1612043397-c52bbc70cbf2ebd9c97866aa38fbbc50 (536818)
Текст из файла
Глава 2ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ2.1. Комплексное интегрированиеНа плоскости комплексного переменного z рассмотрим гладкую кривую Жордана Γ с началом в точке a и концом в точке b и заданнуюна ней непрерывную функцию f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Обозначим черезzk = xk + iyk , k = 1, 2, . . . , n, следующие друг за другом в положительном направлении фиксированные точки на кривой Γ, отличные от ееконцов, и составим суммуnXS=f (ζk )∆zk ,(2.1)k=0_где ζk = ξk + iηk — некоторая точка дуги zk z k+1 кривой Γ, ∆zk == zk+1 −zk = ∆xk +i∆yk , z0 = a, zn+1 = b.Представляя сумму (2.1) в видеnXS = S1 + iS2 =[ u(ξk , ηk )∆xk − v(ξk , ηk )∆yk ] +k=0+inX[ v(ξk , ηk )∆xk + u(ξk , ηk )∆yk ]k=0и устремляя n к ∞ при условии, что max |∆zk | → 0 при n → ∞,0≤k≤nв пределе получим криволинейные интегралы второго родаZZlim S1 = u dx − v dy,lim S2 = v dx + u dy,n→∞n→∞ΓΓсуществование которых в принятых предположениях относительно Γ иf (z) доказывается в курсе математического анализа.
Следовательно, впринятых предположениях существует предел суммы (2.1), который называется и н т е г р а л о м о т ф у н к ц и и f (z) п о к р и в о й Γ:ZZZlim S = f (z) dz = u dx − v dy + i v dx + u dy.(2.2)n→∞ΓΓΓ51Напомним, что упомянутый предел не зависит от выбора точек zk и ζk .Заметим, что если кривая Γ задана уравнением z = z(t), α ≤ t ≤ β,Rто под f (z) dz можно также понимать интегралΓZβf [ z(t) ] z 0 (t) dt =ααnPZβZβ<e{f [ z(t) ] z 0 (t)} dt + i =m{f [ z(t) ] z 0 (t)} dt.αИз (2.1) очевидно, что наряду с (2.2) существует и предел суммыRf (ζk )(zk −zk+1 ), который обозначают символомf (z) dz, где знакk=0Γ−«−» при Γ означает, что интегрирование по Γ происходит в отрицательном направлении.
Ясно также, чтоZZf (z) dz = − f (z) dz.(2.3)Γ−ΓИз определения интеграла (2.2) непосредственно вытекают следующие его свойства:1. Если fk (z), k = 1, 2, . . . , m, — определенные на Γ непрерывныефункции и ck — комплексные постоянные, тоZZ hXmmiXck fk (z) dz.(2.4)ck fk (z) dz =Γk =1k =1Γ2. Если гладкая кривая Γ состоит из m кусков Γ1 , Γ2 , . . . , Γm , т. е.mΓ = ∪ Γk , тоk =1ZΓf (z) dz =m ZXk =1 Γf (z) dz,(2.5)kпричем предполагается, что интегрирование по каждой дуге Γk происходит в направлении, порожденном направлением интегрирования на Γ.Если кусочно-гладкая кривая Γ состоит из m гладких кривых Γk ,то интеграл по кусочно-гладкой кривой и определяется равенством (2.5).Заметим, что если граница многосвязной области D состоит из замкнутых кривых Жордана, то положительным направлением на границе ∂D = Γ этой области считается направление, оставляющее область52слева.
Поэтому в случае, когда совокупность Γ попарно не пересекающихся замкнутых кусочно-гладких кривых Γ0 , Γ1 , . . . , Γm является границей (m+1)- связной области, причем Γ1 , Γ2 , . . . , Γm лежат внутри Γ0 ,mможно написать ∂D = Γ = Γ0 ∪ ∪ Γk− , и следовательно, для непрерывk=1ной на Γ функции f (z) в силу (2.3) получимZf (z) dz =ΓZf (z) dz −Γ0m ZXk =1 Γf (z) dz.(2.6)k3. Наряду с непрерывной функцией f (z) интегрируема и функция| f (z) |, причем в силу неравенства треугольника и определения длиныкривой имеет место неравенство ZZ(2.7) f (z) dz ≤ | f (z) | · | dz | ≤ max | f (z) | L,z ∈ΓΓΓгде L — длина кривой Γ.4.
