋅ 100 = 100 77 ⋅ 55 == 100 7 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 5 = 1100 35 ≈ 1100 ⋅ 6 ≈ 6600(км),— что больше чем R.Так что космонавты могут увидеть друг друга.Ответ: Могут.№ 13.В равностороннем треугольнике со стороной a найдитевысоту.Проведем высоту.
Она также будет являться и медианой, таккак треугольник является равнобедренным.Далее по теореме Пифагора:2ah = a2 − =2Ответ:№ 14.aa 33a 23=.=422a 3.2Даны отрезки a и b. Как построить отрезок: 1) a 2 + b 2 ;2)a 2 − b 2 , a > b?1) Даны два отрезка а и b, требуется построить отрезок2a + b 2 . Построим прямоугольный треугольник с катетами а иb. Его гипотенуза по теореме Пифагора равна a 2 + b 2 , а это иесть искомый отрезок.2) Необходимо построить прямоугольный треугольник поизвестным гипотенузе a и катету b. Второй катет — по теоремеПифагора равен№ 15*.a 2 − b 2 , то есть является искомым отрезком.Даны отрезки a и b.
Как построить отрезок x = ab ?Если мы построим отрезкиm=a+b2иn=a −b,2то,пользуясь предыдущей задачей, мы сможем построить отрезокm2 − n2 =44(a + b )2 − (a − b )244= ab = x— искомый отрезок.( a + b) 2 (a − b)2 a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + 2ab − b 2 4ab−=== ab.444422 a+b a −b − = ab 2 2 2 a+b a −b −2 2 2= abТо есть, если построить отрезки m =тоa+ba−b,n =,22ab = m 2 − n 2 .a+ba −b; n=,22на луче АС отложим АВ = а, ВС = b.Теперь построим отрезки m =a+b= m.2От точки В отложим на луче ВА отрезок BN1 = b, получимa−b= n.AN1 = а - b, разделив его пополам, получим AN =2АС = а + b, разделив его пополам, получим АМ =№ 16.Между двумя фабричными зданиями устроен покатыйжелоб для передачи материалов. Расстояние междузданиями равно 10 м, а концы желоба расположены навысоте 8 м и 4 м над землей.
Найдите длину желоба.45ПроведемВО⊥CD.Четырехугольник,ABOD—прямоугольник, значит, АВ = DO = 4 м; AD = ВО = 8 м.СО = CD – OD = 8м – 4 м = 4м. ∆ВОС — прямоугольный, потеореме Пифагора получим:ВС =BO 2 + CO 2 = 102 + 42 = 100 + 16 = 116 ≈ 10,8 м.Ответ: длина желоба 116 ≈ 10,8 м.№ 17.Докажите, что если треугольник имеет стороны а, b, с иa2 + b2 = с2, то у него угол, противолежащий стороне с,прямой.Задача доказана в учебнике на стр. 86 п. 63.№ 18.Чему равен угол треугольника со сторонами 5, 12, 13,противолежащий стороне 13?Стороны треугольника 5, 12, 13.Треугольник со сторонами 5, 12, 13 — прямоугольный, таккак 52 + 122 = 132 (см. задачу № 17).Значит сторона, равная 13, является гипотенузой, так как онабольше катетов и противолежащий ей угол равен 90°.№ 19.На стороне АВ треугольника АВС взята точка X.Докажите, что отрезок СХ меньше по крайней мереодной из сторон АС или ВС.Задача доказана в учебнике на стр.
87 п. 65.№ 20.Докажите, что расстояние между любыми двумя точками насторонах треугольника не больше большей из его сторон.Пусть в ∆АВС АС — большая сторона, К ∈АВ, М ∈ВС.Рассмотрим ∆ ВКС. Согласно результату задачи № 19,можно утверждать, что КМ < КВ или КМ < КС.Если КМ<КВ, то КВ<АВ, а значит и КМ<АВ, но так как АС— большая сторона, то АВ < АС, значит и КМ < АС.46Если КМ < КС, то согласно задаче № 19 для ∆АВС можноутверждать, что КС < ВС или КС < АС, но так как АС —большая сторона, то КС < АС, а значит, и КМ < АС. Так чтоКМ < АС в любом случае.Что и требовалось доказать.№ 21.Даны прямая и точка С на расстоянии h от этой прямой.Докажите, что из точки С можно провести две и толькодве наклонные длины l, если I > h.Проведем CD⊥AB, CD=h (по условию).Отложим от точки D на прямой отрезки АD и DB, равныеl 2 − h 2 .
Получим, что2AC = l 2 − h 2 + h 2 = l 2 − h 2 + h 2 = l 2 = lАналогично СВ = l (по теореме Пифагора). Третьейнаклонной не может быть по свойству наклонных. Что итребовалось доказать.№ 22*.Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружностина расстояние, меньшее радиуса, пересекает окружностьв двух точках.Пусть дана окружность с центром О и радиусом R и прямаяа, отстоящая от центра на расстояние h < R.Так как R > h, то из точки О можно провести две и толькодве наклонные длиной R (см.
задачу № 21 § 7). Обозначим этинаклонные ОС1 и ОС2. Так как ОС1 = OC2 = R, то точки С1 и С2лежат на окружности с центром О и радиусом R. А значит,прямая а имеет с окружностью две общие точки. В задаче№ 14* § 5 было доказано, что окружность и прямая не могутиметь более двух общих точек.47Значит, если расстояние от центра окружности до прямойменьше радиуса, то прямая пересекает окружность в двух итолько двух различных точках. Что и требовалось доказать.№ 23.Докажите, что любая хорда окружности не большедиаметра и равна диаметру только тогда, когда самаявляется диаметром.Задача решена в учебнике на стр. 88 п.
66.№ 24.Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой,если: 1) АВ = 5 м, ВС = 7 м. АС = 12 м; АВ = 10,7,ВС = 17.1, АС = 6,4.АВ + ВС=12=АС АС+АВ=6,4+10,7=17,1=ВСТак как расстояние между двумя из этих точек равно суммерасстояний от них до третьей точки, значит, эти точки лежат наодной прямой. Что и требовалось доказать.№ 25.Докажите, что любая сторона треугольника большеразности двух других его сторон.Пусть стороны треугольника а, b, с.В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двухдругих сторон (неравенство треугольника).а + b > с, тогда, а > с - b,а + с > b, тогда, с > b - а,b + с > a, тогда, b > а - с.Так что любая сторона больше разности двух его сторон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
