1612043397-c52bbc70cbf2ebd9c97866aa38fbbc50 (536818), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

., причем каждая последовательность{fn, k (z)} сходится в точках z = r1 , r2 , . . . , rk . Диагональная последовательность {fn, n (z)}, как содержащаяся, исключая конечное число первых членов, в любой из последовательностей {fn, k (z)}, сходится во всехточках r1 , r2 , . . ., т. е. во всех точках области D с рациональными координатами.30 . В заключение покажем, что полученная диагональная последовательность {fn, n (z)} является искомой, т.

е. она равномерно сходитсявнутри области D. Действительно, пусть K — произвольное замкнутое множество, K ⊂ D. Обозначим через G конечное покрытие множе-ства K кругами C(ρ, z), 0 < ρ < ρ (K, ∂D), z ∈ K. Очевидно, G⊂ D, апоскольку семейство M равностепенно непрерывно на G , то для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любых точек z1 , z2 ∈ G,удовлетворяющих условию | z1 −z2 | < 2δ, при всех n ∈ N имеем:ε| fn, n (z1 ) − fn, n (z2 ) | < .3(2.59)Покроем плоскость z квадратной сеткой со сторонами длины δ и обозначим замкнутые квадраты, содержащие точки множества K, число80которых в силу ограниченности K конечно, через ∆l , l = 1, 2, .

. . , p.В каждом квадрате ∆l выберем по одной точке rk с рациональнымиlкоординатами, принадлежащей G. В силу сходимости в них последовательности {fn, n (z)}, для того же ε > 0, что и в (2.59), найдем такоеN > 0, чтоε| fm, m (rk ) − fn, n (rk ) | <(2.60)ll3при m, n > N для всех l = 1, 2, . . . , p.Пусть теперь z — произвольная точка множества K. Она лежит внекотором замкнутом квадрате ∆l . Расстояние точки z до лежащей вэтом же квадрате точки rk меньше 2δ, поэтому в силу (2.59) имеем:lε| fm, m (z) − fm, m (rk ) | < ,l3ε| fn, n (z) − fn, n (rk ) | < .l3(2.61)Складывая все неравенства (2.60) и (2.61), в силу неравенства треугольника получаем при m, n > N:| fm, m (z) − fn, n (z) | < ε.Так как число N одно и то же для всех точек z ∈ K, то согласно критерию Коши это доказывает, что последовательность {fn,n (z)}равномерно сходится на множестве K к конечной функции, которая попервой теореме Вейерштрасса будет аналитической в области D.2.9.

Интегральные формулы Шварца и ПуассонаПусть функция f (z) аналитична в круге C(R, z0 ) и непрерывна вC(R, z0 ). Обозначив через Γ окружность | t−z0 | = R, в силу интегральной формулы Коши будем иметь:1f (z) =2πiZf (t) dtt−z,z ∈ C(R, z0 ),(2.62)ΓZΓf (t) dt= 0,t−z ∗z ∗ = z0 +R2z − z0,z ∈ C(R, z0 ).(2.63)Полагая t−z0 = Reiϕ и переходя в (2.63) к сопряженным величинам сучетом того, что81.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)