Если заданная на Γ последовательность {fn (z)}, n = 1, 2, . . .,непрерывных функций равномерно сходится на Γ к f (z), то функцияf (z) интегрируема (ибо непрерывна) иZZlimfn (z) dz = f (z) dz.(2.8)n→∞ΓΓВ самом деле, в силу равномерной сходимости последовательности{fn (z)} на Γ для любого ε > 0 существует такое число N = N(ε) > 0,εчто | fn (z) −f (z) | < для всех z ∈ Γ и n > N. Поэтому на основанииL(2.4) и (2.7) имеемZZ Z f(z)dz−f(z)dz=[f(z)−f(z)]dz ≤nnΓ≤ZΓΓ| fn (z) −f (z) | · | dz | < ε при n > N,Γчто и доказывает справедливость равенства (2.8).53В частности, если функциональный ряд f (z) =∞Pk =1fk (z) непрерыв-ных на Γ функций fk (z) равномерно сходится на Γ, то это означает,что последовательность его частичных сумм Sn (z) равномерно сходитсяна Γ. Следовательно, в силу (2.8) и (2.4) имеемZ XZ X∞n[fk (z) ] dz = lim[fk (z) ] dz =Γn→∞k =1= limn→∞n ZXΓfk (z) dz =k =1 Γk =1∞ ZXfk (z) dz,k =1 Γт.
е. получаем возможность почленного интегрирования равномерно сходящегося на Γ ряда непрерывных на этой кривой функций fk (z).2.2. Теорема КошиЛемма Гурса. Если функция f (z) непрерывна в области D и γ —лежащая в D кусочно-гладкая кривая Жордана, то для любого ε > 0можно указать лежащую в D ломаную γP с вершинами на γ такую,чтоZZ(2.9) f (z) dz − f (z) dz < ε.γγPДоказательство. Пусть G, G⊂ D, — область, содержащая кривую γ,а l — длина γ. Тогда ρ = ρ (γ, ∂G) =inf|z − ζ | > 0, посколькуz ∈γ , ζ∈∂Gγ ∩ ∂G = ∅. Из равномерной непрерывности f (z) в G следует, что длялюбого ε > 0 найдется такое δ = δ(ε) > 0, что для любых точек z 0 , z 00 изG таких, что | z 0 −z 00 | < δ, выполняется неравенство| f (z 0 ) − f (z 00 ) | <ε.2l(2.10)Разобьем кривую γ точками z1 , z2 , .
. . , zn , следующими друг за другом в положительном направлении и отличными от ее начала a и кон_ца b, на дуги γk = zk z k+1 , k = 0, 1, . . . , n, z0 = a, zn +1 = b, длина54каждой из которых σ(zk , zk+1 ) < min(δ, ρ), и обозначим через γP ломаную с вершинами вточках zk (см. Рис. 6).DОчевидно, ломаная γPGγznлежит в области G.aЗаметим, что дляbγPRzkинтеграла dz вдольz1γk zΓk+1кривой Γ с началомв точке a и концом∂Gв точке b непосредcтвенно из определения получимРис. 6ZnX∆zk = lim (zn+1 − z0 ) = b − a.(2.11)dz = limn→∞Γk=0n→∞Учитывая свойства 1 – 3 интеграла и то, что в силу выбора точек zkдля любого z ∈ γk k = 0,1, .
