1612043397-c52bbc70cbf2ebd9c97866aa38fbbc50 (536818), страница 2
Текст из файла (страница 2)
е. утверждение теоремы Коши.Обобщенная теорема Коши. Если функция f (z) аналитична вобласти D ⊂ C, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой кривой Жордана Γ, и непрерывна в D, тоZf (z) dz = 0.(2.20)ΓДоказательство. Пусть сначала Γ — замкнутая гладкая криваяЖордана. В силу равномерной непрерывности функции f (z) в D длялюбого ε > 0 найдется такое δ = δ(ε) > 0, что | f (z 0 ) − f (z 00 ) | < ε длялюбых z 0 , z 00 из D, как только | z 0 −z 00 | < 2δ. Пусть еще2δ < δ0 ,58(2.21)где δ0 — стандартный радиус кривой Γ, соответствующий числу θ0 =3= 2 arccos .
Пусть, кроме того, δ таково, что можно построить много4угольник с вершинами в точках zk ∈ Γ, k = 1, 2, . . . , n, следующих другза другом в положительном направлении на Γ, и сторонами [ zk , zk+1 ],zn+1 = z1 , одинаковой длины r (см. Рис. 8), где(2.22)2r = 3δ.Тогда длина L кривой Γ больше nr, так что в силу (2.22) имеемn<Покажем, что мноnSжествоC(δ, zk )k=1образует покрытиекривой Γ, каждыйкруг которого пересекается только ссоседними кругами.В самом деле,поскольку в силу(2.22) и (2.21) имеем| zk+1 −zk | = r < δ0 ,2L.3δ(2.23)θ 3 δ - 204δrPr ΓZzk+1PPPzPPkZZPPDk+1PZqPDk qPPZζk+1ζkPPZrzk−1Γ∗Рис.
8qDk−1ζk−1то (см. п. 0.5) острый угол между касательными в любых точках τ1 иθ0_3τ2 дуги zk z k+1⊂ Γ меньше= arccos . Отсюда по теореме Лагран24_жа заключаем, что для любой точки t ∈zk z k+1 угол между хордамиθ0[ t, zk ] и [ t, zk+1 ] больше π − . С другой стороны, легко видеть, что2множество всех точек, из которых отрезок [ zk , zk+1 ] виден под углом,θ0превышающим π− , представляет собой круговую луночку, ограничен2ную дугами окружностей с концами в точках zk и zk+1 , образующимиθ0_.
Таким образом, дуга zk z k+1с отрезком [ zk , zk+1 ] углы, равные2лежит в этой круговой луночке, содержащейся в объединении круговC(δ, zk ) и C(δ, zk+1 ), а это означает, что все указанные круги образуютпокрытие кривой Γ._Далее, как мы видели выше, r < δ0 , а значит, дуга zk−1 z k+1 короче59стандартной, так что угол между отрезками [zk , zk−1 ] и [zk , zk+1 ] боль√√2πше π − θ0 > , поэтому |zk+1 − zk−1 | > r 2 = 3δ> 2δ, т.
е. круги22C(δ, zk−1 ) и C(δ, zk+1 ) не пересекаются. Круги же C(δ, zk ) и C(δ, zj ),между которыми находится более одного круга этого покрытия, в силу(2.21) тоже не пересекаются.Следуя В.В. Асееву, положим Dk =D ∩ C(δ, zk )\C(δ, zk+1 ), k = 1, 2,..., n,zn+1 = z1 , и обозначим через γk соответственно границы областей Dk .После удаления из D всех замкнутых областей D k остается односвязная область D ∗, граница которой является замкнутой кусочно-гладкойжордановой кривой Γ∗, так как состоит из дуг окружностей | z−zk | = δ.Очевидно, чтоZZn ZX(2.24)f (z) dz = f (z) dz − f (z) dz.k =1 γΓΓ∗kУчитывая, что Γ∗ ⊂ D и по теореме КошиZZf (z) dz = f (ζk ) dz = 0,γkΓ∗где ζk — фиксированные точки областей Dk соответственно, из (2.24) всилу (2.23) получимn Z XZ [ f (z) − f (ζk ) ] dz ≤ f (z) dz = k =1 γΓkn ZX≤| f (z) − f (ζk ) |·| dz | < ε(L + 2n·2πδ) < 3πLε,k =1 γkоткуда следует (2.20).60Пусть теперь Γ — замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана, со_стоящая из гладких дуг Γp = tp tp+1, где tp , p = 1, 2, .
. . , m, tm+1 = t1 , —вершины кривой Γ, δp — стандартный радиус дуги Γp , соответствующий2числу θ0∗ = arccos ,3δ0 = min δp ,ρ∗ =1≤p≤mminp1≤ q ≤mq 6= p−1, pρ (tp , Γq ), Γ0 = Γm .Тогда, как и выше, по наперед заданному ε > 0 возьмем соответствующее число δ, удовлетворяющее условию(2.25)0 < 2δ < min(δ0 , ρ∗ ),так что каждая окружность | z − tp | = δ, p = 1, 2, . . .
, m, пересекаеткривую Γ в двух точках: t0p ∈ Γp и t00p ∈ Γp −1 , Γ0 = Γm . Заметим, чтоуказанные окружности попарно не пересекаются, и обозначим через Γ0pчасть дуги Γp , p = 1, 2, . . . , m, лежащую вне кругов C(δ, tp ) и C(δ, tp+1 )(см. Рис. 9). Пустьρ0 = min ρ (Γ0p , Γ0q ),(2.26)p1≤ q ≤mp 6= qrtp +1Γ# p +1r#r 00tρp##yXX ∗rrp Xθ0 tptp,2rrR @@"!t0p"!#@δ@@t00 rΓ0p"!p +1"!p"!t0p +1Рис. 9Γp − 1При фиксированном δ выберем покрытие каждой дуги Γ0p , p = 1,2, . . . , m, кругами C(ρp , tp, l ), где число ρp удовлетворяет условию0 < 2ρp < ρ0 ,p = 1, 2, . .
. , m,61(2.27)и таково, что можно построить ломаную с вершинами в следующихдруг за другом в положительном направлении точках tp, l ∈ Γ0p , l = 1,2, . . . , np , tp, 1 = t0p , tp, np = t00p +1 , со звеньями [ tp, l , tp, l+1 ], l = 1, 2, . . . , np−1 ,одинаковой длины rp , где2rp = 3ρp .(2.28)Заметим, что в силу (2.27) имеемρ p < δ,(2.29)p = 1, 2, . . . , m,так как из (2.26) следует, что ρ0 ≤ | t0p −t00p | ≤ 2δ, поэтому круги C(ρ p , t0p )и C(ρp −1 , t00p ), ρ0 = ρm , не пересекаются.Далее, из (2.28), (2.29) и (2.25) следует неравенство rp < δ0 . Отсюда_заключаем, что дуга tp tp, 2 меньше стандартной дуги, так что угол между хордами [ t , t0 ] и [ t0 , t ] больше π − θ∗ и поэтому, как легкоpppp, 20видеть, круги C(δ, tp ) и C(ρp , tp, 2 ) тоже не пересекаются. Очевидно,что не пересекаются также круги C(ρp , tp, np −1 ) и C(δ, tp +1 ) .Рассуждая так же, как в случае гладкой кривой, убеждаемся, что ду_га tp, l tp, l+1 , l = 1, 2, .
. . , np −1 , лежит в круговой луночке, ограниченнойдугами окружностей с концами в точках tp, l и tp, l+1 , образующими сθ0∗1. Поскольку θ0∗ < θ0 = arccos , тоотрезком [ tp, l , tp, l+1 ] углы, равные28эта луночка, в свою очередь, лежит в круговой луночке, ограниченнойдугами окружностей с концами в точках tp, l и tp, l+1 , образующими с отθ0. Аналогично случаю гладкой крирезком [ tp, l , tp, l+1 ] углы, равные2npвой Γ отсюда следует, что объединение кругов ∪ C(ρp , tp, l ) образуетl=1покрытие дуги Γ0p , причем каждый из кругов C(ρp , tp, l ), l = 2,3, .
. . , np −1, пересекается только с предыдущим и следующим.Таким образом, все круги C(δ, tp ) и C(ρp , tp, l ) образуют покрытиекривой Γ, каждый круг которого пересекается только с соседними.ПоложивpXk1 = 1, kp+1 = kp + np +1 =ns +p+1, p = 1, 2, . . . , m−1,s= 162n = km + nm =mXnp + m,p=1zkp = tp , p = 1, 2, . . . , m, zkp +l = tp, l , l = 1, 2, . . . , np , получим покрытиекривой Γ кругами с центрами в точках zk , k = 1, 2, . . .
, n, причем длина L этой кривой не меньше периметра многоугольника с вершинами вточках zk , т. е.mXL ≥ 2mδ +rp (np −1).(2.30)p=1Очевидно также, чтоL>mX(2.31)rp .p=1После удаления из D описанных выше замкнутых областей Dkостается область D ∗, граница которой является замкнутой кусочно-гладкойкривой Γ∗ ⊂ D. Ввиду этого для интеграла от функции f (z) по кривойΓ, подобно тому, как и в случае гладкой кривой, будем иметь:mZXnp ·2πρp . f (z) dz < ε L + 2m·2πδ + 2(2.32)p=1ΓВ силу (2.28) – (2.31) из (2.32) получим неравентво εZ f (z) dz < L(3 + 16π),3Γиз которого, ввиду произвольности числа ε, тоже следует (2.20).Обобщенная теорема Коши верна и для многосвязной области.Теорема.
Если функция f (z) аналитична в (m+1)-связной области D, граница Γ которой состоит из попарно не пересекающихсязамкнутых кусочно-гладких кривых Жордана Γ0 , Γ1 , . . . , Γm , где Γ0содержит внутри себя все остальные кривые, и непрерывна в D, тоZΓf (z) dz =Zf (z) dz −Γ063m ZXk =1 Γkf (z) dz = 0.(2.33)Доказательство.
Обозначим через σk , k = 0, 1, . . . , m, не пересекающиеся гладкие открытые дуги Жордана, лежащие в D и соединяющие соответственно Γk с Γk+1 , Γm+1 = Γ0 . Проведенными вдоль σkразрезами область D разбивается на две односвязные области D 0 и D 00с кусочно-гладкими жордановыми границами Γ0 и Γ00 соответственно.В силу очевидного равенстваZΓ0f (z) dz +Zf (z) dz =Γ00Zf (z) dz =ΓZf (z) dz −Γ0m ZXk =1 Γf (z) dzkи обобщенной теоремы Коши для функции f (z) в замкнутых областяхD 0 и D 00 получаем (2.33).Интегральная формула Коши.
Пусть функция f (z) аналитична в области D ⊂ C с кусочно-гладкой границей Γ и непрерывна в D.ТогдаZf (t) dt f (z), z ∈ D,1=(2.34) 0,2πit−zz ∈ C D.Γf (t)переменного t тоже аналитична в Dt−zи непрерывна в D, и обобщенная теорема Коши дает искомое равенство.В случае, когда z ∈ D, удалим из области D круг C(δ, z), C(δ, z) ⊂ D,и обозначим через γ окружность | t−z | = δ. Тогда в силу обобщеннойf (t)переменного t в замкнутой областитеоремы Коши для функцииt−zD δ =D\C(δ, z) имеемZZZZf (t) dtf (t) −f (z)dtf (t) dt==dt + f (z).(2.35)t−zt−zt−zt−zγγγΓЕсли z ∈ CD, то функцияДля t ∈ γ имеем t = z + δeiϕ ,Zγ0 ≤ ϕ ≤ 2π,dt=t−zZ2π0dt = iδeiϕ dϕ, поэтомуiδeiϕ dϕ= 2πi,δeiϕ64(2.36)а в силу непрерывности функции f (z) в области D получимZ f (t) −f (z) (2.37)dt ≤ 2π max | f (z + δeiϕ ) − f (z) | −→ 0.0≤ϕ≤2πt−zδ→0γПоскольку в (2.35) первый и последний интегралы не зависят от δ, тои предпоследний интеграл не зависит от δ, а так как в силу (2.37) придостаточно малом δ он может быть сделан сколь угодно малым, то онравен нулю.
Следовательно, (2.35) с учетом (2.36) дает вторую частьравенства (2.34), которое называется и н т е г р а л ь н о й ф о р м у л о йК о ш и. Интеграл в этой формуле называют и н т е г р а л о м К о ш и.Заметим, что область D ⊂ C может быть и многосвязной.2.3. Интеграл типа КошиПусть терерь Γ — кусочно-гладкая (замкнутая или незамкнутая) кривая Жордана и f (t) — заданная на Γ непрерывная функция.
Для любойf (t)точки z комплексной плоскости, не лежащей на Γ, выражениекакt−zфункция t ∈ Γ непрерывно и, следовательно, существует интеграл1F (z) =2πiZf (t) dtt−z(2.38),Γявляющийся однозначной функцией z и называемый и н т е г р а л о мт и п а К о ш и.Покажем, что интеграл типа Коши (2.38) в любой точке z комплексной плоскости, не лежащей на кривой Γ, является аналитическойфункцией, причемZf (t) dt10.(2.39)F (z) =2πi(t−z)2ΓКроме того, F (z) имеет производные всех порядков иF(n)n!(z) =2πiZΓ65f (t) dt(t−z)n+1.(2.40)Заметим сначала, что для z + ∆z, не лежащего на Γ, имеемF (z+∆z) − F (z)∆z1=2πiZf (t) dt(t−z)(t−z−∆z)Γ.Так как z ∈/ Γ, то расстояние ρ (z, Γ) = 2d > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
