makarytchev-gdz-7-1-1289-2003 (542427), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Разложим число 1001 на множители:1001 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13. Отсюда заключаем, что число abcabc кратно 7; 11;13.№1245.Представим решение в виде таблицы.БочкаСначалаПервое изменениеВторое изменение10%10%V+⋅ 0,9V = 0 ,99VV−V = 0 ,9VПерваяV100%100%10%10%V−⋅ 1,1V = 0 ,99VV+V = 1,1VВтораяV%100100%Ответ: одинаково.№1246.Пусть a ⎯ длина, b ⎯ ширина, a1 ⎯ новая длина, b1 ⎯ новая ширина, S ⎯площадь, S1 ⎯ новая площадь.20% + 100%10% + 100%S = ab; a1 == 1,2a; b1 == 1,1b;100%100%S1 = a1b1 = 1,2a ⋅ 1,1b = 1,32ab = 1,32S.Значит, площадь увеличилась на 32%.178№1247.Пусть в первом ящике x орехов, во втором ящике y орехов, в третьем ящикеz орехов.y⎧⎪ x = 1,1 ;⎪⎧⎪1,1x = y;y⎪;⎨z =⎨1,3 z = y;,31⎪⎩⎪ x − z = 80.⎪ x − y = 80.⎪⎩yy−= 80 ⎮⋅ 1,1 ⋅ 1,3, 1,3y – 1,1y = 114,4; 0,2y = 114,1; y = 572.1,1 1,3572= 500 орехов, вЗначит, во втором ящике 572 ореха, в первом ящике1,1третьем ящике: 440 орехов.Ответ: 520; 572; 440 орехов.№1248.⎧⎪a = 1,8b;⎨c = 1,4b; 1,4b – 0,8b = 72; 0,6b = 72; b = 120.⎪⎩c − a = 72.Значит a = 0,8⋅120 = 96; c = 1,4⋅120 = 168.Ответ: 96; 120; 168.№1249.a⎧⎪b = 0 ,75 ;⎧⎪a = 0,75b; ⎪⎪a;⎨a = 0, 4c; ⎨c =,40⎩⎪c − b = 42.
⎪c − b = 42.⎪⎪⎩aa−= 42 ⎪⋅0,4⋅0,75; 0,75a – 0,4a = 12,6; 0,35a = 12,6; a = 36.0, 4 0,7536= 48.Значит b =0 ,75Ответ: 36; 48.№1250.a−d= c. Если a, b, c, d ⎯ нечетное, то a = 2n + 1, b = 2n + 1, c = 2m + 1, db= 2p + 1, где n, n, m, p ⎯ натуральные числа либо ноль.2n + 1 − (2 p + 1)2(n − p )= 2m + 1;= 2m + 1.2k + 12k + 12(n – p) ⎯ четное число, а при делении четного числа на нечетное должнополучитьля четное число.
Значит, нечетных чисел a, b, c, d не существует.179№1251.Пусть ab = 10a + b наше число. Тогда10a + b = 4(a + b); 6a = 3b; 2a = b.Т.к. необходимо одновременно 0 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9, a,b – натуральные,то: a = 0, b = 0 ⎯ не подходит, т.к. 0 ⎯ не двузначное число;a = 1; b = 2; ab = 12; a = 2; b = 4; ab = 24; a = 3; b = 6; ab = 36;a = 4; b = 8; ab = 48. Ответ: 12; 24; 36; 48.№1252.7263111K1231 = 111111111 ⋅ 10 + 111111111 ⋅ 10 + … + 111111111 =81 раз= 111111111(1072 +1063 + … + 1).Число 111111111 делится на 9, т.к. сумма его цифр кратна 9; число в скобK1 кратно 9 ⋅ 9 = 81.ках также делится на 9 по той же причине. Значит, 11112381 раз№1253.Пусть наше простое число a, частное b, остаток c.
a – c = 30b.Т.к. 0<c<30, то составное число c может быть 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,18, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 28.c не может быть четным, т.к. тогда бы a – c было бы нечетным. Тогда остаются возможными: 9, 15, 21, 25, 27. Все эти числа кроме 25 можно представить в виде 3n, где n ⎯ некоторое натуральное число.Пусть c = 3n. a – 3n = 30b;a = 3(10b + 1).Значит, a не простое число, а это противоречит условию.Пусть c = 25.
a – 25 = 30b;a = 5(6b + 5).Аналогично получаем, что a не простое число. Т.к. существуют простыечисла больше 30, то c может быть только простым числом либо единицей.№1254.Пусть ab ⎯ наше число. Тогда 1ab1 = 23ab;1000 = 100a + 10b + 1 = 23(10a + b); 1001 = 13(10a + b); 77 = 10a + b.Т.к. 0 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9 , a, b ⎯ натуральные, то a = 7, b = 7. Ответ: 77.№1255.Пусть ab ⎯ наше число.1) Пусть зачеркнули цифру a .
