1005159_2 (540907)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3.13. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.U xx + 3U xy + 2U yy = 0 .Решение3Имеем a11 = 1, a12 = , a22 = 2 . Т.к.2213a − a11 ⋅ a22 =   − 1 ⋅ 2 = > 0 ,42212то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случаеdy − dx = 0,.dy − 2dx = 0.Делаем замену ξ = y − x, η = y − 2 x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −U ξ − 2Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = U ξξ + 4U ξη + 4Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −U ξξ − 3U ξη − 2Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 2U ξη + Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:U ξξ + 4U ξη + 4Uηη − 3U ξξ − 9U ξη − 6Uηη + 2U ξξ + 4U ξη + 2Uηη = 0.−U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − x ) + C2 ( y − 2 x ) ,где C1 ( y − x ) , C2 ( y − 2 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.13.11.

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.64U xx + 32U xy + 3U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 64, a12 = 16, a22 = 3 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 162 − 64 ⋅ 3 = 64 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае64dy − 24dx = 0,64dy − 8dx = 0.8dy − 3dx = 0,.8dy−dx=0.Делаем замену ξ = 8 y − 3 x, η = 8 y − x .

ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −3U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 8U ξ + 8Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 9U ξξ + 6U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −24U ξξ − 32U ξη − 8Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 64U ξξ + 128U ξη + 64Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:576U ξξ + 384U ξη + 64Uηη − 768U ξξ − 1024U ξη − 256Uηη ++ 192U ξξ + 384U ξη + 192Uηη = 0.−256U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 8 y − 3 x ) + C2 ( 8 y − x ) ,где C1 ( 8 y − 3 x ) , C2 ( 8 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.23.22.

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.3U xx + 28U xy + 49U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 3, a12 = 14, a22 = 49 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 142 − 3 ⋅ 49 = 49 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае3dy − 7 dx = 0,3dy − 21dx = 0.3dy − 7 dx = 0,.dy−7dx=0.Делаем замену ξ = 3 y − 7 x, η = y − 7 x .

ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −7U ξ − 7Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 3U ξ + Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 49U ξξ + 49U ξη + 49Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −21U ξξ − 28U ξη − 7Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 9U ξξ + 6U ξη + Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:147U ξξ + 147U ξη + 147Uηη − 588U ξξ − 784U ξη − 196Uηη ++ 441U ξξ + 294U ξη + 49Uηη = 0.−343U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 3 y − 7 x ) + C2 ( y − 7 x ) ,где C1 ( 3 y − 7 x ) , C2 ( y − 7 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.33.12.

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.3U xx + 20U xy + 25U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 3, a12 = 10, a22 = 25 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 102 − 3 ⋅ 25 = 25 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае3dy − 15dx = 0,3dy − 5dx = 0.dy − 5dx = 0,.3dy−5dx=0.Делаем замену ξ = y − 5 x, η = 3 y − 5 x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −5U ξ − 5Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + 3Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 25U ξξ + 50U ξη + 25Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −5U ξξ − 20U ξη − 15Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 6U ξη + 9Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:75U ξξ + 150U ξη + 75Uηη − 100U ξξ − 400U ξη − 300Uηη ++ 25U ξξ + 150U ξη + 225Uηη = 0.−100U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − 5 x ) + C2 ( 3 y − 5 x ) ,где C1 ( y − 5 x ) , C2 ( 3 y − 5 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.43.10.

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.49U xx + 28U xy + 3U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 49, a12 = 14, a22 = 3 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 142 − 49 ⋅ 3 = 49 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае 49dy − 21dx = 0, 49dy − 7 dx = 0.7 dy − 3dx = 0,.7dy−dx=0.Делаем замену ξ = 7 y − 3 x, η = 7 y − x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −3U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 7U ξ + 7Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 9U ξξ + 6U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −21U ξξ − 28U ξη − 7Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 49U ξξ + 98U ξη + 49Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:441U ξξ + 294U ξη + 49Uηη − 588U ξξ − 784U ξη − 196Uηη ++ 147U ξξ + 294U ξη + 147Uηη = 0.−196U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 7 y − 3 x ) + C2 ( 7 y − x ) ,где C1 ( 7 y − 3 x ) , C2 ( 7 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.53.2.

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.3U xx + 8U xy + 4U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 3, a12 = 4, a22 = 4 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 42 − 3 ⋅ 4 = 4 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае3dy − 6dx = 0,3dy − 2dx = 0. dy − 2dx = 0,.3dy−2dx=0.Делаем замену ξ = y − 2 x, η = 3 y − 2 x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −2U ξ − 2Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + 3Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 4U ξξ + 8U ξη + 4Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −2U ξξ − 8U ξη − 6Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 6U ξη + 9Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:12U ξξ + 24U ξη + 12Uηη − 16U ξξ − 64U ξη − 48Uηη ++ 4U ξξ + 24U ξη + 36Uηη = 0.−16U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − 2 x ) + C2 ( 3 y − 2 x ) ,где C1 ( y − 2 x ) , C2 ( 3 y − 2 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.63.15.

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.U xx + 12U xy + 27U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 1, a12 = 6, a22 = 27 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 62 − 1 ⋅ 27 = 9 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае dy − 9dx = 0,.dy−3dx=0.Делаем замену ξ = y − 9 x, η = y − 3 x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −9U ξ − 3Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 81U ξξ + 54U ξη + 9Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −9U ξξ − 12U ξη − 3Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 2U ξη + Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:81U ξξ + 54U ξη + 9Uηη − 108U ξξ − 144U ξη − 36Uηη ++ 27U ξξ + 54U ξη + 27Uηη = 0.−36U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − 9 x ) + C2 ( y − 3 x ) ,где C1 ( y − 9 x ) , C2 ( y − 3 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.73.17.

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.U xx + 20U xy + 75U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 1, a12 = 10, a22 = 75 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 102 − 1 ⋅ 75 = 25 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае dy − 15dx = 0,.dy−5dx=0.Делаем замену ξ = y − 15 x, η = y − 5 x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −15U ξ − 5Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 225U ξξ + 150U ξη + 25Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −15U ξξ − 20U ξη − 5Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 2U ξη + Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:225U ξξ + 150U ξη + 25Uηη − 300U ξξ − 400U ξη − 100Uηη ++ 75U ξξ + 150U ξη + 75Uηη = 0.−100U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − 15 x ) + C2 ( y − 5 x ) ,где C1 ( y − 15 x ) , C2 ( y − 5 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.83.3.

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.3U xx + 4U xy + U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 3, a12 = 2, a22 = 1 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 22 − 3 ⋅ 1 = 1 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае3dy − 3dx = 0,3dy − dx = 0. dy − dx = 0,.3dy−dx=0.Делаем замену ξ = y − x, η = 3 y − x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + 3Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = U ξξ + 2U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −U ξξ − 4U ξη − 3Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 6U ξη + 9Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:3U ξξ + 6U ξη + 3Uηη − 4U ξξ − 16U ξη − 12Uηη ++ U ξξ + 6U ξη + 9Uηη = 0.−4U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − x ) + C2 ( 3 y − x ) ,где C1 ( y − x ) , C2 ( 3 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.93.4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания