physics_saveliev_2 (535939), страница 35
Текст из файла (страница 35)
породного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид (60.3). Легко убедиться в том, что 1=!э = 8'Я представляет собой частное решение урав- нения (60.7). Следовательно, общее решение уравнения (60.7) можно написать следующим образом: ! = )о+ сопз! ° е ' . В начальный момент сила тока ! равна нулю. От.
сюда для сопз! получается значение сопз! = — (о Таким образом, 1=1,(1 — е ' ), (60.8) Функция (60.8) описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э.д.с. График этой функции дан на рис. 114 (кривая 2). Мы предполагали индуктивность 7. постоянной. Если цепь содержит катушку с железным сердечником, Ю', будет определяться формулой (59.8). В этом случае за . лА счет слагаемого ! — э. д. с, самоиндукции может до. ш стигать очень больших значений. Прн этом сила тока может значительно превзойти )ь $ 6!. Энергия магнитного поля Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 115. Сначала замкнем соленоид 7. на батарею э; в нем установится ток й который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если, отключив соленоид от бата.
реи, замкнуть его через сопро- Ю тивленне )т, то в образовавшейся цепи будет некоторое время течь постепенно убывающий ток. Работа, совершаемая этим током за время Ж, равна ИА =Ю,(Ж = БАРР— — ! Ж = — ! ~Л'. (61. 1) ш Рис. ! !5. Если индуктивность. соленоида не зависит от (Е = сопз!), то пЧ' = Ь о! и выражение (61.1) принимает следующий вид: (61.2) С1э А = — ) Е1Ж= —,—. 2 (61.3) Работа (61.3) идет на приращение внутренней энер. гни проводников, т. е. на их нагревание. Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве.' Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит,.
остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа (61.3). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью Ь, по которому течет ток 1, обладает энергией дн Я7 =— 2 (61.4) которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле [ср. эту формулу с выражением (29.1) для энергии заряженного конденсатора).
В гауссовоя системе выражение дли энергии контура с током имеет виа 1 ви 1Ры — — —. с' 2 (6!.5) Заметим, что выражение (61.3) можно трактовать как ту работу, которую необходимо совершить против э д.с. самоиндукции в процессе нарастания тока от О до 1, и которая идет на создание магнитного поля, обладающего энергией (61.4). В самом деле, работа, совершаемая против э.д.с. самоиндукции, А' = ) ( — д',)1с(1. о Проинтегрировав это выражение по 1 в пределах от первоначального значения 1 до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля: (61.6) что совпадает с (61.3). Работа (61.6) совершается при установлении тока за счет источника э.д.с.
и идет целиком на создание сцепленного с контуром магнитного поля. Выражение (61.6) не учитывает той работы, которую источник э.д.с. затрачивает в процессе установления тока на нагревание проводников '). Выразим энергию магнитного поля (6!.4) через величины, характеризуюшие само поле. В случае бесконечного (практически очень длинного) соленоида 7. = р,1ап'Р, О = па', и откуда а= —. и ' Подставляя эти значения Е и 1 в (61.4) и производя преобразования, получим р,ри* 2 (61.7) Как было показано в $42, магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида.
Следовательно, энергия (61.7) заключена в пределах соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью ге, которую можно получить, разделив )Р' на Р. Произведя это деление, получим пари 2 (61.8) ') Она равна А" ) И'Ф. о 14 И. в. Сваельва, т, и Произведя преобразования, подобные тем, которые привели нас к выражению (61.2), получим Воспользовавшись соотношением (44.15), формулу для плотности энергии магнитного поля можно записать следующим образом: (61.9) вн вз тп з ярон Полученное нами выражение для плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный выражению (36.2) для плотности энергии электрического поля, с тем лишь отличием, что электрические величины в нем заменены соответствующими магнитными. В гауссоаоа системе формулы для плотности энергии магнитного поля аыг.чядят следуюптнм образом: рна зе (8|до) 8я зп 8я Если магнитное поле неоднородно, плотность энергии больше там, где больше Н и р.
Чтобы найти энергию магнитного поля, заключенную в некотором объеме тг, нужно вычислить интеграл ,(тг ~ рерВ ~зг (61,11) ф 62. Взаимная индукция Возьмем два контура ! и 2, расположенные друг относительно друга не очень далеко (рис. 1!6). Если в Рнс. 1!б, первом контуре течет ток силы гь он создает через другой контур пропорциональный т| полный поток Ча=~тА (62.1) (поле, создающее этот поток, изображено на рисунке сплошными линиями). При изменениях тока !! во втором контуре индуцпруется э.д.с, !!!! д'и —— — Ем — „ (62.2) Аналогично, при протекании во втором контуре тока силы !2 возникает связанный с первым контуром поток 2Р! - Е12!2 (62.3) (поле, создающее этот поток, изображено пунктирными линиями).
