Math.an.II (532678), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Дифференцирование неявно заданной функции.Если функция R  R задана уравнением y  f ( x ) , говорят, что она задана явно.Функция может быть задана также уравнением видаF ( x, y )  0 .В этом случае говорят, что она задана неявно. Иногда данное уравнение можно разрешитьотносительно переменной y , перейдя, таким образом, от неявной формы заданияфункции к явной. Однако, в общем случае, этого сделать нельзя. В связи с этим возникаетпроблема вычисления производной неявно заданной функции. Продемонстрируем методвычисления производной для такого случая на следующем примере.Пример. Найдем производную функции y ( x) , заданной уравнениемln( x  y )  xy .Продифференцируем обе части равенства по переменной x , не забывая о том, чтоy является функцией этой переменной.

Получим:1 y ' y  xy ' .x yДействительно, в левой части исходного уравнения стоит сложная функцияz  ln( x  y ) переменной x . Внутренняя функция – v  x  y ( x) , внешняя – u  ln v .11Производная внешней функции равна u '  , производная внутренней – v '  1  y ' .v x yВ правой части равенства находится произведение двух функций x  y ( x) .Теперь выразим из полученного равенства y ' :1y' y  xy 'x y x yy'1 xy '  y x yx y 11 x y'  y x y x y1yx  y y ( x  y )  1 y 2  xy  1y'.211x(xy)1xyxxx yИз этого примера видно, что производная y ' в конечном счете представляется ввиде выражения, зависящего как от x , так и от y .13§2.

Логарифмическое дифференцированиеМетодлогарифмическогодифференцированияилипредварительногологарифмирования используется в двух случаях.1. Пусть требуется найти производную функции вида y  [u ( x)]v ( x ) . Эта функция неявляется степенной, поскольку показатель степени зависит от x и не являетсяпоказательной, поскольку основание степени зависит от x . Метод дифференцированияподобных функций рассмотрим на простом примере.Пример. Продифференцируем функциюy  x x .

Для этого сначалапрологарифмируем ее:ln y  ln x x  x ln x .В результате использования известного свойства логарифма, мы получили произведениедвух функций. Продифференцировав теперь обе части равенства по переменной x ,получим:y'1 ln x  x   ln x  1 .yxПроизводная левой части найдена по формуле дифференцирования сложнойфункции ln y ( x) (внутренняя функция – v  y ( x ) , внешняя – u  ln v ), производная правойчасти – по формуле дифференцирования произведения. Теперь остается выразить y ' :y '  y  (ln x  1)  x x (ln x  1) .2. Логарифмическое дифференцирование используется также, когда требуетсяпродифференцировать дробь с большим числом сомножителей в числителе и взнаменателе.Пример.

Найдем производную дробиxe x x  1y 4.x ( x  2)3 sin xЭто можно было бы сделать и без предварительного логарифмирования, использовавправила дифференцирования частного и произведения, но выкладки в этом случае былибы весьма громоздкими. Итак, прологарифмируем обе части равенства и,воспользовавшись известными свойствами логарифма:aln  ln a  ln b ; ln ab  ln a  ln b ; ln a b  b ln a ,bполучим:1ln y  ln x  x  ln( x  1)  4ln x  3ln( x  2)  ln(sin x) .2Продифференцировав теперь обе части равенства, найдем:y' 1143cos x 1 ,y x2( x  1) x x  2 sin sОткуда11143xe x x  1143y '  y    1  ctgx   4 1  ctgx  .32( x  1) x x  22( x  1) x x  2x x ( x  2) sin x  xДалее можно привести дроби к общему знаменателю и выполнить необходимыеупрощения.14§3. Таблица производных.Запишем таблицу производных основных элементарных и гиперболическихфункций.

Многие из этих производных были найдены ранее. Другие, в качествеупражнения, рекомендуется найти самим.1. C '  02. x '  1'1x 3.2 x4. ( x ) '   x 1 '5.  e x   e x'6.  a x   a x ln a7. (ln x) ' 1x1x ln a9. (sin x) '  cos x10. (cos x ) '   sin x111. (tgx ) ' cos 2 x112.

(ctgx) '   2sin x113. (arcsin x) ' 1  x2114. (arccos x) '  1  x2115. (arctgx ) ' 1  x2116. (arcctgx ) '  1  x217. ( shx) '  chx18. (chx) '  shx119. (thx ) '  2ch x120. (cthx) '   2 .sh x8. (log a x) ' §4. Производные высших порядков.Опр. Пусть задана дифференцируемая на a, b функция y  f ( x ) и пустьy '  f '( x) – ее производная на этом сегменте. Тогда функция y ''   y ' ' , если онасуществует, называется производной 2-го порядка или второй производной функцииy  f ( x ) . Аналогично, функция y '''   y '' ' называется производной 3-го порядка или15третьей производной функции y  f ( x ) .

В общем случае, n-ой производной функцииy  f ( x ) называется производная от  n  1 -ой производной этой функции:dfy  n   y  n 1 ' , n  2, 3,... .Пример.ye kxy '   ke  kx2y ''    ke  kx  '   1 k 2 e  kxy '''  123k 2 e  kx '   1 k 3 e kx...ny  n    1 k n e  kxВведем обозначения:C  a, b   класс функций, непрерывных на  a, b  .C 1  a, b   класс функций, имеющих непрерывную производную на  a, b  .C 2  a, b   класс функций, имеющих непрерывную 2-ую производную на  a, b  .…C n  a, b   класс функций, имеющих непрерывную n -ую производную на  a, b  .C   a, b   класс функций, имеющих непрерывные производные любого порядка(бесконечно дифференцируемых).Аналогичные обозначения используются для функций, имеющих непрерынвныепроизводные n -го порядка на интервале, полуинтервале, в точке. Например, C n (a, b) ,C n [a, b) , C n  x0  .§5.

