1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 45
Текст из файла (страница 45)
е. скорость света в них по всем направлениям одинакова. Будет лн это утверждение справедливо и для звука, т. е. для механических упругих волну Задача Определитьмакснмальный угол и .,между направлениями лучин волновой нормали длн кристалла исландскогошпата (л = 1,658,л. = 1,486).
* Угол п между М и з, как видно нз рис. 4.6, равен углу между 0 и Е. В необыкновенной волне эти векторы лежат в плоскости главного сечения. Пусть Р— угол между 0 и оптической осью кристалла, а у — между Е и той же осью. Епроепируем векторы 0 и Е на направление оси и перпендикулярное ей направление и воспользуемся материальными уравнениями О» =все > Е», 0»=еое»ЕП Оз1пй=взв»Ез1пу, огозй=езз»Егозу.
Разделив почлснно эти уравнения, нахалам 1Кр=(е»/в»118у=-(пе/л,)х18у. Интересуюший нас угол п=б — у (см. рис. 4.7), поэтому 18о=18 18 — у1 =(л,',— л,',) 1йу/(л',+ лзт16'у). Максимум и достигается при 1йу=л»/па=0,896, т. е. при у=41'52', и равен и;. =- ага(81(л,' — л,'.) /(2л, л,) ) . 6'1Ь'. аз. препоыненне на гранино гзолное количественное решениезадааннзетропной среды. ~ )чи о преломлении и отражении свеПостроенне Гюйгенса та на границе анизотропной среды может быть получено на основе электромагнитной теории. Как и в случае границы изотропных сред, электромагнитное поле должно удовлетворять тем же граничным условиям: тангенциальные составляющие векторов Е и В по обе стороны границы должны совпадать в каждой ее точке в любой момент времени.
Метод решения задачи остается прежним: в первой среде наряду с заданной падающей монохроматической плоской волной рассматривается еще одна — отраженная, а во второй среде преломленная. Их волновые поверхности предполагаются бесконечными плоскостями (хотя на опыте, как правило, приходится иметь дело с узкоограниченными пучками). Отличие состоит в том, что для волн в анизотропной среде нужно учитывать зависимость фазовой скорости от направлений волновой нормали и поляризации. Эта зависимость может быть найдена с помощью уравнений Максвелла и материальных уравнений примерно так, зто было сделано в $4.2 для луой скорости в одноосных криллах. Электромагнитная теория позвот найти как направления отра- ной и преломленных волн, так и их амплитуды.
При этом не требуются никакие дополнительные допущения (как, например, принцип Гюйгенса — построение огибающей для вторичных волн). Однако в общем случае окончательные формулы оказываются чрезвычайно громоздкими. г 1»г Поэтому ограничимся лишь иллю- Преламленне н отражение плоской страцией применения электромаг- волны на границе опию снай среды нитной теории иа наиболее простом примере. Пусть плоская волна падает из вакуума (или воздуха) на границу оптически одноосной анизотропной однородной среды, занимающей верхнее полупространетво (рис.
4.10). Рассмотрим частный случай: оптическая ось параллельна границе ху и перпендикулярна плоскости падения хг (т. е. параллельна оси у). Падающую волну разложим на составляющие, поляризованные в плоскости падения и в перпендикулярном направлении Граничные условия, как и для изотропной среды, выражаются уравнениями (3 1). Чтобы зтн условия выполнялись сразу во всех точках границы, у всех трех экспонент зависимость от координат х и и должна быть одинакова.
Отсюда, во-первых, следует, что у волновых векторов и )гт отраженной и преломленной волн равны нулю у-составляющие, т. е нормали к волновым поверхностям отраженной и преломленной волн лежат в плоскости падения Во-вторых, нз равенства х-составляюших векторов й»ь (г~ и йз следуют геометрические законы отражения и преломления, определяющие направлении этих волн.
Так как /г»м=(ш/с)81пгр, /ты=(со/с)з)пгрь то гр»=гр: угол отражения гр» от анизотропной среды равен углу падения г(. Что касается угла преломления грз, то теперь он будет иметь разные значения для двух ортогональных поляризаций. В самом деле, прн рассматриваемом направлении оптической оси (вдоль оси у) в волне, поляризованной в плоскости падения, вектор Е направлен перпендикулярно оптической оси.
Скорость такой (обыкНОВЕННОй) ВОЛНЫ бе Ранив С/ У/ЕЗ » С/П„ а МОДУЛЬ ЕЕ ВОЛНОВОГО ВЕК- ора йз=ш/о =(ш/с)дю Из й)„=й, учитывая, что ях„=/гтз(пгф1, находим п,з(п»р" =з)пер. Если же волна линейно поляризована в направлении. перпендикулярном плоскости падения, то для рассматриваемого расположения вектор Е в ней направлен вдоль оптической оси. Скорость этой (необыкновенной~ волны и, равна С/ У/Ег =С/Пж а МОДУЛЬ ВОЛНОВОГО ВЕКтОРа /ГЗ =Ш/О,=(Ш/С)Л,.
Поэтому для нее угол преломления грт1 определяется нз условия » тйт п,з!пгрК'=з!пгр. Так как здесь скорость необыкновенной волны одна и та же для любого ее направления в плоскости хх, то отношение синусов угла падения и угла преломления постоянно и равно и,. Полученные выше выражения для грэю и ф'! определяют направления волновых нормалей преломленных волн. Для сравнения с опытом важно знать ход лучей, представляющих пути распространения световой энергии. Однако при выбранном расположении преломленные волны идут перпендикулярно оптической оси, когда лучи и волновые нормали совпадают.
Таким образом, в этом частном случае падающий из вакуума под углом гр луч создает два преломленных луча (обыкновенный и необыкновенный), углы преломления которых грэю и фу! (рис. 4.!О) даются соотношениями лез!и грй ~ з!и гр лга(п грэ ! — 51п гр. (4. 13) йй-раничные условия позволяют найти не только направления отраженной и преломленных волн, но и их амплитуды. Действуя так же, как и в $3.2, мы в рассматриваемом случае придем к таким же формулам Френеля (3.8) — (311) с той разницей, что для поляризации, перпендикулярной плоскости падения, выражения для амплитуд отраженной и преломленной волн содержат и, в качестве показателя преломления второй среды и угол преломления <рум из (4.!3) вместо фв: Е, еовф — л,говф$' вгп(ф — фь ) ййтхг 'у Ей 2еовф 2совфв!о фУГ и т я' мзйзт Составляющая падающей волны, поляризованная в плоскости падения, преломляется на иной угол гру', и для нее амплитуды отраженной и преломленной волн выражаются соответствующими формулами Френеля (3.9), (3.11) с заменой пв на и, и грв на грт1: Е( л еовгр — говф!ы гя!ф — фу1) т м гв тзз) 2совч ыпчр' Ег 2еов ф глтгл T вктхтг* ( ° -Р) Мы видим, что в данном случае электромагнитная теория дает исчерпывающее описание отражения и преломления света на границе анизотропной среды.
При ином расположении оптической оси относительно границы принципиальные затруднения не возникают, но вычисления оказываются громоздкими. В таких случаях возможно получить частичное решение задачи — определить направления преломленных волн в одноосном кристалле — с помощью изящного геометрического построения, впервые примененного Гюйгенсом для объяснения двойного лучепреломления в исландском ш пате. (( ". ...,,-;::,-:~дапомним, как выполняется построе- явние Гюйгенса в случае изотропной ' среды (рис. 4.1! ). Когда волновая поверхность падающей из вакуума плоской волны достигает точки О на границе изотропной среды, вторичные волны из всех прежних точек О', распространяющиеся со свойственной им скоростью, имеют общую огибающую ОВ, которая и представляет собой поверхность равных фаз преломленной волны.
Учитывая, что вторичная волна, распространяющаяся со скоростью и= 4Л! =с/п, проходит расстояние О'В за то Поетрое е оре ылеввой волны время что падающая волна расстоя оо орлвовоу Ггойгевсв (лля ние АО, из треугольников ОО'А и ОО'В получаем закон преломления: з!игр =п з!пгрв. При обобщении построений Гюйгенса на случай анизотропной одноосной среды для вторичных волн нужно использовать найденные в $4.2 поверхности лучевых скоростей.
Касательная к ним плоскость дает положение фронта (т. е. поверхности равных фаз) преломленной волны, а прямая, проведенная из центра вторичной волны в точку касания, — направление преломленного луча. Так как лучевая поверхность состоит из сферы и эллипсоида, то построение Гюйгенса дает два луча: обыкновенный, направление которого совпадает с нормалью к фронту, как и в изотропиой среде, и необыкновенный, направление которого в общем случае отклоняется от нормали к фронту необыкновенной волны. Для строгого обоснования построений Гюйгенса (которое здесь не приводится) требуется показать, что распространение света от точечного источ ника по некоторому направлению в анизотропной среде происходит так же, как и рассмотренных в $ 4.2 плоских волн, скорости кото.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