При изменениях тока 12 в контуре ! индуцируется э. д. с. у Ру !'!2 Е21' (62.5) Взаимная индуктивность Е„зависит от формы, раз. меров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости. окружающей контуры среды. Измеряется Е„в тех же единицах, что и индуктивность Е. Вычислим энергию магнитного поля, создаваемого обоими контурами. Если ток течет только в одном из контуров, найример в первом, энергия магнитного поля согласно (61.4) равна ! !2 Ж'! = —, (62.6) а плотность энергии— И, Н! г 22! ! где Н! — напряженность поля, создаваемого током !1.
211 14" 8п-- ЕпФ (62.4) Контуры ! и 2 называются связанными, а явление возникновения э. д.с. в одном из контуров при изменениях силы тока в другом называется в з а и м н о й индукцией. Коэффициенты пропорциональности Егз и Е21 пазы. ваются из а им ной и нд унт и в постыл (или ко э ффициентом взаимной индукции) контуров. Позже мы покажем, что эти коэффициенты всегда равны др гд гу: Лналогично, если ток течет только во втором контуре, энергия поля равна )) 2 ~ 2~2 (62.7) а ее плотность Ранца 2 Фх = где Н; — напряженность поля, создаваемого током 4.
В случае, когда ток в обоих контурах одновременно отличен от нуля, напряженность поля в любой точке будет согласно принципу суперпозиции равна н = н, + н„ так что, вообще говоря, Н ФН~+ Нх. Отсюда следует, что гв чь Ф, + и„ и полная совместная энергия контуров йг не равна сум. ме энергий (62.6) и (62.7), Чтобы найти энергию )и", вычислим работу, которую должны совершить источники тока, включенные в оба контура, для того, чтобы в контурах возникли токи силы ~, и (х и было создано соответствующее суммарное поле.
Пусть вначале сила тока в обоих контурах равна нулю. Для того чтобы создать в первом контуре ток силы й, источник тока, включенный в контур, должен совер- шить против э.д, с, самоиндукции В'„работу, величина которой согласно (61.6) равна 2 р ью~ А~= —, 2 где Е, — индуктивность первого контура. Теперь, поддерживая силу тока Н неизменной, ста- нем увеличивать силу тока во втором контуре от 0 до Нь При этом источник тока, включенный во второй кон- тчр, должен совершить работу 1 ~-2~2 Аг= —, ю где Ь, — индуктивность второго контура. Однако дело не исчерпывается только этим. При изменениях тока 1э в первом контуре будет индуцироваться э.д.с.
(62.4). Для того чтобы появление этой э.д.с. не вызвало изменения силы тока в контуре, источник тока, включенный в первый контур, должен совер. шить против э.д.с. индукции работу Ам= ) ( — Ен)й И. Подставляя сюда выражение (62.4) для эн н учитывая, что сила тока 1~ постоянна, получим .Г нй Ам= й ) Ем — Ю = 1, ~ Е„Аз= (-м1А. ш Таким образом, полная работа, которая совершается источникамп тока, действующими в обоих контурах, при установлении значений силы тока 1~ и 1х равна 1х 3 А' = А', + А'+ А', = — + — + Е,,1,1гс (62.8) И! 1'2~2 (62.9) (в этом случае, чтобы поддерживать неизменной силу тока 1м нужно совершать работу протйв э.
д. с. индукции (62.2), которая пропорциональна 1.,~). Поскольку работа не может зависеть от того, в какой последовательности создаются токи — сначала 1ь а затем 1ь или наоборот,— выражения (62.8) и (62.9) должны быть равны друг другу. Отсюда следует справедливость соотношения (62.5). Вычисленная нами работа идет на создание энергии М7 магнитного поля.
Поэтому можно написать, что 1.1~ Е.Г 2 2 г, + 1гы1~1г. В 2 (62АО) 213 Проведя такие же рассуждения для случая, когда вначале устанавливается во втором контуре ток силн 1м а затем в первом контуре ток силы 1ь получим для работы следующее выражение; а а СА 1.г'а А' = —, + — + Ем1,1, Первое слагаемое в этой формуле дает энергию тока (ь второе — энергию тока юз, слагаемое Е! с!!з называется взаимной энергией токов !, и !в Найдем энергию %' в предположении, что токи !! и !з одновременно увеличиваются от нуля до заданных значений, В этом случае в первом контуре индуцируется ш! э.д.с., равная !з„!+!з!!, где !э„= — Е! — „— з.д.с.
самояндукции, а д'!! — э.д.с., определяемая формулой (62.4). Во втором контуре действует !з,з + Ю!ь Работа, совершаемая против' этих э. д, с., идет на создание энергии токов. Поэтому можно написать, что )" Х! (Т !+ЕЕ!))с!Д(+ Х ( (Е 2+8!2))г! ( о а ! ! вй ж,~. Г~ лй л!,~. ~ (!! +12 )!3!!!+ ) (!2 +ЕЯ! — )!Я!((. л! ! л! ) ,) ( а и ,) Использовав соотношение (62.6), это выражение можно преобразовать к виду у=1е' — д ГЕ' — Г ~ — — ')Ж ~~!! ' ! !! . ~~!! <~!1 'ш .) ш,) !(!ж ж 2 — и 2 Е!! — Л = Е !!у!!,. л (!!!!) Ж !! Итак, мы снова приходим к выражению (62.!0), Формуле для энергии токов можно придать симмет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
