1612043397-c52bbc70cbf2ebd9c97866aa38fbbc50 (536818), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть | ∆z | < d. Очевидно, для всех точек t ∈ Γ будем иметь | t − z | ≥ 2d, | t − z − ∆z | > d,в силу чегоZ F (z+∆z) − F (z)f (t) dt 1−=2πi∆z(t−z)2ΓZ LMf (t) dt|∆z| =| ∆z | ,<2π(t−z)2 (t−z−∆z)8πd3Γгде L — длина кривой Γ, а M = max | f (t) |. Из этого неравенства слеt∈Γдует аналитичность функции F (z) и справедливость формулы (2.39).Формулу (2.40) легко доказать с помощью индукции.Заметим также, что если положить еще ρ = max | t |, то для z, | z | > ρ,t∈ΓLMполучим,| F (z) | ≤2π (| z |−ρ)откуда получим следующее свойство интеграла типа Коши:F (∞) = lim F (z) = 0.z→∞Установленная выше аналитичность интеграла типа Коши позволяетсделать важное заключение: аналитическая в области D функция f (z)имеет производные любого порядка в каждой точке z ∈ D.В самом деле, пусть z0 — произвольная точка области D, числоδ > 0 такое, что круг C(δ, z0 ) ⊂ D, а γ — окружность | t − z0 | = δ.Тогда в силу интегральной формулы Коши имеем1f (z) =2πiZγf (t) dtt−z66, z ∈ C(δ, z0 ) .Так как этот интеграл является интегралом типа Коши, то представленная им функция имеет производные всех порядков в круге C(δ, z0 ), а всилу произвольности точки z0 — всюду в области D.Заметим, что если кривая Γ замкнута и f (t) представляет собойзначения некоторой аналитической внутри Γ и непрерывной вплоть доΓ функции, то интеграл типа Коши совпадает с интегралом Коши.2.4.
Теорема Морера. Понятие неопределенногоинтегралаТеорема Морера. Если функция f (z) непрерывна в области D и длялюбой замкнутой кусочно-гладкой жордановой кривой γ, лежащей вD,Zf (t) dt = 0 ,(2.41)γто функция f (z) аналитична в D.Доказательство. Пусть σ — кусочно-гладкая кривая Жордана, соединяющая точки z0 ∈ D и z ∈ D и лежащая в области D.
УсловиеR(2.41) означает, что f (t) dt н е з а в и с и т о т п у т и и н т е г р и р о в аσн и я, а только от его начала и конца и, следовательно, при фиксированном z0 ∈ D можно написатьZZz(2.42)f (t) dt = f (t) dt = F (z).σz0Вследствие (2.41) для z и z + ∆z из области D в силу (2.42), (2.3) и(2.5) получим также равенствоzZ+∆zzZ+∆zZzF (z+∆z) − F (z) =f (t) dt − f (t) dt =f (t) dt .z0z0zВ силу непрерывности f (z) для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, чтоC(δ, z) ⊂ D и | f (t) − f (z) | < ε для всех t ∈ C(δ, z). Поэтому, предполагая67| ∆z | < δ, из очевидного равенстваF (z+∆z) − F (z)∆z1− f (z) =∆zzZ+∆z[ f (t) − f (z) ] dt ,zгде интегрирование происходит вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки z и z + ∆z и лежащего в области D, будем иметь F (z+∆z) − F (z)− f (z) < ε ,∆zоткуда следует аналитичность функции F (z) и равенствоF 0 (z) = f (z),z ∈ D.(2.43)Поскольку по доказанному выше F (z) имеет производные всех порядков, то и функция f (z) = F 0 (z) имеет производную в любой точке области D, т.
