1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Следовательно, формфакгор Р(й) описывает экранирование заряда ядра электронным облаком. Практическое применение этой формулы наталкивается на те же трудности, что и в случае рентгеновских лучей. Трудности связаны с коллективным воздействием многих атомов, расположенных беспорядочно или в определенном порядке, а также со всеми другими эффектами, упомянутыми выше. Кроме того, формула рассеянйя скраведлиаа только для быстрых электронов, а рассеяние медленных электронов требует пряменения более тонких методов расчета. Все эти обстоятельства указывают на желательность теоретического определения формфактора. Такая задача эквивалентна вычислению 1ф~' теоретическим путем.

Простейший метод, предложенный независимо Томасом (1926 г.) и Ферми (1928 г.), состоит в полном пренебрежении характером состояний отдельных электронов и замене индивидуальных волновых функций статистическим средним. Как мы видели в $2 гл, У, первоначальные квантовые условия Бора— Воммерфельда можно интерпретировать следующим образом. Пусть пара сопряженных величин, координата д и импульс р, представляют координаты точки в рп-плоскости. Тогда квантовое условие означает, что семейство кривых постоянной энергии Н(р, д) =сопз1 разрезает плоскость таким образом, что все плошади между соседними кривымн равны Ь.

Если эти площади назвать ячейками, то можно сказать, что на каждую З у. Плотнасть электронного облака ячейку приходится точно одно состояние. Квантовая механика подтверждает этот факт. Он следует из принципа неопределенности Гейзенберга, согласно которому Арба Ь и который мож. ио интерпретировать в том смысле, 4то разделение рд-плоскости на ячейки, меньшие Й, физически ничего не означает. Эти качественные аргументы можно сформулировать как строгое утверждение, рассмотрев детально возможные состояния свободной частицы, как это будет сделано позднее (гл. ЧП1, $2). Переходя к движению в пространстве, мы получаем три координаты и три импульса.

Поэтому вместо рд-плоскости имеется 6-мерное пространство, которое должно быть разделено на ячейки с 6-мерным объемом Ьа. Будем теперь считать, что все электроны в атоме находятся в совершенно одинаковых условиях. В частности, каждый электрон подчиняется закону сохранения энергии; причем потенциальная энергия равна вф, где ф — средний потенциал, создаваемый ядром и ~всеми остальными электронами.

Затем применим принцип Паули, утверждающий, что в каждом состоянии, т. е. з каждой ячейке объемом ла, может находиться только два электрона (а не один, поскольку возможны две ориентации спина). Если максимальный из появляющихся импульсов равен Р, то в пространстве импульсов будет заполнен объем, ограниченный сферой радиуса Р (с центром в точке Р 0) и равный поэтому '!аяРа. Это выражение представляет собой объем в 6-мерном рд-пространстве, если объем в координатном пространстве принять за единицу. Умножив его на 2 и разделив на Ю, мы получим число электронов в единице объема, обладающих импульсами меньше Р.

Произведение этого числа а!,яР'(йа на заряд электрона е представляет собой плотность электронов с р<Р: — %)' Теперь и р, и Р можно выразить через средний электростатический потенциал ф. Для р это сделать очень просто в возьмем уравнение Пуассона, которое в предположении, что и р, и ф симметричны относительно ядра и зависят только от расстояния г до него, имеет внд 1 йр = — — „, (гф) = — 4яр. С другой стороны, Р можно получить из закона сохранения энергии -2-- — аР(г) = Е, Ф Гл.

У1. Саин электрона и иринина Паули для у — граничные условия =' Ф).=%~+И.=-% Другое граничное условие мы найдем, заметив, что вблизи ядра вклад электронов в потенциал пренебрежимо мал, так что ~р(г)-+еЕ/г, нли гэр(г) -~. ел. при г-ю О. Подставляя значение Р в формулу для р, мы получаем р= з «т ! Ф(г)! Умноженное на — 4я, это выражекие представляет собой правую часть уравнения Пуассона, которое теперь содержит только одну неизвестную функцию ф(г). От всех численных постоянных можно избавиться, введя новые единицы для длины и потенциала.

Именно, введем х —, Ф(х) = — г<р (г), а=а, (-~ — -) *, где аэ — Ю/4я'пэеэ — радиус первой боровской орбиты для водо- рода (гл. Ч, $ !). Если подставить все это в наше дифферен- циальное уравнение, то после элементарных вычислений оно приведется к виду л' Х= —, а учитывая, что в атоме связаны только те электроны, для которых работа, необходимая чтобы перенести их на «поверхность» атома, положительна. В случае атома водорода (гл. Ч, 5 !) электрон только один, н, следовательно, такой поверхности нет; нуль энергии соответствует бесконечному расстоянию..

Позднее будет видно, что то же самое справедливо для всех нейтральных атомов. Однако, чтобы включить в рассмотрение н ионы с суммарным зарядом ех, мы должны ввести поверхность, а именно сферу радиуса !с, вне которой потенциал имеет кулоновский вид ех(г. Очевидно, этот потенциал не должен учитываться при подсчете работы, необходимой для удаления электрона.

Принимая Е=О для электрона иа такой сфере, мы получим для максимального импульса выражение Р= (йяэар(г)]Ь З У. Платность электронного солоно а граничные условия будут иметь вид Ф(О) =1, Ф(Х) =О, Х~ — ~ Следовательно, решение зависит только от отношения х/Я— ионного заряда всей системы к заряду ядра, так что различные ионы с одинаковым отношением х/Я обладают сходными распределениями, отличающимися только по масштабам для радиусов и потенциалов.

Ф я г. 7О. Кривые Томаса — Ферми дяя веятрвяьвого атома (внешняя ярввяя) и дяя пояовсвтелъвого поня прн двух степенях вовивацвн [ввутреввне ярввые). точка Хо в, еоответствткн кекынвй конкаакнк, Хв к,-больней воннаакнн. В случае нейтрального атома (х 0) граничными условиями будут Ф=О и НФ/ИХ=О при х Х.

Из дифференциального уравнения тогда следует, что с(ЯФ/АР=О при Х=Х, а после повторного дифференцирования — что все производные обращаются в нудь при х=Х. Это возможно только прн условии, что Х. аа, так как в противном случае Ф(х) тождественно обращалась бы в нуль. Таким образом, по этой простой теории радиус нейтрального атома оказывается бесконечным (как и упоминалось выше). Соответствующая кривая на графике (фнг. 70) самая верхняя; она столь быстро приближается к нулю, что теоретическая бесконечность радиуса на практике не играет роли.

Эта кривая, а также другие, относящиеся к положительным ионам, были найдены Ферми путем численного решения уравнения. Вго результаты были подтверждены на современной счетной машине— дифференциальном анализаторе (Буш и Колдуэлл, 1931 г.). Точки пересечения кривых с осью абсцисс, обозначенные через Гл, У1. Спии эллитроии и приняип Паули Хь Хь соответствуют радиусам положительных ионов, а касательные к кривым в этих точках пересекают ось ординат в точках я~/л, хэ/Х, соответствующих различным состояниям ионизация.

Конечно, такие кривые дают лишь грубую картийу распределения электронов. Картина будет достаточно точной для внутренних областей тяжелых атомов, но она совершенно неверна для легких атомов, а также для внешних слоев всех атомов. Далее, трудно усмотреть непосредственно оболочечную струк. туру. Однако Ферми показал, что его простая модель содержит наиболее важную черту периодической системы, связанную с оболочечной структурой.

Мы можем определить значение атомного номера Х, при котором квантовое число 1 механического момента т впервые принимает одно нз значений О, 1, 2, 3,..., иЛи, другими словамн, при котором впервые появляются орбиты типа и, р, й, 1, .... Для этого необходимо подсчитать количество тех точек внутри сферы радиуса Р в пространстве импульсов, которые соответствуют данному значению момента. Оказывается, что для данного 1 таких точек может не оказаться, если Х меньше некоторой определенной величины. Таким образом обнаружено, что состояния а, р, Н и 1 впервые должны появиться при Е 1, 5, 21 н 55, в то время как в действительности они появляются (см.

табл. 5, стр. 206) у Н1, В5„5с21, Се58. Согласие вполне удовлетворительное. Явное выражение для атомного формфактора можно получить, подставив р — е~ф~э в вышеприведенную общую формулу, а для р — взяв его выражение через у(г) или Ф(х): Р(0) — л' ~ х'~ (Ф (х)) — э~.е, и= — з(п — О, о где а — введенная выше характерная длина, пропорциональная Х !ч Универсальная функция Р(й)Я может быть протабулирована как функция переменной и, зависящей от отношения длины волны к атомному «радиусу» а.

Подобным же образом можно вычислить дифференциальное и полное сечения для столкновений электронов. Оказывается, что полное сечение О, умноженное на Х ', является функцией только йуЕ~4, где у — ускоряющий потенциал. График этой функции изображен на фиг. 71. Он дает представление о размерах препятствия, образуемого атомами с различными Е на нуги пучка быстрых электронов. Мы не учитывали возможность возбуждения атома. Теория этого эффекта может быть построена подобным же путем (Борн, 1926 г.) и сразу приводит к объяснению опыта Франка и Герца (гл. 1У, $3). В этом опыте энергия, теряемая падающими электронами, передается электронам атома, поэтому мы го уо уо Ф нг. 71. Полное сечение () для рассеяння электрона на атоме с атомным номером Е (беа потери анергнн на воабуыаенне.

т. е. для «упругого столя- новеннят), вычисленное по модели Томаса — Ферма. Пе ехх хахвхсс етхеисехе г тхг-Ъ, гхе у-уеенмхххеа еетеевнах в аехьтхх: хе тон овхеват-яе Ь х еаххенах яет, и говорим о неупругом рассеянии. Сечение каждого из таких процессов можно выразить через потенциальную энергию взаимодействия с помощью приближения того же типа, которое использовалось для упругих столкновений (что справедливо для высоких скоростей). Конечно, при практических расчетах модель Томаса — Ферми бесполезна, поскольку она применима только к основному состоянию.

Для получения приближенных волновых функций электронов атома практически нужно использовать более тонкие методы. Очень мощный метод, называемый методом самосогласоваиттоао поля, был разработан Хартри (1928 г.). Для каждого электрона в отдельности решается уравнение Шредингера в потенциале, усредненном по всем другим электронам. Но потенциал зависит в свою очередь от движения самих электронов, так что задача может быть решена только методом проб и ошибок. Например, можно начать с потенциала Томаса — Ферми для группы электронов и определить движение остальных электронов в таком поле. Проделав это поочередно для каждого электрона, Гл. Л. Скин электрона и нринцип Поили мы можем вычислить исправленный средний потенциал. Такая процедура повторяется до тех пор, пока результат не окажется самосогласованным, т.

е, пока дальнейшие повторения не перестанут вносить изменения. Фок (1934 г.) показал, как при этом можно учесть неразличимость электронов и принцип. Паули. В этом направлении была проделана громадная вычислителъная работа, и теперь для многих атомов имеются таблицы волновых функций электронов в данных оболочках (К, Е, ...). Их можно использовать для вычисления формфакторов, сечений рассеяния и других наблюдаемых величин. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА ф 1.

Характеристики

Список файлов книги