10a + b = 31b; a = 3b. Т.к. 0 ≤ a ≤ 9 ,0 ≤ b ≤ 9 , a, b ⎯ натуральные, то b = 1; a = 3; b = 2; a = 6; b = 3; a = 9.2) Пусть зачеркнули цифру b . 10a + b = 31a; b = 21a.Т.к. 0 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9 , a, b ⎯ натуральные, то таких a и b не существует.Ответ: зачеркнули первую цифру в числах: 31, 62, 93.№1256.Пусть наше число 8ab . Тогда 800 + 10a + b + 18 = 100a + 10b + 8;810 = 9(10a + b); 90 = 10a + b. Т.к. 0 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9 , a, b ⎯ натуральные, то a = 9, b = 0.Ответ: 890.180№1257.а) (x – 20)(y + 3) = 0;x = 2; y = – 3.yO2x−3б) x2 + xy = 0,x(y + x) = 0,x = 0; y = – x.yO№1258.а) y + ⎮y⎮ = x;xпри y ≥ 0 ⎮y⎮ = y; y = 0,5x;при y < 0 ⎮y⎮ = –y; x = 0.yOxб) y = x⎮y⎮; при y < 0 ⎮y⎮ = y; x = 1;при y < 0 ⎮y⎮ = –y; x = –1.
при y = 0 x = ⎯ любое.yOx181№1259.а) y = ⎮x⎮ – 3;б) y = 4 – ⎮x⎮;⎧ x − 3, при x ≥ 0y=⎨⎩− x − 3, при x < 0.⎧4 − x, при x ≥ 0y=⎨⎩4 + x, при x < 0.yy4OxO−3x№1260.Поиск этого числа будем проводить следующим образом: выпишем квадраты всех четных чисел от 2 до 20: 4; 16; 36; 64; 100; 144; 196; 256; 324; 400.После разделим эти числа на 2: 2; 8; 18; 32; 50; 72; 98; 128; 162; 200. Полученные числа умножим на 3 (если среди результатов найдется куб натурального числа, то соответсвующее число из второго дейсвия и будет решением): 6; 24; 54; 96; 150; 216; 294; 384; 486; 600.
Число 216 есть 62, т.е.искомое число 72.Ответ: 72.№1261.Число 96 заканчивается цифрой 6, а, значит, 967 заканчивается цифрой 6.Число 22 заканчивается цифрой 2, а, значит, 255 заканчивается цифрой 2.Число 48 заканчивается цифрой 8 = 23, а, значит, последняя цифра числа 486совпадает с 86 = 218 = (29)2 = 5122. Т.к число 512 заканчивается на 2, то 5122заканчивается на 4.
6 – 2 – 450, а, значит, число 967 – 225 – 486 заканчивается цифрой 0, т.е. делится на 10.№1262.yAMBDOxС№1263.1010 + 1 1011 + 1?; ⏐(1011 + 1)(1012 + 1);1011 + 1 1012 + 1(1010 + 1)(1012 + 1) ? (1011 + 1)2; 1022 + 1010 + 1012 + 1 ? 1022 + 2⋅1011 + 1;1010 + 1012 ? 2⋅1011; 1010 + 10⋅1011 ? 2⋅1011;1010 + 11011 + 11010>0, 10⋅1011>2⋅1011, значит, 11> 12.10 + 110 + 1182№1264.2x2 + 2y2 = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2 = (x + y)2 + (x – y)2.№1265.5a2 – 6ab + 5b2 = 5a2 – 10ab + 5b2 + 4ab = 5(a – b)2 + 4ab.а) Рассмотрим выражение 5a2 – 6ab + 5b2.