е. f (z) аналитична в D.Совокупность аналитических в области D функций Φ(z), обладающих тем свойством, чтоΦ0 (z) = f (z),(2.44)где f (z) — аналитическая в области D функция, называется н е о п р е д е л е н н ы м и н т е г р а л о м о т ф у н к ц и и f (z).Полагая Φ(z) − F (z) = U(x, y) + iV (x, y), в силу (2.43) и (2.44) будемиметьΦ0 (z) − F 0 (z) = [ U(x, y) + iV (x, y) ] 0 = Ux + iVx = Vy − iUy = 0,откуда получаем, что Ux = Uy = Vx = Vy = 0 всюду в D. Следовательно,Φ(z) − F (z) = C = const в области D.
Таким образом, в силу (2.42) имеемравенствоZzΦ(z) = f (t) dt + C,z0откуда, ввиду того, что C = Φ(z0 ), следует ф о р м у л а Л е й б н и ц аZzz0f (t) dt = Φ(z) − Φ(z0 ).682.5. Ряд Тейлора1. Теорема Тейлора. Выше было показано, что сумма S(z) степенного ряда является аналитической функцией в его круге сходимости.Имеет место и обратное утверждение.Теорема Тейлора. Аналитическая в области D функция f (z) вокрестности каждой точки z0 ∈ D единственным образом представима в виде степенного ряда∞Xck (z−z0 )k ,(2.45)f (z) =k=0радиус сходимости которого не меньше, чем расстояние ρ от точки z0до границы области D.Доказательство. В круге C(δ, z0 ), 0 < δ < ρ, с границей γ в силуинтегральной формулы Коши имеемZ1f (z) =2πiγf (t) dt1=2πit−zZf (t) dtz−z0 .γ (t−z0 ) 1 − t−z0(2.46)Ввиду того, что для каждой фиксированной точки z ∈ C(δ, z0 ) и t ∈ γимеет место соотношение z−z | z−z |00= q(z) < 1 ,=t−z0δf (t)а функцияограничена на окружости γ, по признаку Вейерштрасt−z0са ряд∞ Xf (t)z−z0 k f (t)=z−z0 t−z0 t−z0(t−z0 ) 1 −k=0t−z0сходится равномерно на γ и, следовательно, равенство (2.46) можно переписать в виде1f (z) =2πi∞X1=2πik=0Z X∞ z−z0 k f (t) dtγZγk=0t−z0f (t) dt(t−z0)k+1t−z0k(z−z0 ) ==∞Xk=069ck (z−z0 )k ,где1ck =2πiZf (t) dt,(t−z0 )k+1γ(2.47)или, принимая во внимание формулу (2.40),ck =f (k) (z0 )k!, k = 0, 1, .
. . .(2.48)Так как коэффициенты ck в силу (2.47) и обобщенной теоремы Кошиf (z)для функцийодни и те же для любого δ, 0 < δ < ρ, то радиус(z−z0 )k+1сходимости ряда (2.45) не меньше ρ.Ряд (2.45), коэффициенты которого определяются для аналитической функции f (z) по формулам (2.47) или (2.48), называется р я д о мТ е й л о р а (разложением Тейлора) функции f (z).Из (2.48) следует, что разложение аналитической функции f (z) в рядТейлора единственно.2. Неравенства Коши и теорема Лиувилля. Пусть аналитическая в круге C(R, z0 ) функция f (z) ограничена, т. е. существует такоечисло M > 0, что| f (z) | < M, z ∈ C(R, z0 ).(2.49)Тогда по теореме Тейлора функция f (z) в круге C(R, z0 ) представляется рядом (2.45) с коэффициентами ck , определенными по формулам(2.47), в которых в качестве γ взята окружность | t−z0 | = δ, 0 < δ < R.Из (2.47) в силу (2.49) следует, что| ck | ≤M2πδ2π δ k+1=Mδk,откуда в пределе при δ → R получаем н е р а в е н с т в а К о ш и :| ck | ≤MRk,k = 0, 1, .
. . .(2.50)Непосредственным следствием неравенств Коши является следующееутверждение.Теорема Лиувилля. Если функция f (z) аналитична на всей комплексной плоскости и | f (z) | < M < ∞, z ∈ C, то f (z) = const.70В самом деле, в силу условия разложение функции f (z) в ряд Тейлора по степеням z сходится на всей комплексной плоскости, в частности, влюбом круге C(R, 0).
