pogorelov-gdz-8-2002f (546198), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Точки А, В, С, D — вершиныискомого ромба.№ 40.Докажите, что если диагонали прямоугольникапересекаются под прямым углом, то он есть квадрат.Задача доказана в учебнике на стр. 73 п. 56.№ 41.В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждыйкатет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с нимобщий угол. Найдите периметр квадрата.АВ = АС = 2 м.∆B1BD и ∆C1CD — равнобедренные (доказательствоаналогично задаче № 31 § 6).
Значит=B1D(боковыестороныравнобедренныхВВ1треугольников).B1D = АВ1 (стороны квадрата).Тогда, АВ1 = В1В = B1D .Значит АВ=2АВ1 =2 м; АВ1 = 1 м. PAB1DC1 = 4АВ1 = 4 ·1 = 4м.21Ответ: 4 м.№ 42.Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложеныравные отрезки: АА1 = ВВ1 = СС1 = DD1. Докажите, чточетырехугольник A1B1C1D1 есть квадрат.Рассмотрим ∆AD1A1, ∆DC1D1, ∆CB1C1,∆ВA1В1.АА1 = DD1 = CC1 = BB1 (по условию).А значит и AD1 = DC1 = СВ1 = ВA1.∠А = ∠D = ∠С = ∠В = 90° (т.к. ABCD— квадрат). Тогда, ∆AD1A1 = ∆DC1D1 =∆СВ1С1 = ∆ВА1В1 (по двум катетам).Значит, A1D1 = D1C1 = C1B1 = B1A1, атакже ∠AD1A1 = ∠ВA1В1.∠AD1A1 + ∠AA1D1 = 90° (сумма острых угловпрямоугольного треугольника).
Значит, ∠ВA1В1 + ∠АА1D1 =90°. А так как∠AA1D1 + ∠D1A1B1 + ∠ВА1B1 = 180°, то∠D1A1B1 = 180° – (∠ВА1В1+∠АА1D1)=90о.Аналогично доказывается, что и остальные углыпрямые.Тогда,данныйчетырехугольникаА1В1С1D1четырехугольник A1B1C1D^ является квадратом. Что итребовалось доказать.№ 43.Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равнадиагонали другого квадрата. Найдите сторонупоследнего.Пусть в квадрате ABCD диагональ АС = 4 м. Диагоналиквадрата равны, в точке пересечения делятся пополам ивзаимно перпендикулярны, поэтому, ∆ВОС — равнобедренный22и прямоугольный. Достроив его до прямоугольника ВОСК,получим квадрат с диагональю, равной стороне данногоквадрата .
Тогда его сторонаОС =1АС = 2 м.2Ответ: 2м.№ 44.Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равнастороне другогоквадрата.Найдитедиагональпоследнего.Пусть в квадрате ABCD сторонаАВ = 1м. Продолжим сторону АD ина продолжении от точки D, отложивотрезок DO = AD, аналогичнопродолжим CD, отложив отрезок DK= CD.Получим четырехугольник АСОК,в котором диагонали АО и СК в точке пересечения делятсяпополам, а также равны и взаимно перпендикулярны, значит,АСОК — квадрат, диагонали которого АО = СК = 2AD = 2 · 1 м= 2 м.Ответ: 2 м.№ 45.В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждойсторонеквадратанаходитсяоднавершинапрямоугольника и стороны прямоугольника параллельныдиагоналям квадрата.
Найдите стороны прямоугольника,зная, что одна из них вдвое больше другой и чтодиагональ квадрата равна 12 м.∠ВOA = 90° (диагонали квадратапересекаются под прямым углом).∠ВOA = ∠A1O1A = 90° (каксоответственныеуглыдляпараллельных прямых BD и A1D, исекущей АС).АС — биссектриса, поэтому ∠А1АО1 == ∠O1AD1 =1∠А=45°.223Значит, ∠АА1О1 = ∠AD1O1 = 45°. ∆A1AD1 —равнобедренный; так как АО1 является высотой, биссектрисой,а значит и медианой.
Значит А1О1 = O1D1. ∆AO1D1 —равнобедренный,значит,АО1=O1D1.Такчто,A1O1=AO1=O1D1. Пусть отрезок А1О1=x м, тогда A1D1=2x м иА1В1=2A1D1=4 м.Далее, АС=АО1 + O1O2 + О2С=АО1 + A1В1 + О2С, x+4x+x=12;6х = 12 м; x = 2 м. Тогда A1D1 = 2х = 2·2 м = 4 м;А1B1 = 4x = 8 м.A1D1 = В1С1 = 4 м; А1B1 = D1C1 = 8 м.Ответ: 4 м; 8 м.№ 46.В равнобедренный прямоугольный треугольник вписанквадрат так, что две его вершины находятся нагипотенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторонуквадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.∆АВС — прямоугольный равнобедренный, тогда,∠AВС = ∠АСВ =1(180°-90о)=45о.2∆DKC — равнобедренный, так как∠DKC = 90°; ∠ACK = 45°, тогда, и ∠KDC = 45°.
Значит DK= КС. Аналогично и ∆BLE — равнобедренный и ВЕ = LE. LE ==KD=EK – стороны квадрата. Пусть ВЕ=х м. Тогда ЕК=КС=хм . ВС = ВЕ + ЕК + КС = Зх м = 3 м; x = 1 м. Откуда ЕК = 1 м.Ответ: 1 м.№ 47.24Из данной точки проведены к окружности две взаимноперпендикулярные касательные, радиус окружности 10см.
Найдите длины касательных (расстояние от даннойточки до точки касания).Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.Поэтому ∠А = ∠D = 90°; ∠В = 90° по условию, а значит, и ∠О= 90°. Четырехугольник ABDO — прямоугольник. АО = OD=10см (радиусы). Тогда BD=AO=10 см и АВ=OD=10 см (какпротивоположные стороны прямоугольника).Ответ: 10 см.№ 48.Разделите данный отрезок АВ на 3 равных части.Задача решена в учебнике на стр. 74 п. 57.№ 49.Разделите данный отрезок на указанное число равныхчастей: 1) 3; 2) 5; 3)6.См.
решение задачи № 48.1)n = 3,2) n = 5,3) n = 6.№ 50.Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдитестороны треугольника, вершинами которого являютсясередины сторон данного треугольника.Пусть точки А1, В1, С1 —середины сторон ∆AВC.25Тогда A1C1, A1В1, В1C1 — средние линии данноготреугольника АВС. Значит11A1C1 = ּ АС = ·12 см = 6 см;221111A1В1 = ּ АВ = ·8 см = 4 см; B1C1 = ּ ВС = ·10 см = 5 см.2222Ответ: 4 см; 5 см; 6 см.№ 51.Периметр треугольника равен 12 см, середины сторонсоединены отрезками.
Найдите периметр полученноготреугольника.Воспользуемся задачей № 50.Отрезки, соединяющие середины сторон треугольника,являются средними линиями и равны половине их длин . PABC =1111AB + BC + СА = 12 см; PA1B1C1 = AB + ВС +АС =22221(АВ+ВС + АС) = = ·12 см = 6 см.Ответ: 62см.№ 52.Средняялинияравнобедренноготреугольника,параллельная основанию, равна 3 см. Найдите сторонытреугольника, если его периметр равен 16 см.1A1C1║АС; А1С1 = AC=3 см; АС=6 см.2∆ABC— равнобедренный, значитАВ = ВС .
ТогдаPABC = АС + АВ + ВС = АС ++ 2АВ = 6 см + 2АВ = 16см.2АВ = 10 см; АВ = ВС = 5 см.Ответ: 6 см; 5 см; 5 см.№ 53.Как построить треугольник, если заданы середины егосторон?При построении воспользуемся свойством средней линиитреугольника.Соединим три точки, которые являются серединами сторонтреугольника. Получим треугольник. Через каждую вершину26данного треугольника проводим прямую, параллельнуюпротивоположной стороне. Точки пересечения таких прямых иобразуют искомый треугольник.№54.Докажите, что вершины треугольника равноудалены отпрямой, проходящей через середины двух его сторон.Проведем AD ⊥ DK; ВО ⊥ DK; СК ⊥ DK (где DK –продолжение А1С1).∆ ADA1, ∆A1OВ, ∆ВОС1 и ∆С1КС — прямоугольные.Рассмотрим ∆ ADA1 и ∆ ВОА1:AA1 = A1В (так как А1 – середина АВ).
∠DA1A = ∠ВА1О(вертикальные углы). Значит ∆ADA1 = ∆BOA1 (по гипотенузе иострому углу). Поэтому AD=ВО. Аналогично доказывается, что∆ ВОС1 = ∆ СКС1 и ВО = СК. Значит AD = ВО = СК. А значит,вершины А, В и С равноудалены от прямой DK, проходящейчерез середины сторон АВ и ВС. Что и требовалось доказать.№ 55.Докажите, что середины сторон четырехугольникаявляются вершинами параллелограмма.Задача доказана в учебнике на стр. 74 п.
58.№ 56.Найдите стороны параллелограмма из предыдущейзадачи, если известно, что диагонали четырехугольникаравны 10 м и 12 м.Используем решение задачи № 55 (см. рис. 134 на стр. 91учебника).EF — средняя линия ∆ АВС.1212Значит EF= AC = 10м = 5м , а HG=EF – противолежащаясторона, то есть HG=5 мEH — средняя линия ∆ABD.2711BD =·12 м = 6 , а FG=EH –22противолежащая сторона, то есть EH = FG = 6 м.Ответ: 5 м; 6 м.Значит EH =№ 57.У четырехугольника диагонали равны a и b.
Найдитепериметр четырехугольника, вершинами которогоявляются середины сторон данногочетырехугольника.В двух предыдущих задачах былодоказано,чтосторонапараллелограмма равна половинедиагонали четырехугольника, которойона параллельна.Значит, четырехугольник A1B1C1D1 — параллелограмм; со1212сторонами A1B1= a и B1C1= b.1 1PA1B1C1D1 = 2( A1 B1 + B1C1 )2 = 2 a + b = a + b2 2Ответ: a + b.№ 58.Докажите, что середины сторон прямоугольникаявляются вершинами ромба. И наоборот, серединысторон ромба являются вершинами прямоугольника.1) Четырехугольник ABCD— прямоугольник, Е, F, К и H—середины его сторон.Четырехугольник EFKH —параллелограмм (см. решениезадачи № 55).∆ EBF = ∆ KCF (так какЕВ=СК и ВF=FC).
Значит EF = FK, где EF и FK - стороныпараллелограмма. Значит, EFKH — ромб.2) Пусть четырехугольникABCD является ромбом и Е, F, К,H — середины его сторон.Четырехугольник EFKH —параллелограмм (см. задачу №55).28Его стороны параллельны диагоналям ромба (как средниелинии),аониперпендикулярны,значит,углычетырехугольника EFKH — прямые. Значит, четырехугольникEFKH — прямоугольник.Что и требовалось доказать.№ 59.Боковая сторона трапеции разделена на три равныечасти, и из точек деления проведены к другой сторонеотрезки параллельные основаниям. Найдите длины этихотрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.B1C1 — средняя линиятрапеции A1BCD1. Пусть В1C1 =у м. A1D1 — средняя линиятрапеции AB1C1D.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