Дифференцирование функции, заданной параметрически.Функция y  f ( x ) может быть задана системой уравнений: x    t t  [ ,  ] .(1)ytВ этом случае говорят, что эта функция задана параметрически, а переменную tназывают параметром.Пример. Рассмотрим функцию x  R cos t, t   0,   . y  R sin tЭта функция описывает верхнюю половинку окружности рис.

1.координаты любой точки, удовлетворяющей приведенным уравнениям,очевидно, также уравнениюx2  y 2  R 2 ,а это уравнение окружности с центром в начале координат, радиусомполучим:y   R 2  x2 .(2)Действительно,удовлетворяют,R . Выразив y ,(3)16Знак «+» выбран потому, что y  sin t  0 при t  [0,  ] .

Координаты точки на плоскостиудовлетворяют уравнениям (2) тогда и только тогда, когда они удовлетворяют уравнению(3), а оно описывает верхнюю половинку окружности, изображенной на рис. 1. Параметрt , в данном случае, это угол, образованный радиус-вектором точки на окружности сположительным направлением оси абсцисс (так называемый полярный угол).Рис. 1. Кривая, заданная параметрически.Хотя параметрическое задание кривой, на первый взгляд, может показаться надуманным,оно имеет отчетливый физический смысл: если трактовать x и y как координатыматериальной точки на плоскости (например, Броуновской частицы на поверхностистакана с водой, или центра масс Земли на околосолнечной орбите), а t как время, тоуравнения (1) представляют собой уравнения движения материальной точки.

В трехмериипараметрическое задание кривой: x   (t ) y   (t ) , t  [ ,  ] z   (t )является наиболее удобным и физически осмысленным способом задания.Итак, пусть функция y  f ( x ) задана параметрически уравнениями (1).Допустим, что функции x    t  и y    t  имеют производные и допустим, что функцияx    t  имеет обратную t   1  x  , которая тоже имеет производную. Тогда функциюy  f ( x ) можно рассматривать как сложную функцию аргумента x :y     1 ( x )   y  t ( x ) Используя теоремы о производной сложной и обратной функции, получим:y '  '(t )y 'x  y 't  t ' x  t .x 't  '(t )Здесь через xt' и yt' обозначены производные функций (1) по переменной t .

Такимобразом, мы получили формулу, позволяющую дифференцировать функцию y ( x) , ненаходя ее явного выражения:y'y 'x  tx 'tАналогичным образом можно получить формулы для производных от функции y  f ( x )высших порядков. Выведем, например, формулу для 2-ой производной. Полученное намивыражение для 1-ой производной представляет собой некоторую функцию переменной t :y'  'y 'x  t  t  y1  t   y1  t  x   .x 't  'tРассматривая ее как сложную функцию аргумента x , получим:17y ''xx   y 'x  'x   y 'x  't  t 'x  y 'x  'tx 'tИтак, формула для вычисления 2-ой производной функции заданной параметрическиимеет вид: y 'x  't .y ''xx x 'tЗапишем эту формулу в «развернутом» виде (выразим 2-ую производную через исходныефункции):y ''xx y ' x  'tx 't' y'  1y '' x '  y ' x '' 1y '' x '  y ' x '' t   tt t 2 t tt  tt t 3 t ttx 't x 't  x 't  x 't t x 'tИтак,y ''xx y ''tt x 't  y 't x ''tt x 't 3.Аналогично можно найти производные более высоких порядков.Пример.Рассмотрим функцию x  cos 2t y  2sin 2tи найдем y 'x и y ''xx .

Очевидно,4 cos 2ty 'x  2ctg 2t .2sin 2t y ' x  't42y ''xx  3 .2x 't2sin 2t  sin 2tsin 2t§6. Механический смысл 2-ой производной.Путь, пройденный поступательно движущимся телом (материальной точкой), взависимости от времени выражается формулой: S  S  t  . Как говорилось ранее,мгновенная скорость тела равна: V  t   S 't . Пусть в некоторый момент времени tскорость тела была равна V . Если движение не является равномерным, то за промежутоквремени t , истекший с момента t , скорость изменится и получит приращение V . Еслидвижение равноускоренное, то ускорение можно определить формулойVa.tОднако, в случае не равноускоренного движения, это отношение зависит от величины t .Чтобы определить ускорение для этого случая, прежде всего, введем понятие среднегоускорения за промежуток времени t .Опр. Средним ускорением тела за время t назовем отношение приращенияскорости к приращению времени:Vaср .tОпр.

Ускорением движения физического тела в момент времени t назовем пределотношения приращения скорости к приращению времени, при стремлении последнего кнулю:18V.tДругими словами,a(t )  limt  0a  V '(t )  S ''(t ) .Итак, ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути повремени. В этом состоит механический смысл второй производной.§ 7. Дифференциал функции.Пустьфункцияy  f ( x)определенавнекоторойокрестностиu  x0 идифференцируема в точке x0 . Тогда ее приращение представимо в виде (по определениюдифференцируемости):y  f '( x0 )x  o(x ) .(1)Опр. Первое слагаемое в правой части формулы (1), линейное относительноприращения переменной x :dy  f '( x0 )x(2)называется дифференциалом функции f ( x ) в точке x0 . Отметим, что в общем случаеf '  x0   0 и f '  x0  x – главная часть бесконечно малой функции y (x ) при x  0 .Иными словами, y ~ dy при x  0 .

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий