physics_saveliev_2 (535939), страница 39
Текст из файла (страница 39)
е, нх число и в единице объема) будет равна количеству атомов в единице объема. Произведем оценку и. Число атомов в едич нице объема равно — М, где б — плотность металла, л р — масса килограмм-атома, Ма — число Авогадро. Для металлов значения б/1» заключены в пределах от 20 кмоль/м' (для калия) до 200 кмоль/м' (для бериллня). Следовательно, для концентрации свободных электронов (нлн, как нх еще называют, электронов проводимости) получаются значения порядка и =!О' —: 10м ги '(1Π—: 1О '" г.к ').
(69.2) $ 70. Элементарная классическая теория металлов Исходя из представлений о свободных электронах, Друде разработал классическую теорию металлов, которая затем была усовершенствована Лоренцем. Друде предположил, что электроны проводимости в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа. В промежутках между соударениями они движутся совершенно свободно, пробегая в среднем некоторый путь Х. Правда, в отличие от молекул газа, пробег которых определяется соударениями молекул друг с другом, элек- 240 троны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами, образующими кристаллическую решетку металла.
Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронным газом и кристаллической решеткой. Полагая, что на электронный газ могут быть распространены результаты кинетической теории газов, оценку средней скорости теплового движения электронов можно произвести по формуле !сы. т. 1, формулу (! 06.12)) (70.1) Для комнатной температуры ( — 300' К) вычисление по этой формуле приводит к следующему значению: / 8 1,38 1О е 300 3,14 0,91 !О Прн включении поля на хаотическое тепловое движение, происходящее со скоростью (70.1), накладывается упорядоченное движение электронов с некоторой средней скоростью й.
Величину этой скорости легко оценить, исходя из формулы, связывающей плотность тока 1 с числом и носителей в единице объема, их зарядом е и средней скоростью й: (70.2) Предельная допустимая техническими нормамн плотность тока для медных проводов составляет около 10 а!мм~ = 10! а(м~. Взяв для п значение 10м см е = = 10м м з, получим ! 10' з й = — =, = 10 м1сек. ел 1,6 !О 'э ° !Ом Таким образом, даже прн очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения зарядов (й) в 1Оз раз меньше средней скорости теплового движения (й). Поэтому при вычислениях модуль результирующей скорости (ч+ н! всегда можно заменить модулем скорости теплового движения !ч1 и В сяр ~ек, е 1~ 241 Найдем вызванное полем изменение среднего значения кинетической энергии электронов.
Средний квадрат результирующей скорости равен (ч + н)' = ил+ 2чн + н' = ч'+ 2у н + и"). Но среднее значение ч равно нулю (см. $ 3!). Поэтому (ч+ ц)з па+ пт Следовательно, упорядоченное движение увеличивает кинетическую энергию электронов ва в среднем на гппз Ьваз= —. 2 Закон Ома. Друде считал, что сразу после очередного соударения электрона с ионом кристаллической решетки скорость упорядоченного движения электрона равна нулю. Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение, равное ест, и к концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет в среднем значения еЕ й = — т, а|ах пг (70.4) где т — среднее время между двумя последовательными соудареннями электрона с ионами решетки.
Друде не учитывал распределения электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение скорости и. В этом приближении Л где Л вЂ” среднее значение длины свободного пробега, и — скорость теплового движения электронов (мы воспользовались тем, что )ч+ н~ практически равен ~ч)), Подставим это значение т в формулу (70.4): (70.5) 242 ') Если две случайные ееаичнпы и и Ь независимы друг от друга (что справедливо длп скоростей т и и), то среднее значение их произведения равно произведению средних значений пй=п Ь. Скорость и изменяется за время пробега линейно.
Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального: 1 — еЕХ й= — й 2 ое" 2ео ' Подставив это выражение в формулу (70.3), получим оейь 1' = — Е. 2ао Плотность тока оказалась пропорциональной напряженности поля. Следовательно, мы получили закон Ома. Согласно (33.4) коэффициент пропорциональности между 7' и Е представляет собой проводимость (70.6) Если бы электроны не сталкивались с ионами решетки, длина свободного пробега, а следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Таким образом, электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами, помещающимися в узлах кристаллической решетки металла. Закон Джоуля — Ленца.
К концу свободного про. бега электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию, средняя величина которой согласно формулам (70.3) и (70.5) равна Ле„= — '" = — Ет. 2 2мФ (70.7) 1 — оееь го = и — Лез — — — Ез т 2по 16" Столкнувшись с ионом, электрон по предположению полностью теряет приобретенную им за время пробега скорость, т. е.
