Modelirovanie_otvety_na_ekzamen (538755), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Решая это уравнение, получим формулу (6).

Если Г есть период колебания, то из соображений симметрии очевидно, что период Г не зависит от знака φ₀, т. е.

f₂(φ₀)= f₂(-φ₀).

Следовательно, функция f₂ является четной функцией аргумента φ₀. Предполагая, что при малых φ₀ функция f₂(φ₀) регулярна, можно написать

f₂(φ₀) = c₁ + c₂φ₀² + с₃φ₀⁴ +… (7)

Для малых колебаний члены со степенями φ₀² и выше можно от­бросить, и для периода Г мы получаем формулу

. (8)

Решение уравнения (1) показывает, что с₁ = 2π. Таким об­разом, мы видим, что для малых колебаний маятника с помощью теории размерности можно получить формулу периода колебания маятника с точностью до постоянного множителя.

Формулы (5) и (6) сохранят свою справедливость и в том случае, если вместо уравнения (1) мы возьмем уравнение

,

где f(φ) есть любая функция угла φ. Вообще справедливость фор­мул (5) и (6) вытекает из единственного условия, которое со­стоит в том, что состояние движения определяется параметрами

t, l, g, m, φ₀.

Для установления этой системы параметров нам послужили урав­нения движения, но ее можно указать и не прибегая к уравне­ниям движения. В самом деле, для характеристики маятника надо указать l и m. Далее необходимо указать g, так как сущность явления определяется силой тяжести. Наконец, необходимо ука­зать φ₀ и t, так как конкретное движение и состояние движения определяются углом крайнего отклонения φ₀ и рассматриваемым моментом времени t.

1. Условия существования модели.

Для существования модели необходимо наличие 2-х условий:

1)Проще, экономичнее, безопаснее.

2)Должно быть известно соотношение для пересчета результатов эксперимента с модели на оригинал

Условия существования модели:

- адекватность;

- обеспеченность модели ресурсами (материальных, энергетических, информационных);

- согласованность с окружающей культурной средой.

1. Зачем проводится проверка адекватности модели?

Адекватность – однозначность реакции на те или иные возмущения. При оценке адекватности мы убеждаемся в том, что модель с достаточной степенью точности отражает оригинал с интересующей нас стороны и в интересующем диапазоне изменения факторов.

1. Что представляет собой математическое моделирование?

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Пример математических моделей

Задачи о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀ = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Пренебрегая размерами снаряда, будем считать его материальной точкой. Введем систему координат xOy, совместив ее начало O с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось x направим горизонтально, а ось y — вертикально (рис. 1).

Рис. 1

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t — время, g = 10 м/с² — ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x₁ = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x², S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

1. Что представляет собой физическое моделирование

Физическое моделирование — метод экспериментального изучения различных физических явлений, основанный на их физическом подобии.

Метод применяется при следующих условиях:

Исчерпывающе точного математического описания явления на данном уровне развития науки не существует, или такое описание слишком громоздко и требует для расчётов большого объёма исходных данных, получение которых затруднительно.

Воспроизведение исследуемого физического явления в целях эксперимента в реальных масштабах невозможно, нежелательно, или слишком дорогостояще (например, цунами).

Метод состоит в создании лабораторной физической модели явления в уменьшенных масштабах, и проведении экспериментов на этой модели. Выводы и данные, полученные в этих экспериментах, распространяются затем на явление в реальных масштабах.

Метод может дать надёжные результаты, лишь в случае соблюдения физического подобия реального явления и модели. Подобие достигается за счёт равенства для модели и реального явления значений критериев подобия — безразмерных чисел, зависящих от физических (в том числе геометрических) параметров, характеризующих явление. Экспериментальные данные, полученные методом физического моделирования распространяются на реальное явление также с учётом критериев подобия.

В широком смысле, любой лабораторный физический эксперимент является моделированием, поскольку в эксперименте наблюдается конкретный случай явления в частных условиях, а требуется получить общие закономерности для всего класса подобных явлений в широком диапазоне условий. Искусство экспериментатора заключается в достижении физического подобия между явлением, наблюдаемым в лабораторных условиях и всем классом изучаемых явлений.

Некоторые примеры применения метода физического моделирования:

Исследование течений газов и обтекания летательных аппаратов, автомобилей, и т. п. в аэродинамических трубах.

Гидродинамические исследования на уменьшенных моделях кораблей, гидротехнических сооружений и т. п.

Исследование сейсмоустойчивости зданий и сооружений на этапе проектирования.

Изучение устойчивости сложных конструкций, под воздействием сложных силовых нагрузок.

Измерение тепловых потоков и рассеивания тепла в устройствах и системах, работающих в условиях больших тепловых нагрузок.

Изучение стихийных явлений и их последствий.

1. Что такое подобие?

Подобие – это условие, при котором возможет пересчёт результатов эксперимента с модели на оригинал.

Физ. явления, процессы или системы подобны, если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одной системы, пропорциональны соответств. величинам другой системы. Коэфф. пропорциональности для каждой из величин наз. коэфф. подобия. Физ. подобие явл. обобщением элементарного и наглядного понятия геом. подобия. При геом. подобии существует пропорциональность (подобие) сходственных геом. элементов подобных фигур или тел. При физ. подобии поля соответств. физ. параметров двух систем подобны в пространстве и времени. Напр., при кинематич. подобии существует подобие полей скорости для двух рассматриваемых движений; при динамич. подобии реализуется подобие систем действующих сил или силовых полей разл. физ. природы (силы тяжести, силы давления, силы вязкости и т. п.); механич. подобие (напр., подобие двух потоков жидкости или газа, подобие двух упругих систем и т. п.) предполагает наличие геом., кинематич. и динамич. подобий; при подобии тепловых процессов подобны соответств. поля темп-р и тепловых потоков; при электродинамич. подобии — поля токов, нагрузок, мощностей, поля эл.-магн. сил. Все перечисленные виды подобия — частные случаи физ. подобия.

1. Что представляет собой математическое описание и чем оно отличается от модели?

Наиболее общим и распространенным методом исследования СУ является математическое

моделирование, под которым понимают составление математической модели СК ( математического описания) и изучение на этой модели процессов, происходящих в моделируемой системе.

1. С какой целью используется разложение модели в ряд Тейлора в окрестностях заданной точки?

Списал из лекции(фиг знает,подходт или нет):

Так как сама модель f(x,u,v) нам неизвестна, но в предположении противного для допустимого диапазона изменения факторов, мы можем разложить эту модель в ряд Тэйлора, при этом определив количество слагаемых ряда от требуемой точности.

Смысл ряда Тейлора – прогнозирование

Некоторый гладкий сигнал s(t) может быть представлен бесконечным рядом Тейлора

s(t) = s(t₁) + s'(t₁) t/1! + s''(t₁) t²/2! + s'''(t₁) t³/3! + ...

Существо ряда Тейлора состоит в том, что сигнал сложной формы представляется взвешенной суммой простых стандартных степенных сигналов вида t^k. Если в какой-то момент времени t₁известны (измерены или вычислены) значение сигнала s(t₁), его скорость s'(t₁), ускорение s''(t₁) и более высокие производные по времени, то значения сигнала для последующих моментов времени t, определяются как сумма исходного значения сигнала и его приращений, обусловленных скоростью, ускорением и т.д. Например, функция sin(t) на некотором начальном интервале, не превышающем t_max = 2, с некоторой точностью представляется таким рядом:

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)