Пусть ab<0 (т.е. a и b разных знаков). Тогда 5a2>0, –6ab>0, 5b2>0, значит, 5a2 – 6ab + 5b2>0.б) Рассмотрим выражение 5(a – b)2 + 4ab. Пусть ab>0 (т.е. a и b одного знака). Тогда 5(a – b)2>0, 4ab>0, значит, 5(a – b)2 + 4ab>0.Учитывая, что два рассмотренных равенства тождественно равны, получаем 5a2 – 6ab + 5b2>0, если a ≠ 0 или b ≠ 0.№1266.(x –3)(x–5)+2 = x2 – 3x –5x + 25 + 2 = x2 – 8x + 16 +11 = (x – 4)2 + 11.Т.к. ( x − 4) 2 ≥ 0 , 11> 0, то (x –42) + 11> 0.№1267.а) x8 + x4 –2 = (x8 –1) +(x4 –1) = (x4 –1)(x4 + 1) + (x4 – 1) = (x4 –1)(x4 + 1 + 1) == (x4 +2)(x4 – 1).б) a5 – a2 – a – 1 = (a5 –a) – (a2 +1) = a(a4 –1) – (a2 + 1) = a(a2 + 1)(a2 – 1) –– (a2 +1) = (a2 + 1)(a3 –a –1).в) n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 – 4n2 = (n2 +2) – (2n)2 = (n2 +2n +2)( n2 –2n +2).г) n4 + n2 + 1 = n4 +2n2 + 1 – n2 = (n2 + 1)2 – n2 = (n2 + n +1)(n2 –n +1).№1268.p – 1 = (p – 1)(p +1).Простое число p всегда нечетное, если p>3.
Отсюда следует, что(p – 1) и (p + 1) последовательные четные числа, причем одно из них делится на 4. Значит, (p – 1)(p +1) кратно 2 ⋅ 4 = 8. Рассмотрим 4 числа (p – 1), p и(p + 1). Одно из них всегда делится на 3, но p ⎯ простое и p>3, значит либо(p – 1), либо (p + 1) кратно 3. Значит, (p – 1)(p +1) кратно 8 ⋅ 3 = 24. Отсюдаполучаем, что p2 – 1 делится на 24.№1269.Пусть наши числа a – 2; a – 1; a; a + 1; a ≥ 3 .(a – 2)2 + (a – 1)2 + a2 + (a + 1)2 + (a + 2)2 = a2 – 4a + 4 + a2 –2a + 1 + a2 + a2 ++ 2a + 1 + a2 + 4a + 4 = 5a2 + 10.1) Пусть a ⎯ четное, тогда a2 = 4n, где n ⎯ некоторое натуральное число.5a2 + 10 = 20n +10 = 10(2n +1) = 5(4n + 2) = 2(10n +5).Мы представили 5a2 + 10 в виде произведения двух натуральных чисел.
Влюбом из трех случаев одно из них четное, а другое нечетное. Значит, еслиa ⎯ четное число, то 5a2 + 10 не есть квадрат некоторого натуральногочисла.2) Пусть a ⎯ нечетное, тогда a2 = 2n + 1, где n ⎯ некоторое натуральноечисло. 5a2 + 10 = 10k + 15 = 5(2k + 3).Мы представили 5a2 + 10 в виде произведения двух натуральных чисел.Значит 2n + 3 = 5, n = 1. 5a2 + 10 = 25; 5a2 = 15; a2 = 3.Натурального числа, квадрат которого равен трем, не существует, следовательно, если a ⎯ нечетное число, то 5a2 + 10 не есть квадрат некоторогонатурального числа.1833) Если a ⎯ натуральное число, не четное, не нечетное одновременно, тосумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не квадрат натурального числа.№1270.Пусть a ⎯ число не кратное трем. a2 – 1 = (a – 1)( a + 1).Т.к.
a не кратно 3, то либо (a – 1), либо (a+1) кратно 3, значит a2 – 1 кратнотрем.№1271.(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) == (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = 264 – 1№1272.x2 – y2 = 30.Рассмотрим x ≥ 0 , y ≥ 0 из – за того, что x2 = ( – x)2, y2 = ( – y)2.1) Пусть x = 2n, y = 2k. x2 – y2 = 4(n2 – k2) = 30; 2(n2 – k2) = 15.Четное число равно нечетному, чего быть не может.2) Пусть x = 2n + 1, y = 2k + 1.x2 – y2 = (2n + 1)2 – (2k + 1)2 = 4(n2 + n – k2 – k) = 30; 2(n2 + n – k2 – k) = 15.Четное число равно нечетному, чего быть не может.3) Пусть x = 2n + 1, y = 2k.x2 – y2 = (2n + 1)2 – 4k2 = 4n2 + 4n + 1 – 4k2 = 4(n2 + n – k2) + 1 = 30.4(n2 + n – k2) = 29.Четное число равно нечетному, чего быть не может.4) Пусть x = 2n, y = 2k + 1;x2 – y2 = 4n2 – (2k + 1)2 = 4n2 – 4k2 – 4k – 1 = 4(n2 – k2 – k) = 31.Четное число равно нечетному, чего быть не может.Значит, уравнение x2 – y2 = 30 не имеет целых корней.№1273.a ⋅ 193 + b ⋅ 192 + с ⋅ 19 + d = 1; a ⋅ 623 + b ⋅ 622 + с ⋅ 62 + d = 2;Пусть a, b, с, d ⎯ целые числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
