1005160 (540910)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3.5. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.16U xx + 16U xy + 3U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 16, a12 = 8, a22 = 3 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 82 − 16 ⋅ 3 = 16 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае16dy − 12dx = 0,16dy − 4dx = 0.4dy − 3dx = 0,.4dy−dx=0.Делаем замену ξ = 4 y − 3 x, η = 4 y − x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −3U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 4U ξ + 4Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 9U ξξ + 6U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −12U ξξ − 16U ξη − 4Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 16U ξξ + 32U ξη + 16Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:144U ξξ + 96U ξη + 16Uηη − 192U ξξ − 256U ξη − 64Uηη ++ 48U ξξ + 96U ξη + 48Uηη = 0.−64U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 4 y − 3 x ) + C2 ( 4 y − x ) ,где C1 ( 4 y − 3 x ) , C2 ( 4 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.13.24.

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.27U xx + 12U xy + U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 27, a12 = 6, a22 = 1 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 62 − 27 ⋅ 1 = 9 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае 27 dy − 9dx = 0, 27 dy − 3dx = 0.3dy − dx = 0,.9dy−dx=0.Делаем замену ξ = 3 y − x, η = 9 y − x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 3U ξ + 9Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = U ξξ + 2U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −3U ξξ − 12U ξη − 9Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 9U ξξ + 54U ξη + 81Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:27U ξξ + 54U ξη + 27Uηη − 36U ξξ − 144U ξη − 108Uηη ++ 9U ξξ + 54U ξη + 81Uηη = 0.−36U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 3 y − x ) + C2 ( 9 y − x ) ,где C1 ( 3 y − x ) , C2 ( 9 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.28.5.

Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 5sin 3ϕ , U ( r ; 0 ) = U r ; 2π3) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sinπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) sin0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π5, n = 2;π nϕ53nϕϕϕϕϕ5sin3sind=sin3sind=∫02ππ ∫020, n ≠ 2.3ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 5r 3 ⋅ sin 3ϕ .313.5. Решить смешанную задачу.U tt = 9U xx ; U ( x, 0 ) = 5sin 5π x, U t ( x, 0 ) = 0;U ( 0, t ) = 0, U x ( 2,5; t ) = 0..Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим2,5(π + 2π n ) x dx =2An =5sin5xsinπ2,5 ∫05π + 2π n 2,5π + 2π n ) x(105π = 5, n = 12;=sin5xcosdx=π5=2,5 ∫05⇒ n = 12 0, n ≠ 12.Bn = 0ПолучилиU ( x; t ) = 5cos15π t sin 5π x .48.24. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 24sin10ϕ , U ( r ; 0 ) = 0, U ϕ r ; π4) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.

Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sin(π + 2π n )ϕ , λ2αn=π + 2π n2αи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos(π + 2π n )ϕ dϕ .2α0Находим1Cn =π ⋅ 1n2ππ + 2π n )ϕ(24dϕ =∫ 24sin10ϕ sin∫ sin10ϕ cos 2 (1 + 2n )ϕ dϕ =π2π02⋅424, n = 2;= {2 (1 + 2n ) = 10 ⇒ n = 2} = 0, n ≠ 2.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 24r10 ⋅ sin10ϕ .5π013.24. Решить смешанную задачу.U tt = 49U xx ; U ( x, 0 ) = 0, U t ( x, 0 ) = 49π cos7π x;U x ( 0, t ) = 0, U ( 2,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходимAn = 04Bn =7π (1 + 2n )28=1 + 2n2,5∫2,5∫ 49π cos 7π x cos0(π + 2π n ) x dx =5π + 2π n ) x(7π =cos 7π x cosdx =05ПолучилиU ( x; t ) = sin 49π t cos 7π x .6π + 2π n 5⇒ n = 17 1, n = 17;=0, n ≠ 17..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания