1005159_1 (540905)
Текст из файла
8.13. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 13sin 6ϕ , U ( r ; 0 ) = U r ; 5π6) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sinπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) sin0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π13, n = 5;π nϕ136nϕϕϕϕϕ13sin6sind=sin6sind=∫05ππ ∫050, n ≠ 5.6ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 13r 6 ⋅ sin 6ϕ .113.13.
Решить смешанную задачу.U tt = 25U xx ; U ( x, 0 ) = 13sin 5π x, U t ( x, 0 ) = 0;U ( 0, t ) = 0, U x (1,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим1,5(π + 2π n ) x dx =2An =13sin5xsinπ1,5 ∫03π + 2π n 1,5π + 2π n ) x(525π = 13, n = 7;=sin5xcosdx=π3=3 ∫03⇒ n = 7 0, n ≠ 7.Bn = 0ПолучилиU ( x; t ) = 13cos 25π t sin 5π x .28.11.
Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 11cos5ϕ , U ϕ ( r ; 0 ) = 0, U r ; π2) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cos(π + 2π n )ϕ , λ2αn=π + 2π n2αи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos(π + 2π n )ϕ dϕ .2α0Находим1Cn =π ⋅ 1n2ππ + 2π n )ϕ(11dϕ = ∫ cos5ϕ cos (1 + 2n )ϕ dϕ =∫ 11cos5ϕ cosπ2π02⋅211, n = 2;= {1 + 2n = 5 ⇒ n = 2} = 0, n ≠ 2.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 11r 5 ⋅ cos5ϕ .3π013.11.
Решить смешанную задачу.U tt = 16U xx ; U ( x, 0 ) = 0, U t ( x, 0 ) = 36π sin 9π x;U ( 0, t ) = 0, U x ( 0,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходимAn = 0 .0,5(π + 2π n ) x dx =4Bn =36sin9xsinππ4 (π + 2π n ) ∫010,59π = π + 2π n 1, n = 4;36πππ=sin9xsin+2nxdx=()=∫⇒n=4n1+2()0 0, n ≠ 4.ПолучилиU ( x; t ) = sin 36π t sin 9π x .48.22. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 22cos12ϕ , U ϕ ( r ; 0 ) = U ϕ r ; π3) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.
Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ′ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cosπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π 22, n = 4;π nϕ2222cos12cosd=cos12sin3nd=ϕϕϕϕϕ∫0ππ ∫00, n ≠ 4.3ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 22r12 ⋅ cos12ϕ .513.22. Решить смешанную задачу.U tt = 49U xx ; U ( x, 0 ) = 22cos 7π x, U t ( x, 0 ) = 0;U x ( 0, t ) = 0, U (1,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим1,5(π + 2π n ) x dx =2An =22cos7xcosπ1,5 ∫03π + 2π n 1,5π + 2π n ) x(447π = 22, n = 10;=cos7xcosdx=π3=1,5 ∫03⇒ n = 10 0, n ≠ 10.Bn = 0 .ПолучилиU ( x; t ) = 22cos 49π t cos 7π x .68.12. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 12sin 3ϕ , U ( r ; 0 ) = 0, U ϕ r ; 3π2) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к.
в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sin(π + 2π n )ϕ , λ2αn=π + 2π n2αи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos(π + 2π n )ϕ dϕ .2α0Находим1Cn =π ⋅ 1n2π∫2ππ + 2π n )ϕ((1 + 2n )ϕ dϕ =1212sin 3ϕ sindϕ =sin 3ϕ cos02 ⋅ 3π212, n = 4;= {1 + 2n = 9 ⇒ n = 4} = 0, n ≠ 4.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 12r 3 ⋅ sin 3ϕ .7π∫0313.12. Решить смешанную задачу.U tt = 16U xx ; U ( x, 0 ) = 0, U t ( x, 0 ) = 28π cos7π x;U x ( 0, t ) = 0, U ( 0,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λn2l=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходимAn = 04Bn =4π (1 + 2n )28=1 + 2n0,5∫ 28π cos7π x cos0(π + 2π n ) x dx =17π = π + 2π n 1, n = 3;πππcos7xcos+2nxdx=()=∫0⇒n=3 0, n ≠ 3.0,5ПолучилиU ( x; t ) = sin 28π t cos 7π x .88.10. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 10cos 4ϕ , U ϕ ( r ; 0 ) = U ϕ r ; 5π4) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к.
в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ′ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cosπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π10, n = 5;π nϕ104nϕ10cos4cosd=cos4sind=ϕϕϕϕ∫05π5π ∫00, n ≠ 5.4ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 10r 4 ⋅ cos 4ϕ .913.10. Решить смешанную задачу.U tt = 16U xx ; U ( x, 0 ) = 10cos 7π x, U t ( x, 0 ) = 0;U x ( 0, t ) = 0, U ( 4,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим4,5(π + 2π n ) x dx =2An =10cos7xcosπ4,5 ∫0920=4,54,5∫0π + 2π n ) x(7π =cos 7π x cosdx =9Bn = 0 .ПолучилиU ( x; t ) = 10cos 28π t cos 7π x .10π + 2π n 9⇒ n = 31 10, n = 31;=0, n ≠ 31.8.2.
Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:U (1; ϕ ) = 2cos 2ϕ , Uϕ ( r ; 0 ) = Uϕ ( r ; π ) = 0 .Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ′ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cosπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π2, n = 2;π nϕ42cos2cos=cos2sin=dndϕϕϕϕϕ∫0ππ ∫00, n ≠ 2.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 2r 2 ⋅ cos 2ϕ .1113.2.
Решить смешанную задачу.U tt = 4U xx ; U ( x, 0 ) = 2cos 7π x, U t ( x, 0 ) = 0;U x ( 0, t ) = 0, U ( 0,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим2An =0,50,5∫ 2cos 7π x cos0(π + 2π n ) x dx =10,57π = π + 2π n 2, n = 3;4πππ=x+nxdx=cos7cos2()=∫0,5 0⇒ n = 3 0, n ≠ 3.Bn = 0 .ПолучилиU ( x; t ) = 2cos14π t cos7π x .128.15.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