передает энергию (70.7) кристаллической решетке. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющееся в его нагревании. Каждый электрон претерпевает за секунду в среднем 1/т = о/Х соударений, сообщая всякий раз решетке энергию (70.7). Следовательно', в единице объема за единицу времени.
должно выделяться тепло где и — число электронов проводимости в единице объема. Величина и есть не что иное, как удельная мощность тока (см. $34). Множитель при Ее совпадает со значением (70.6) для о, Таким образом, мы пришли к выражению (34.5) закона Джоуля — Ленца. Закон Видемана — Франца. Из опыта известно, что наряду с высокой электропроводностью металлы отличаются также большой теплопроводностью. Видеман и Франц установили в 1853 г, эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности н к коэффициенту электропроводности о для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре.
Так, например, при комнатной температуре это отношение равно для алюминия 5,8 1О е, для меди 6,4 10-' и для свинца 7 0 10 — е дЖ'ал сек град ' Способностью проводить тепло обладают и неметаллические кристаллы. Однако теплопроводность металлов значительно превосходит теплопроводность диэлектриков. Из этого можно заключить, что теплопередача в металлах осуществляется в основном не кристаллической решеткой, а электронами. Рассматривая электроны как одноатомный газ, для коэффициента теплопроводности можно заимствовать выражение кинетической теории газов !см.
т, 1, формулу (! 13.6)) ! и = лтпХсе 3 (через пгп обозначена плотность газа, вместо Р взято о), Удельная теплоемкость одноатомного газа равна 3!23к с, — — = — ' —. Подставляя это значение в выраже- 2 И 2гк' ние для х, получим и = — „пйЫ. ! Разделим и на выражение (70.6) для а к Ьиа' 244 тое 3 Произведя замену —, = —, йТ, приходим к соотио- 2 2 шению которое выражает закон Видемана — Франца. Подставив й = 1,38.
1О-" дле/град и е = 1,60 1О" к, получим — =2 23 ° 10 Т. о При Т = 300' К для отношения х/о получается значение 6,7 ° 1О з, очень хорошо согласующееся с — дле сек. ерад ' экспериментальными данными (см. приведенные выше значения для А1, Си и РЬ). Однако, как выяснилось впоследствии, столь хорошее совпадение оказалось случайным, ибо когда Лоренц уточнил расчеты, учтя распределение электронов по скоростям, для отношения х/о полугй ~а чилось значение 2 ( — ) Т, которое хуже согласуется а 1е) данными опыта').
Итак, классическая теория смогла объяснить законы Ома и Джоуля — Ленца, а также дала качественное объяснение'закона Видемана — Франца. Вместе с тем зта теория встретилась с весьма существенными затруднениями. Из них основными являются два. Из формулы (70.6) вытекает, что сопротивление металлов (т. е. величина, обратная о) должно возрастать как корень квадратный из Т. В самом деле, для предположений о зависимости от температуры величин п и Х нет никаких оснований. Скорость же теплового движения пропорциональна корню из Т.
Этот вывод теории противоречит опытным данным, согласно которым электрическое сопротивление металлов растет пропорционально первой степени Т (см. $33), т. е. быстрее, чем. ~lТ. Второе затруднение классической теории заключается в том, что электронный газ должен обладать молярной ') Согласно квантовой теории х хе г Гс ~2 — — — ~~ — ) т-2ДЗ 1О Г. — е о З(е) теплоемкостью, равной — )с.
Добавляя эту величину к з теплоемкости решетки, составляющей 3)т (см. т. 1, $141), мы получим для килограмм-атомной теплоемкости ме- 9 телла значение — Я. Таким образом, согласно классиче- 2 ской электронной теории килограмм-атомная теплоемкость металлов должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков. В действительности же теплоемкость металлов не отличается заметно от теплоемкости неметаллнческнх кристаллов. Объяснение такого несоответствия смогла дать лишь квантовая теория металлов. Несмотря на неспособность классической теории дать объяснение ряда явлений, она сохранила зннуеиие и до настоящего времени, потому что в случае малых концентраций свободных электронов (что имеет место в полупроводниках) она дает вполне удовлетворительные результаты'. Вместе с тем по сравнению с квантовой теорией классическая обладает значительной простотой и наглядностью.
$ 71. Основы квантовой теории металлов В классической теории металлов считалось само собой разумеющимся, что электроны проводимости могут обладать любыми значениями энергии. Согласно квантовой теории энергия электронов в любом кристаллическом теле (в частности, в металле) так же, как и энергия электронов в атоме, квантуется. Это означает, что она может принимать лишь дискретные (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