Устремляя R к ∞ в неравенствах (2.50), получимck = 0, k =1, 2, . . ., и, стало быть, f (z) = 0 = const.3.Внутренняя теорема единственности аналитической функции. Под внутренней теоремой единственности аналитической функциипонимается следующее утверждение.Теорема.Если аналитические в области D функции f (z) и ϕ(z)равны между собой на множестве E ∈ D, имеющем по крайней мереодну предельную точку z0 ∈ D, то f (z) = ϕ(z) всюду в D.Доказательство. Действительно, в силу условия существует последовательность {zn } точек zn ∈ E, сходящаяся к точке z0 и такая, чтоf (zn ) = ϕ(zn ), n = 1, 2, . .
. .(2.51)По теореме Тейлора в круге C(δ, z0 ) ⊂ D функции f (z) и ϕ(z) разлагаются в степенные рядыf (z) =∞Xkck (z−z0 ) ,ϕ(z) =k=0∞Xc0 (z−z0 )k .k(2.52)k=0Начиная с некоторого номера N, все точки zn лежат в круге C(δ, z0 ).Переходя в равенствах (2.49), в которых функции f и ϕ замененырядами (2.50) при z = zn , n ≥ N, к пределу при n → ∞, получим c0 = c00 .Следовательно, для всех точек zn , n ≥ N, имеем также∞Xk =1ck (zn −z0 )k−1=∞Xk =1c0 (zn −z0 )k−1 ,kоткуда в пределе при n → ∞ получим c1 = c01 .
Продолжая этот процесс,приходим к заключению, что ck = c0 для всех номеров k и, стало быть,kf (z) = ϕ(z) всюду в круге C(δ, z0 ). В силу непрерывности функций f (z)и ϕ(z) они равны также на множестве C(δ, z0 )∩D.Пусть теперь z∗ — любая точка области D, лежащая вне кругаC(δ, z0 ).
Соединим точку z0 с z∗ гладкой кривой σ, σ ⊂ D, и обозначимчерез z1 ее последнюю точку пересечения с окружностью | z −z0 | = δ.Повторяя приведенное выше рассуждение, докажем, что f (z) = ϕ(z) в71круге C(ρ, z1 ), где ρ равно расстоянию между σ и границей области_D. Обозначим теперь через z2 последнюю точку пересечения дуги z1 z ∗кривой σ с окружностью | z − z1 | = ρ и аналогично докажем, что f (z) == ϕ(z) в круге C(ρ, z2 ). Продолжая действовать таким образом, придемк кругу C(ρ, zm ), zm ∈ σ, содержащему точку z∗ , в котором f (z) =ϕ(z), а следовательно, и f (z∗ ) = ϕ(z∗ ). В силу произвольности точки z∗отсюда заключаем, что f (z) = ϕ(z) всюду в области D.4.Нули аналитической функции.Точка z0 области задания функции f (z), для которой f (z0 ) = 0, называется н у л е м этой функции.Если функция f (z) аналитична в области D и не тождественно равна нулю, то в силу внутренней теоремы единственности для каждогонатурального числа n число ее нулей на замкнутом множестве Fn == {z ∈ D : ρ(z, ∂D) ≥ n1 } ∩ C(n, 0) конечно.
Следовательно, во всей области D аналитическая функция f (z), не тождественно равная нулю,может иметь не более чем счетное множество нулей.Аналитическая функция f (z) в окрестности своего нуля z0 разлагается в ряд Тейлора видаf (z) =∞Xck (z−z0 )k ,k=mm ≥ 1, cm 6= 0 .Число m называется п о р я д к о м или к р а т н о с т ь ю н у л я z0 . Изравенства (2.48) следует, что z0 является нулем аналитической функции f (z) порядка m тогда и только тогда, когда f (k) (z0 ) = 0, k = 0,1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
