1005159_1 (540905), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 15cos ϕ , U ϕ ( r ; 0 ) = 0, U r ; 3π2) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cos(π + 2π n )ϕ , λ2αnπ + 2π n2α=и1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos(π + 2π n )ϕ dϕ .2α0Находим1Cn =π ⋅ 1n2π∫2ππ + 2π n )ϕ((1 + 2n )ϕ dϕ =1515cos ϕ cosdϕ =cos ϕ cos02 ⋅ 3π215, n = 1;= {1 + 2n = 3 ⇒ n = 1} = 0, n ≠ 1.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 15r ⋅ cos ϕ .13π∫0313.15.

Решить смешанную задачу.U tt = 25U xx ; U ( x, 0 ) = 0, U t ( x, 0 ) = 25π sin 5π x;U ( 0, t ) = 0, U x ( 2,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходимAn = 0 .4Bn =5 (π + 2π n )20=(1 + 2n )2,5∫2,5∫ 25π sin 5π x sin0(π + 2π n ) x dx =5π + 2π n ) x(5π =sin 5π x sindx =05ПолучилиU ( x; t ) = sin 25π t sin 5π x .14π + 2π n 5⇒ n = 12 1, n = 12;=0, n ≠ 12.8.17. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 17sin 9ϕ , U ( r ; 0 ) = U r ; π3) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.

Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sinπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) sin0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π17, n = 3;π nϕ17ϕϕϕϕϕ17sin9sind=sin9sin3nd=∫0ππ ∫00, n ≠ 3.3ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 17r 9 ⋅ sin 9ϕ .1513.17. Решить смешанную задачу.U tt = 36U xx ; U ( x, 0 ) = 17sin 9π x, U t ( x, 0 ) = 0;U ( 0, t ) = 0, U x ( 3,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим3,5(π + 2π n ) x dx =2An =17sin9xsinπ3,5 ∫07π + 2π n 3,5π + 2π n ) x(349π = 17, n = 31;=sin9xsindx=π7=3,5 ∫070, n ≠ 31.⇒ n = 31Bn = 0ПолучилиU ( x; t ) = 17 cos54π t sin 9π x .168.3. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 3cos15ϕ , U ϕ ( r ; 0 ) = 0, U r ; π6) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.

Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cos(π + 2π n )ϕ , λ2αn=π + 2π n2αи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos(π + 2π n )ϕ dϕ .2α0Находим1Cn =π ⋅ 1n2ππ + 2π n )ϕ(3dϕ = ∫ cos15ϕ sin 3 (1 + 2n )ϕ dϕ =∫ 3cos15ϕ cosπ2π02⋅63, n = 2;= {15 = 3 (1 + 2n ) ⇒ n = 2} = 0, n ≠ 2.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 3r15 ⋅ cos15ϕ .17π013.3. Решить смешанную задачу.U tt = 4U xx ; U ( x, 0 ) = 0, U t ( x, 0 ) = 18π sin 9π x;U ( 0, t ) = 0, U x (1,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходимAn = 0 .1,5(π + 2π n ) x dx =4ππBn =18sin9xsin2 (π + 2π n ) ∫03π + 2π n 1,5π + 2π n ) x(369π = 1, n = 13;=sin9xsindx=π3=3(1 + 2n ) ∫00, n ≠ 13.⇒ n = 13ПолучилиU ( x; t ) = sin18π t sin 9π x .188.4.

Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 4sin14ϕ , U ( r ; 0 ) = 0, U ϕ r ; π4) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sin(π + 2π n )ϕ , λ2αn=π + 2π n2αи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos(π + 2π n )ϕ dϕ .2α0Находим1Cn =π ⋅ 1n2ππ + 2π n )ϕ(4dϕ = ∫ sin14ϕ cos 2 (1 + 2n )ϕ dϕ =∫ 4sin14ϕ sinπ2π02⋅4 4, n = 3;= {2 (1 + 2n ) = 14 ⇒ n = 3} = 0, n ≠ 3.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 4r14 ⋅ sin14ϕ .19π013.4.

Решить смешанную задачу.U tt = 4U xx ; U ( x, 0 ) = 0, U t ( x, 0 ) = 14π cos 7π x;U x ( 0, t ) = 0, U (1,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходимAn = 01,5(π + 2π n ) x dx =4ππBn =14cos7xcos2π (1 + 2n ) ∫03π + 2π n 1,5π + 2π n ) x(287π = 1, n = 10;=cos7xcosdx=π3=1 + 2n ∫030, n ≠ 10.⇒ n = 10ПолучилиU ( x; t ) = sin14π t cos7π x .208.8.

Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 8sin 7ϕ , U ( r ; 0 ) = 0, U ϕ r ; π2) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.

Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sin(π + 2π n )ϕ , λ2αn=π + 2π n2αи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos(π + 2π n )ϕ dϕ .2α0Находим1Cn =π ⋅ 1n2π∫2ππ + 2π n )ϕ(88sin 7ϕ sindϕ =sin 7ϕ cos02 ⋅π28, n = 3;= {1 + 2n = 7 ⇒ n = 3} = 0, n ≠ 3.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 8r 7 ⋅ sin 7ϕ .21π∫0(1 + 2n )ϕ dϕ =13.8. Решить смешанную задачу.U tt = 9U xx ; U ( x, 0 ) = 0, U t ( x, 0 ) = 9π cos3π x;U x ( 0, t ) = 0, U ( 3,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходимAn = 03,5(π + 2π n ) x dx =4ππBn =9cos3xcos3π (1 + 2n ) ∫07π + 2π n 3,5π + 2π n ) x(123π = 1, n = 10;=cos3xcosdx=π7=1 + 2n ∫070, n ≠ 10.⇒ n = 10ПолучилиU ( x; t ) = sin 9π t cos3π x .22.

Характеристики

Список файлов домашнего задания