. . , n, имеем | z −zk | < δ, из (2.11) и (2.10)заключаем, что имеет место неравенствоnn Z XZ εX f (zk )∆zk = [ f (z) − f (zk ) ] dz < . f (z) dz −2k= 0 γk= 0γkАналогично убеждаемся также, чтоn εZXf (zk )∆zk < , f (z) dz −2k= 0γPоткуда следует (2.9).Теорема Коши. Если функция f (z) аналитична в односвязной области D и γ — любая замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана,лежащая в D, тоZf (z) dz = 0.(2.12)γ55Доказательство. Поскольку для кривой Γ с началом в точке a иконцом в точке b имеемZnnXXz dz = limzk ∆zk = limzk+1 ∆zk ,n→∞ΓтоZΓn→∞k= 0k= 0nz dz =X1(zk + zk+1 )∆zk =lim2 n→∞k= 0nX 1 112z2 − z2 ==limlim zn+1− z02 = (b2 − a2 ).kk+12 n→∞2 n→∞2(2.13)k= 0В силу (2.11) и (2.13) для функций f (z) = 1 и f (z) = z теорема Кошиверна, т.
е.ZZdz = z dz = 0.(2.14)γγДля произвольной функции f (z) сначала рассмотрим случай, когда γявляется границей γ∆ треугольника ∆ ⊂ D.RПусть f (z) dz = M. Соединив середины сторон треугольникаγ∆∆ прямолинейными отрезками, разобьем его на четыре конгруэнтныхтреугольника ∆(k) , k = 1, 2, 3, 4 (см. Рис. 7), и поскольку в силу (2.3) и(2.7) имеем4 Z4 Z X XZ f (z) dz ≤M = f (z) dz = f (z) dz ,k=1 γk=1γγ∆(k)(k)∆∆то среди треугольников ∆(k) существует по крайней мере один, обозначим его через ∆1 , для которого Z Mf (z) dz ≥.4γ∆156Указанным выше способом разобьем треугольник ∆1 на четыре иобозначим через ∆2 любой из них, для которого M Zf (z) dz ≥ 2 .4γ∆2Продолжая этот процесс бесконечно, получим последовательностьтреугольников ∆k ,k = 1, 2, .
. ., со следую@@@Dщими свойствами :I= ∆(3) @@γ1) ∆k+1 ⊂ ∆k ;@ ∆@@2) периметр тре@@@@ ∆(4) >I=I@(1)R@угольника ∆k равен@@= ∆(2) @∆@l@@,гдеl—периметр2kтреугольника ∆;3) для каждого ∆kимеет место неравенРис. 7ство Z M(2.15)f (z) dz ≥ k .4γ∆kПересечение всех треугольников последовательности {∆k } состоитиз единственной точки z0 ∈ D.
В силу аналитичности функции f (z) вточке z0 для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что C(δ, z0 ) ⊂ D и f (z) − f (z )ε00− f (z0 ) < 2 ,z−z0lz ∈ C(δ, z0 ).(2.16)Начиная с некоторого номера k0 , все треугольники ∆k лежат в кругеC(δ, z0 ) и, следовательно, в силу (2.4), (2.14) и (2.16) можно написать Z Z [ f (z) − f (z0 ) − (z−z0 )f 0 (z0 ) ] dz <f (z) dz = γγ∆k∆k<εl2Zγεε l2=.| z − z0 |·| d z| <4kl 2 4k∆k57(2.17)Сравнивая (2.15) и (2.17), получим неравенство M < ε, откуда в силупроизвольности ε имеем M = 0, т. е.Zf (z) dz = 0.(2.18)γ∆Обозначим теперь через γP границу произвольного многоугольникаP ⊂ D и разобьем P на конечное число треугольников ∆(k) . Из очевидZного равенстваX Zf (z) dz =f (z) dzk γγP(k)∆в силу (2.18) заключаем, чтоZf (z) dz = 0.(2.19)γPВ случае, когда γ — любая замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана, на основании леммы Гурса в силу (2.9) и (2.19) получим неравенRство f (z) dz < ε, из которого ввиду произвольности ε следует (2.12),γт.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
